HADAMARD
ANDOYER A. GUILLET.
Géométrie supérieure.
Physique.
> Mécanique rationnelle.
Chimie biologique.
Calcul des probabilités et Physique mathématique.
Analyse supérieure et Algèbre supérieure.
Astronomie mathématique et Mécanique céleste.
Zoologie, Anatomie, Physiologie comparée.
Botanique.
Physiologie.
Chimie.
Géologie.
Zoologie, Évolution des êtres organisés.
Astronomie physique.
Mécanique physique et expérimentale.
Géographie physique.
Calcul différentiel et Calcul intégral.
Histologie.
Physique.
Chimie organique.
Chimie.
Chimie (Ens" P. C. N.).
Physique (ns PACN).
Minéralogie.
Zoologie, Anatomie, Physiologie comparée.
Mécanique et Astronomie.
Chimie analytique.
Eléments d'Analyse et de Mécanique.
Physique.
Géologie.
Calcul différentiel et Calcul intégral.
Astronomie mathématique.
Pr BOUTROUX
à PARIS.
Introduction.
L'éude directe des développement en série, à laquelle ABEL a su donner une si brillante impulsion, et qu'il a appelée »la partie la plus essentielle des mathématiques», a occupé, dans les travaux de ses successeurs, une place prépondérante Le moment est venu maintenant de considérer en eux-mêmes et d'analyser avec quelques détails les types généraux de fonctions dont la science a été ainsi enrichie. Or il faut bien reconnaître que les propriétés d'une fonction n'apparaissent que rarement sur un développement infini. C’est pourquoi il sera souvent avantageux de substituer à l'étude d'un développement celle de caractères moins précis mais plus intuitifs, aptes à servir de marque aux fonctions d'une classe déterminée, en permettant de les distinguer des fonctions voisines et de les reconnaître lorsqu'elles sont définies par une équation différentielle ou de toute autre manière.
Le mode de croissance, objet des beaux travaux de MM. Hapamarp et Borer, paraît être, pour les fonctions entières, un tel caractère. Toutefois, si l’on veut que la connaissance de ce mode de croissance puisse, dans une étude ultérieure, tenir lieu de celle de la fonction, il est nécessaire de le déterminer avec plus de précision qu'on ne l’a fait encore. C’est la tâche que je me suis proposée dans ce mémoire.
MM. Hapamarp et BOREL ont montré que le module d’une fonc-
ième
ion entière dépend étroitemen Jui du zéro. Toutefois l’on avait d t lépend étroitement de celui du » “E
! Des généralisations des théorèmes de MM. HADAMARD et BOREL viennent d’être tout récemment indiquées par M. E. LiNDELÔF qui a établi des propositions voisines de celles qui sont exposées dans la première partie de ce travail. M. LiINDELÔF a également obtenu, de son côté, un exemple de fonction de genre zéro se trouvant la somme de deux fonctions de genre un. (Voir page 45.)
2 P. Boutroux.
lieu de craindre que ce rapprochement ne püût être poussé très loin et qu'il fallût pour arriver à un résultat un peu précis tenir compte des arguments des zéros. Je montre qu'il n'en est rien en général, et j'obtiens alors une représentation asymptotique du module maximum pour |2|— 7» d’une fonction entière de genre fini. Ce résultat me permet d'étudier en détail le cas resté obscur où le module maximum d’une fonction de genre
p se comporte approximativement comme €”. Je constate que dans ce cas la fonction peut exceptionnellement perdre tous les caractères qui la distinguent des fonctions de genre p—-1. D'alleurs dans ce cas encore, les propriétés fondamentales de la fonction résultent de son mode de croissance qui apparaît alors comme plus important que le genre; wne telle fonction de genre p peut en effet être la somme de deux fonctions de genre p — 1. Ce fait vient contredire l'opinion générale qui était, comme on sait, que la somme de deux fonctions de genre p est toujours de genre p au plus.
Les conclusions de ma première partie me conduisent à faire ressortir de nouveau l'importance toute speciale des fonctions à croissance régulière signalées par M. BoRrez, c'est à dire des fonctions dont le module maximum M(r) satisfait à partir d’une certaine valeur de 7 à la double inégalité
M (n) let
Toutefois j'ai pensé qu'il y avait intérêt à ne pas se borner à ces fonctions précisément afin d'avoir un moyen de les reconnaitre lorsqu'on les rencontre dans une application: j'ai donc cherché à ne faire que les hypothèses strictement indispensables pour rendre possible un résultat précis. Dans le même ordre d'idées j'ai défini ainsi une classe assez étendue de fonctions dont
ln
le module maximum pour |2[=7 est égal à e”, n étant le nombre des zéros dont le module est inférieur à 7, et } un nombre positif fini.
La seconde partie de ce travail est consacrée à la dérivée logarithmique d'une fonction entière de genre fini. On sait déjà que le module maximum d’une fonction entière est comparable à celui de sa dérivée. Mais j'ai pu obtenir un résultat beaucoup plus précis. Si l'on exclut du champ de la variable certaines aires fermées entourant les pôles, aires dont la somme peut être rendue négligeable, la dérivée logarithmique d’une fonction de genre fini reste comparable, partout ailleurs, à une puissance finie de la variable; jétudie alors, dans le champ conservé, son module maximum
pour |2[—7. La méthode suivie s'applique, sans modifications, à des
(gt
fonctions méromorphes d'un type plus général, et l’on obtient alors, au sujet de ces fonctions, une théorie de tous points analogue à celle qui a servi de base à l’étude des fonctions entières.
Je donne une application de cette théorie en étudiant la croissance des fonctions méromorphes récemment découvertes par M. P. PAINLEVE au cours de ses recherches sur les équations différentielles du second ordre à points critiques fixes. M. PAINLEVÉ a signalé trois types d'équations dont les intéerales sont des fonctions méromorphes nouvelles. Je montre que les intégrales des deux premiers types se définissent à l’aide de fonc-
tions entières de genre 2 ou 3 dont le module maximum croît comme
Pl (2 ou CAES
Dans la troisième partie, je cherche à étendre les résultats des deux premières au cas des fonctions de genre infini, et j'étudie le troisième type d'équations à intégrales méromorphes nouvelles signalé par M. PAINLEVÉ. Je constate que les fonctions entières correspondantes croissent comme
ONE Ke
CN
J'ai abordé dans la quatrième partie un problème un peu différent en cherchant à préciser les résultats obtenus par MM. Borez et LiNDELÜF sur la croissance des intégrales d'une équation différentielle algébrique du premier ordre et j'ai été conduit ainsi à définir une classe d'équations dont les intégrales ont un mode de croissance très analogue à celui des fonctions entières de genre fini. J'indique, pour terminer, la conclusion qui me semble devoir être tirée de ces divers résultats. La relation remarquable qui existe entre la croissance d’une fonction entière et sa nature analytique (en particulier, avec le nombre des branches de la fonction 1inverse) ne nous parait pas tenir à des circonstances fortuites ou spéciales: elle n'est vraisemblablement que la manifestation d’une propriété plus gé-
nérale des fonctions analytiques.
À. P. Boutroux.
