LEE
Op < =—— # —2—56
En tenant compte des valeurs de 61 et 0, ces Inégalités donnent lieu à
ou, ce qui revient au même, à
Soit x, la racine différente de 1 de l'équation x(2 — x)= =e-21-2, D'après la définition de la deuxième catégorie, on aura alors 6<%9. D'autre part, on montre sans difficulté > 0 (2 — 2) O<x<%o. Par suite, cette fonction admettant la valeur 1 pour æ=%,, l'inégalité (19) sera remplie. Donc la démonstration est établie pour la deuxième catégorie.
Remarque. Si 1"=00, on peut trouver une suite de #, Ni ANs, Ne: caTCIleRque An < x, pour tout » <N,, et la démonstration ci-dessus subsistera encore.
Enfin, traitons la troisième catégorie.
Soit N° un indice tel que 4w=2A(W"). Soit de même N un indice > N° tel que 4x = 1(N) et que la condition (6) soit vérifée pour += N. En vertu de la construction de Ay(x), il sera toujours possible de trouver un tel indice.
Choisissons ensuite comme fonction de comparaison la fonction
que la dérivée de la fonction est négative pour
Fe = I] Ê k wo)
étant posé a(x) = y; — Y, désignant un nombre
d log (x+ 0) positif qui sera déterminé plus loin, et C tel que a(x) > 0. Il est évident que l’inégalite (m,) est remplie aussi pour cette fonction F(2).
Prenons r de la manière habituelle et servons-nous des mêmes notations que plus haut.
En observant que y est petit et que, par suite, 2m <
Pie: C sc
< , 0<c<7y,, nous obtiendrons comme dans la déinonstration établie pour la première catégorie A1 > Ai.
De plus, l'inégalité a(W)<x ayant lieu, on trouvera comme d'ordinaire
Bi > Bi.
> e* pour
: rs L Puis, en nous rappelant les inégalités: ar
O<x<1, 1—x>e * pour 0<x<> et a(n) < y1 pour tout n,
nous aurons
1 r Ur (20) G. "Ar tn èr
[ee] ; S 1 dx 1 GD Re ner NON OO ; 0 ON Pour évaluer la somme D Le écrivons
en posant m = E[Wx + 1] et M = E[N+ +1].
Alors on trouvera
DS 1 Le 16 NRA pi Ann N°?» N?1x N°
et, en se rappelant la valeur de N,
x M 10 AN) RS AE Zn Ô Dao) ar
Los
De même, en observant que 4,># ? pour n grand,
Se ol RE co 1 1 D 7<- mS MES FN Er. et ent PAT 25 (Li) a+
De là
j S 1 1 1 (22) > Ts < re + s):
Les relations (20), (21) et (22) nous donnent
ee
d’où, en choisissant y1 < a
o on 2 +40?
Ci > Ci.
Ainsi l'inégalité (e) est démontrée aussi pour là troisième catégorie.
Remarque. Pour AmN)>N', on aura m>M. Alors la
M somme disparaît, et nous pouvons poser m = M. m+1
Passons maintenant à l'étude du module minimum des fonctions entières d'ordre 1. Le point de départ sera encore un théorème de M. Wiman!, Ce théorème est conçu en les termes suivants.
Étant donnée une fonction entière, F(2), d'ordre o <1 et de genre zéro, on à pour des valeurs de r indéfiniment croissantes l'inégalité
(P) Mr) mr) >
Tout en donnant la preuve de ce théorème, nous allons montrer, comment celui-ci se laisse étendre encore à certaines classes de fonctions de genre un.
Soit donc F(z) une fonction entière de genre un avec les ZÉTOS — An.
OO
EC) JT] (1 + 2 em.
En posant | a, |=7r, et en formant le produit F(— 2) F(+) nous trouvons
= Il | ne el Or, on peut. choisir z de telle sorte que F—2|=m(
d’où, en observant que | F(2)| < Mr).
(23) M(r) mr) > I |
résultat qui subsiste aussi, quand Æ(2) est une fonction de genre Zéro.
1 La note citée: Über eine Eigenschaft ete. p. 211.
Si F(e) est d'ordre o, il est évident que le membre droit de (23) est le module minimum d’une fonction entière de
2? d'ordre Sr Alors, en se rappelant un théorème bien
connu de M. Wiman! et les résultats trouvés dans le précédent, on voit que l'inégalité (f) est vérifiée pour les fonctions entières de genre zéro et pour des fonctions de genre un et d'ordre 1 où les nombres r,? satisfont aux conditions qui
caractérisent 7, dans les catégories de fonctions d'ordre = indi-
quées plus haut.
1 Wiman, Sur une extension d’un théorème de M. Hadamard, Arkiv fôr Mat. Astr. och Fysik 2 (1905), Nr 14.
