MATE TOI
De plus, en vertu des propriétés de a(x), on peut déduire (par des développements analogues à ceux-là faits aux pages 33—34)
(241Y2 Tnt ñ ou ue de Hi ee
Par suite, l'égalité (14) se réduit à (15) » > our) À(r) V1 + 7 log M(r) (1 — e),
et l'inégalité (,) est démontrée dans le premier cas.
Deuxieme cas. lim inf. y = 0.
n—= 0 Nous pouvons toujours supposer que lim y, =. Par suite, la fonction a(x)° croissant, on peut trouver comme plus haut une suite illimitée d'indices » tels que »,<y, pour MIS PIECE 7 PIDOUT um:
Posons ensuite
= er'» a +0) eat +0) —* 0 < te \ << te La fonction a(x)'—® vérifiant, elle aussi, les conditions
imposées à a(x) [sauf pour a(x) < (log x)!'+®], nous obtiendrons de la même manière que dans le cas précédent
14 ; log W(r).
(14) TRADE og M(r) log æ :
Or PSE étant une fonction décroissante et /,<{, pour a(x)' € =
log » log n
v<n, On aura pour tout n > y.
lot or Par conséquent log »
ONDES a(v)yr Comme y',>{a(r)]-*, on trouvera encore
a() V1+1 pr +06) log »
Donc, nous arriverons de nouveau à l'inégalité (15) et LE ’ Ar. » , Q l'inégalité (h,) se trouve démontrée aussi dans ce cas. Le théorème énoucé est ainsi exact.
Ce théorème est applicable pour toutes les fonctions où
l'on a etogn) <Tn cent, C arbitrairement grand mais fin. Traitons maintenant les fonctions pour lesquelles le théorème ci-dessus sera en défaut et considérons d’abord le
cas où r,<etor”), Je dis que les inégalités (h) et (h,) subsistent encore pour ces fonctions si l’on pose À(r) = 1.
En ce qui concerne (h;), nous pouvons prendre toujours
Yn = In: Nemtm G +9, en même temps qu'ait lieu lim sup. /, = co. 1 — 0 Donc, on peut procéder comme dans les cas correspondants qui précèdent, et nous serons amenés à l’inégalité (4,). Pour faire voir l’exactitude de (h,), nous posons
Vn
Ty = Nôn Gogn) = memTn). [n >. 1]
Il est évident que lim inf. 0, =0. Par sute, on peut n=— ©
trouver uue suite illimitée d'indices, N,, N,,.. N,,.. tels
que Ôn <ÔN, pour tout n </ANV,. En vertu de la construction
de om(x), on reconnaîtra aussi que 7x, = N,0N) pour tout p.
En prenant alors
dx log (N, + ON .
Lt es: [o<0<1},
on trouvera
M(r) < Il ( en te s 1) TI ee —— |.
Ny+i en )
et des évaluations habituelles nous donnent l'inégalité (4,) pour N=N,.
Enfin, regardons les fonctions où l’on à r, > en°, C arbitrairement grand. Avant de poser les inégalités que nous
avons en vue pour ces fonctions, remarquons que, ayant lieu a(x) = x, on peut écrire les inégalités (4) et (h,) de la manière
suivante :
“+ log M(r) 1 UN) N> ne. ( + : (1+e) et
; log M(r) :|
Pour / = co, ces inégalités se réduisent à
# log M(r) (7) pers US et
! log M(r) (7) MES eat
inégalités que vérifient les fonctions ci-dessus pour des valeurs indéfiniment croissantes de r.
Pour démontrer cela, posons
Ps — en"
Alors on a lim y» = 00. Par suite, on peut trouver deux
: n— 0 suites illimitées d'indices, N,, N,,.. N,.. et M, M, M, lbs qe Yx, Pour tout n < N, et que Ya Zu, pour tout n > M,.
Pour (Nn—O)N, Le neo
on montre facilement l'inégalité (h,"), et pour
(M, + Oo M = Let)
encore l'inégalité (h,").
Errata.
D Page ligne au lieu de lisez 28 11 moins égal (W
