TROISIÈME PARTIE

Le module maximun d'une fonction de genre injini.

1. L'étude des fonctions entières les plus générales ne peut évidemment pas conduire à des résultats aussi précis que celle des fonctions de genre fini. Il n’est, cependant pas inutile de remarquer que les méthodes employées dans ce travail s'appliquent encore aux fonctions de genre infini. Nous constaterons ainsi, qu'on peut toujours déduire les propriétés fondamentales d’une fonction entière de son développement en produit infini. Ce développement se prète aussi bien à une étude systématique que le développement en série de puissances, qui, a été comme on sait, le principal objet des travaux de M. Hapamarp.

Soit f(:) une fonction entière quelconque, r; le module de son ?°"* zéro. Cherchons d’abord si l’on pourra, sans passer par l'intermédiaire du développement en série obtenir un résultat équivalant au théorème fondamental de M. HapamMarD sur la limite inférieure du module r,. Le théorème de M. Scaou et la proposition équivalente que j'ai établie au $ 14 de la première partie s'appliquent aux fonctions de genre infini, mais donnent dans ce cas des limites beaucoup trop basses. Heureusement un procédé très simple va nous permettre de compléter les résultats obtenus dans la première partie.

2. Désignons par # le nombre des zéros de Æ'(2) dont le module est inférieur à AE (« positif). Nous avons démontré (première partie, Z $ 17) que l’on a sur une infinité d'arcs du cerele (© de rayon 7 ayant son centre à l'origine l'inégalité

h étant égal à log(r + a). C'est cette proposition que je me propose de préciser,

Applhquons-la, dans ce but, à la fonction

# désignant le nombre des zéros de (2°) dont le module est inférieur à r” : te : : ; Ses Fecpstl est-à-dire le nombre des zéros de F{z) dont le moaule est inferieur

F{a*) — Fa)

He à ON AUTA