PREMIÈRE PARTIE

Je vais me borner, pour commencer, à l'étude des fonctions entières de genre fini; me réservant de montrer, dans une partie postérieure, comment la méthode employée pour ces fonctions peut être appliquée aux fonctions de genre infini.

1. Désignons par F2) une fonction entière de genre fini p. Soit M{r) son module maximum pour |[z[—7r, r; le module de son #°* zéro, enfin x le nombre des zéros de F(z) dont le module est inférieur à 7.

MM. Hapamarp et ScHou ‘ ont donné une limite supérieure du nombre n. Ils ont montré que l'inégalité

(1) MIE supposée satisfaite pour toute valeur de 7, entraine (2) RSC)

C' étant une constante finie.

La réciproque du théorème de M. HapamaRD est-elle vraie? On n'a pas encore complètement répondu à cette question, et c’est elle qui doit nous préoccuper tout d’abord.

Bien entendu, la question n'aura un sens que si Æ(2) est un produit de facteurs primaires: si cette fonction contenait un facteur exponentiel e“®, son ordre de grandeur pourrait être absolument indépendant du nombre n; cest donc le produit de facteurs primaires, &(z2), contenu dans F(2) que je vais me proposer d'étudier. Lies résultats que j'obtiendrai ne s’en appliqueront pas moins au cas le plus général: soit en effet

Fr} Ge),

HADAMARD, Journ. de Math, 1893. Scnou, Comptes rendus, t. 125,

CH

jai le droit de supposer que l’ordre de grandeur de e/® est inférieur ou

égal à celui de Œ(z2); car, si cette condition n’était pas réalisée pour F(z), elle le serait certainement pour Æ(2)-—4, quel que soit & (sauf pour une valeur de & au plus).'

Considérons done le produit infini (2). M. Borer s’est proposé de lui trouver une limite supérieure (pour [2] = 7), et il a démontré la proposition suivante: ?

Soit © un nombre positif tel que l’on ait, quelque petit que soit a, à partir d'une certaine valeur de

(3) SN Die On aura, quel que soit &, à partir d’une certaine valeur de r, (4) [G{a)| <'e”c.

M. Borez a appelé ordre de G(z2) le plus petit nombre p satisfaisant

< sy - Fc Sen : Ê à la condition (3). Ce nombre est tel que la série dE ——, Soit divergente

(74 Tn

BE tel et la serie D p+a ñn

convergente, quel que soit a.

2l= 7, Mr) une

2. Voulant donner du module maximum pour représentation asymptotique aussi exacte que possible, je dois chercher avant tout si l'on ne peut pas obtenir une limite supérieure de M{(r) plus précise que la limite (4).

Quelque naturelle que semble cette recherche, on à pu se demander sil y avait lieu de l'entreprendre. Nous ne savons pas en effet, à prior, jusqu'où va la relation observée entre la croissance de Mr) et le nombre n défini plus haut: or sil fallait pour déterminer M{r) avec quelque précision faire intervenir des éléments nouveaux comme, par exemple, les arguments des zéros, les difficultés du problème seraient singulièrement

accrues.

" Cela résulte de la généralisation du théorème classique de M. Picarp sur les

fonctions entières. Voir Borer, Sur les zéros des fonctions entières. (Acta Math. 1896.) ? Acta Math. 1806 (Art. cité); Leçons sur les fonctions entières, p. 61.

6 P. Boutroux.

Il semble précisément à première vue que cette circonstance défa- , 2 , e Æ vorable se présente. Considérons, en effet, avec M. Boxer, les deux MAR . I fonctions "sin 72 et ——.

T'(2) et cependant leurs modules maxima sont respectivement proportionnels à

Leurs zéros ont mêmes modules :,2,3,...

e" et à 7’. M. Borez fut tenté de conclure qu'il faut ou tenir compte des arguments des zéros ou se contenter de la limite (4).

Fort heureusement il se trouve que les deux fonctions signalées par M. BorEeL rentrent dans un cas d'exception: nous constaterons qu'on à en général le droit de faire abstraction des arguments des Zéros. C’est là ce qui permet de préciser notablement les résultats de MM. HADAMARD et BOREL.

Une représentation exacte de M(r) aura surtout son intérêt lorsque l’on étudièra la classe, fondamentale en pratique, des fonctions à croissance réculière définies par M. Borez (voir Introduction). Mais il convient peut-être de s'attacher, pour commencer, à des types de fonctions plus généraux; il est utile, en effet, de connaître des propositions applicables à des fonctions dont on ne sait pas encore si elles sont à croissance régulière. On aura précisément ainsi un moyen de démontrer, s'il y a lieu, que leur croissance est bien régulière.

3. Pour établir les résultats que j'ai en vue, j'aurai à évaluer certaines intégrales définies où figure la fonction r; ou une fonction d(i) comparable à r;. Cette évaluation ne sera évidemment possible que si l’on fait certaines hypothèses sur la croissance de cette fonction d(i); mais des hypothèses très générales suffiront. C’est ainsi qu'il n’est pas nécessaire de supposer que di) est à croissance régulière (la définition de M. BoreL étant étendue aux fonctions croissantes qui restent comparables à nne puissance finie de la variable). En d’autres termes, nos calculs pourront porter sur des fonctions (x) qui ne satisfont pas nécessairement, à partir d’une certaine valeur de æ, à une double inégalité de la forme

a < (x) <aæx* (es arbitrairement petit).

L'analyse n'a pas cru devoir s'occuper jusqu'ici de semblables fonctions: il

* Leçons sur les fonctions entières, p. 99.

est cependant possible d'effectuer sur elles des calculs précis, moyennant

des hypothèses assez larges sur leur mode de croissance.

Evalution de certaines intégrales définies.

4... (2) étant un produit de facteurs primaires de genre p, je suppose ses zéros rangés par ordre de modules croissants suivant la règle de WErer- STRASS, en sorte que l’on a

3 ss Vixi ) si l'on désigne par 7; le module du zéro de rang à.

Les r; étant connus, il est toujours possible de former une fonction de æ holomorphe, réelle et positive qui, pour æ# entier et égal à à, prenne la valeur 7;. J’appellé w(x) une telle fonction.

On peut définir la fonction w(x) au moyen d’une formule d'interpolation quelconque; mais je supposerai, ce qui est évidemment lécitime, qu’elle ne cesse pas de croître lorsque x varie de © à + oo.

Cela posé, désignant par »m,n deux entiers positifs finis (m» < n) et par À un nombre positif, proposons-nous de déterminer une limite supérieure d'une somme de la forme

De RU

Nous augmentons évidemment ces sommes en les remplaçant par les

intéorales définies

| [o(x)T dx, J [o(x)] dr.

mi nu Tout revient donc à trouver des limites supérieures de ces intégrales. Pour y parvenir, je substituerai à œ(x) une fonction (x) qui, pour æ réel et positif, soit elle-même réelle, positive et inférieure à œw(x), cette fonction d(x) étant choisie de telle manière que l’on sache calculer les intégrales

1=fHGT&, 1 =f a) '&

dont la seconde est supposée avoir une limite. Il nous faut chercher quelles hypothèses il convient de faire a priori sur (x) pour obtenir aisément une limite de ces intégrales définies.