N29) ONE
log M(r) = ee
Ce résultat et la remarque ci-dessus nous ont amenés à énoncer le théorème suivant.
À l1+e Sr Vonta r, < en pour tout n>no et rn>e%) pour une infinité de valeurs de n, l'inégalité
(hi) N < pm(r) Ar) V1 + 2 log Mr) (1+e)
est vérifiée pour des valeurs indéfiniment croissantes de r:
: 1 —e diautre part, St > 0) pour tout n>no et T7n <e%®) pour une infinité de valeurs de n, on a pour des valeurs indéfiniment croissantes de r l'inégalité
(h:) N > om(r) A(r) Y1+1 log Mr) (1 —e),
N désignant le nombre des zéros dont le module est inférieur ou égal à r, om(x) et ou(x) signifiant les fonctions définies dans I: À et a(x) et À(r) les fonctions définies dans I: B. Démontrons d’abord l'inégalité (hi).
Posons r,=en%), Nous distinguerons deux cas suivant la valeur de lim sup. 7».
nm — 0 Premier cas. lim sup. y», = 7; y >1 et fini.
N—= En posant = bheer-od ct),
il est évident que lim sup. /, = oo.
Alors, on peut trouver une suite illimitée de n, M, N,.. Ny; --., tels que 4, < ln, pour tout #<N,. Nous avons dès
The CL «®) pour tout n < N,.
Par suite, en choisissant r= x, CRT MONO SENTE
et en faisant usage du théorème de M. Jensen et de l'égalité (33) dans I,
log M(r) S (y Re €) ee Y(N? Eu 6) [1 pe e(N,)] ,
De là Re (1+7) [1+e(N,)]
NRA Es To)
log M(r).
Par des développements analogues à ceux-là faits aux pages 33—34, on trouvera que l'inégalité (1) est vraie pour NaN,;-L.
Deuxieme cas. lim sup. y» = co.
n — © On peut toujours trouver une suite illimitée de », M, Ns,,007 Nr melerque er) DOUTE Ne p
En posant
Fee Pr 0-6
nous trouvons de la même manière que dans le premier cas
Ne EC?
Yy YN» — 6) Comme y, <a(N,), nous pouvons faire de nouveau les développements, effectués aux pages 33-34, Donc, nous reconnaissons l'exactitude de l'inégalité (1) pour W=N,—1 encore dans ce cas.
Passons ensuite à l’inégalité (he).
AE
Y nan) =
l—e à van . . :
Posons r,=e g/n4(n) Ici encore, nous distin-
guerons deux cas suivant la valeur de lim inf. y,. n — © Premier cas. lim inf- y: =7y; 0 <y<l1.
nm — ©
En posant
Pn = ln + ee) an) = Ôn * etr'+e) an) 5
nous aurons lim /, = oo et lim inf. ô, = 0.
Le quotient de e0’+9 4@ bar e0’—9 «&) croît évidemment avec %. Par suite, en répétant le raisonnement à la page 66, on peut trouver une suite illimitée d'indices » tels que 4, <4, pour tout n >» et à, < 0, pour tout n< y.
Posons alors
r = 1609 a6+6) = $,.eW'+)a6+0) Q< {0 nn PL 1
De la même manière que dans la démonstration de l’inégalité (ge), nous trouverons
ML) > Dia : II (i ï. l,eQ ) II (14 . … nn
det'+a y a(n) 1 v+1
d’où, en tenant compte de la représentation asymptotique de f(e), effectuée dans I: B,
log Mr) < LE [1 + er] d’où (1+1)[1+e(r)] 4 = log Mr).
ii) y(v + 6) (y + €) PER) Or ner étant une fonction décroissante, on aura toujours
a(x) log »(1+e)
