LA SEE

Restant placés dans la couronne 7) définie au $ 26, nous voyons que

si l’on à simultanément les inégalités : \ 2 7m (39) AE

(40) [/(2) | CPE,

88 P. Boutroux.

(4 étant arbitrairement grand avec r,, # arbitrairement petit, comparable

par exemple à —), l'équation (38) se présentera sous la forme

(401) HOT et (1) ju < air,

l'inégalité (40) sera satisfaite sur tout chemin continu issu de z, et de

kr,

longueur inférieur à le long duquel on a l'inégalité (41).

Se

Appliquons à y* les résultats du $ 24 en y faisant DUT, VEN

et en appelant «a et Z deux nombres, compris entre 1 et eu, tels que les

l O7 e : Herr

rapports = et de même que a. croissent indéfiniment avec r.. a 10e Û 1 * 1

Cela posé, tous les raisonnements faits sur la fonction y du $ 24 s'appliquent ici à la fonction y”, avec cette seule différence que V», est

remplacé par #..

Nil existe dans la couronne 1) des points z, où l'on ait à la fois

au [ve an nt] fe) ee

(& positif fini, inférieur par exemple à

on les entourera de cercles de rayon proportionnel à (ar) * tous extérieurs les uns aux autres et en dehors desquels on aura

se

[ul < apr.

On en conclura ($ 24) que l’on a

n < hapri.

Considérons d'autre part tout le cercle (de rayon #r, qui a son centre à Lorigine, Dans ce cercle nous pouvons construire des cercles €’ (en nombre fini pour une valeur donnée de 7), extérieurs les uns aux autres, et tels que les inégalités

Gus | y | Lure |f(e)| < Al pr? {—|2l)

ne puissent être satisfaites au même temps en aucun point de (extérieur à ces cercles. On en conclut qu'il existe nécessairement dans la couronne D des points 2, satisfaisant aux conditions énoncées plus haut. L'inégalité (37) se trouve ainsi complètemant établie.

De l'inégalité (37) nous déduisons que la fonction entière {(2) est un polynôme du premier degré au plus.

On vérifie en effet comme au $ 26 que cette fonction ne peut être qu'un polynôme, D'autre part, le théorème du $ 18 montre que pour des valeurs de >, indéfiniment croissantes, on a, en une infinité de points de la couronne À) extérieur aux cercles ©, l'inégalité

£ (2 [a e)] < Rs un |7)| Er Tee re

(a positif arbitrairement petit).

Or cette inégalité n’est compatible avec l'inégalité nr x [y°| < apr,

satisfaite par hypothèse en dehors des cercles +, que si /(2) est du premier

degré au plus.

30. Les résultats du paragraphe précédent nous prouvent que l'ordre de la fonction entière # est au plus égal à 3. Nous allons maintenant constater que cet ordre est précisément 3 et, de plus, que le genre de u est 3.

z) se

Supposons en effet qu'il n'en soit pas aimsi. Le polynôme /|

réduira à une constante, et l'on aura pour des valeurs >, indéfiniment

croissantes

" n' log n < —,

6 ine foncti roissante de #, égale par exemple à log, # # étant une fonction croissante de #', égale par exemple à log, #.

90 P. Boutroux.

Donnons à > l'une de ces valeurs 7, et considérons la couronne 1) définie plus haut. Cette couronne contient ($ 18), une infinité de points

où l'on a simultanément les inégalités 1 2 PAL HOIESCUT

: Der 42 e, tendant vers zéro avec — (je supposerai que &, >). Considérons plus *R hi

particulièrement, dans 1), un cercle quelconque o de rayon @7,, «à étant

a La

> I un nombre tel que le rapport + tende vers zéro avec —. Nous savons

($ 19, note) qu'il existe à l'intérieur de & des régions où l'on a

% à on (42) WI< + <er ‘|N< ar

(si tendent vers zéro avec —).

Cela posé, soit a, —7r;e""1 un pôle situé dans D. Nous mènerons

: ne > ; . T— 6; par 4; la droite L qui fait avec l'axe réel un angle égal à ee et nous

prendrons pour cercle o le cercle de rayon ar tangent à Z au point 4;, et situé par rapport à Z du côté où la partie réelle de z va en croissant.

Considérons dans ce cercle o la région déterminée par l'angle droit de sommet 4; qui a pour bissectrice un diamètre. Nous pouvons toujours trouver dans cette région un point z, où l'on ait les inégalités (42). Suivons alors la fonction y le long de la droite z,4,.

y satisfait par hypothèse à l'équation (38) qui donne pour y’ une double valeur: je supposerai que l'on parte de 4, avec la détermination !

* FRA s Frot a) (43) TN) 4° SERRE] e)

Je vais montrer que si nos hypothèses se trouvaient satisfaites, les fonctions y* et f(z) vérifieraient entre 4, et a; des inégalités de la forme

(42°) [y°| Sen |/(2)| < e,r (s, tendant vers o avec =)

Pour appliquer le même raisonnement au cas où le radical serait précédé du signe —, il suffirait de prendre le cercle & de l'autre côté de la droite 1.

ce qui est manifestement absurde, puisque le point 4,

est un pôle de ces fonctions.

Pour parvenir à ce résultat prenons € supérieur à 2a et V2e et où l'on ait

appelons 2, le premier point rencontré sur 2,4,

(44) Lu er,

On a entre 4, et 2, [y | < er,, eb par suite (puisque la longueur du che-

min 2,4, est inférieure à ar.)

MES r oocr er.

On conclut de là qu'au point 4 l'équation (43) se présente sous la forme

(45) . = (1 +6) ([2| proportionnel à e),.

Or il résulte de la position du cercle o& et du point z, dans © que, si l'on désigne par dz l'accroissement de 2 suivant 2,4a;, le segment 4/2 dz fait

avec l'axe réel un angle compris entre : et . . L'égalité (45) prouve donc qu'au point 4 (dans la direction z,4,), la partie réelle de log y est décroissante.

On en conclut que le module [y*| ne peut atteindre en z la valeur (44), s'il l’attetenait, en effet, 1l devrait croître en ce point, ou du moins passer par un maximum, ce qui, Comme on vient de voir, ne peut avoir lieu. Les inégalités (42") seront donc vérifiées entre z, et a;. Cette conclusion étant absurde, nous reconnaissons que notre hypothèse initiale n’était pas légitime. La fonction entière # est donc bien de genre 3, ce

qu'il fallait démontrer.

; De MORE Ë 1 L'argument de 42, est égal à ———, 4’ étant proportionnel à a; l’argument z—Ù0 7 7 — 0; Us — de dz est compris entre re M et ne + … L’argument de 4, dz est donc T (24 7 Œ compris entre . rer - Rd

92 P. Boutroux.