PR LE EE

En effet, la condition (16) étant vérifiée, il se fait montrer que tous les coefficients 4, sont positifs.

En tenant compte de l'inégalité e%t—9 > 1 +2 (1 — 6) et en observant la valeur de 6'1 on tire de (16)

Goes ce qui entraîne 2n + 1 — 2no An > 1 — TG 3. :

Or, on peut écrire toujours

2n + 1 — 2n0 = [2n — 1 — 2{n — 1)o] [3 — 26] —4(n — 1)(1 — 6)° d’où l’on déduit de proche en proche

2n + 1 — 2no < [2n — 1 — 2{n — 1)o] [3 — 20] < (3 — 26)".

Par suite on a a, >0 pour tout n et (6) >0 pour tout 6.

Donc, la condition (16) donnant lieu encore à l'inégalité 1 —e Hénee

le membre droit de (15) est supérieur à 1.

Puis, écrivons

[ce] co

Ù r Ÿ ie Ci à … Ë v ie) à à ( L a) = e*

et posons

[ee] m CO Q r Dieli-)->+S.

N+1 NH1 mi m désignant le plus grand indice qui vérifie linégalité (4 — e)m° < 1x N°.

Alors, en observant de même que a(n) <y pour tout »,

nous obtenons

(1 . ee log (: — a) 1 log (: — 7) + (m— N) log (: — wi)

Le . .

Évaluons les sommes figurant dans cette expression par des intégrales; nous trouverons

ST da de Sel: -H)>- | log (1 -5) ee de N+1 N+1 et Ze 6 Ü—S | > free: a ) dE

En introduisant dans Z; la variable UE et dans 1,

il et en posant pe M - 240 TaWee P "CVs D "2 lo 260

obtiendra ô

du L=—(N+ 10 fes RE

20 d L, = (N +1) 3? [og (1 — uw?) [o's = 69 [1 +e(N)]. : f du Par suite, en posant | log (1 — uw?) = P(x) [0 < x < 1], (7 (eo)

nous trouverons

aies (N +:1)| 5 (6) = 80 + (5-1) log (1— 912 8)] (17) —=5>e Ÿ = e(N+1) FO),

En développant en série les fonctions Œ(x) et log (1 — x?) on trouve

DS b () Su n(2n — 1) è

étant posé D, = 1 — o',°* É — (2n — | 3

De (17) on voit que

CC; dès que F(0) > 0, Cela arrive si l’on a ' 0’ (18) ERA

En effet, la condition (18) étant vérifiée, on aura pour tout #

== 0: Oo

Or, nous pouvons écrire toujours

d’où l’on trouve de proche en proche

2 —(2n— 10 An—1)—[2%—1)—1]0 20, Ê # + Donc, b,>0 pour tout »# et, par suite, ÆF(6) >0 pour tout 0.

Pour avoir démontré l'inégalité (e) pour la deuxième catégorie, il reste à faire voir que les conditions (16) et (18) sont compatibles avec la définition de cette catégorie.

En posant 6° = et en se rappelant les valeurs de 0,

D8 d'y 0y, 6», On va reconnaître que ces conditions soient remplies, dès que l’on à c2<e-%—®(1—6) et