FRE A

Premier cas. y est inférieur à j

: | AS à : ar

Exprimons que les dérivées logarithmiques des deux fonctions Le qi % Sont positives: nous obtenons

AO lv dæ 0

et nous en déduisons la double inégalité (1 — 2 610) < D . ne <(1— à)d {1 — } | dx r 1

Où 1 — ÀÂu et 1 — À sont des nombres positifs. D'où, en intégrant:

n — Lrd, < fgr'dr 4 pe Ex m 2

Par suite, on peut poser

fé ar = mdr

PEAR On he

SPACE | si et « conserve une valeur finie lorsque 7 augmente indéfiniment | c < nl

Le e 1 6. Deuxième cas. » est supérieur à de En procédant exactement comme dans le premier cas, nous aboutissons

cette fois à l'inégalité

où lon à à — 1 > 0.

Si l’on intègre, on pourra poser

[ed — em[d(m)]

et « restera fini lorsque # augmentera indéfiniment.

Si donc les conditions impossées à d(x) ne cessent pas d’être vérifiés

pour æ > M, on aura

ddr = cm[d(m)}*

c, étant une constante positive finie, et par suite (si l’on remplace » par

n, en se reportant aux notations du $ 4) Î, = cn[d(n)] 2

7. Troisième cas. Supposons maintenant que l’on ne puisse trouver

Re ne sais Be 3» ni un nombre » supérieur à : satisfaisant

dans l'intervalle mn aux conditions énoncées ce qu'on peut exprimer À

ni un nombre y inférieur à

grossièrement en disant que, dans cet intervalle, 4" croit approximative- I . Yo .

ment comme -. Nous sommes alors conduits à imposer au choix de d(x) LA

une condition supplémentaire. Je supposerai qu'il existe deux nombres y, et », tels que les fonctions

æ (log æ)"1 p?

À alor a:

soient croissantes ou du moins ne décroissent pas dans l'intervalle ##. La dérivée logarithmique de d * satisfera, pour m < x < n aux inégalités

dp?

I x Dieu dæ z1 Le Æ æ log %- TUE æ log +

[ei encore, suivant les valeurs de y, et », diverses circonstances pourront se présenter.

Soit d’abord y, < 1. On aura

(—p)b Tr < (dx log æ).

On pourra, par suite, poser, lorsque 7 devient très grand

(7) Îg dx = enlogn{d(n)] * (c nombre fini).

" log æ représente ici la valeur arithmétique du logarithme.

Soit maintenant y, > 1. On-aura

Hnre—

ce qui permettra de poser

(8) [ 4 “dx = cm log ni [ m)] :

où c reste fini lorsque » augmente indéfiniment.

Soit enfin y, >1, v, <1. On peut exprimer ce fait en disant que dans l'intervalle #7 (ou du moins dans un intervalle intérieur à wn), la

fonction d * se comporte à la façon de Je ne puis rien dire alors

æ log æ sur la valeur des intégrales précédentes, à moins de faire une hypothèse plus précise sur la croissance de la fonction d(x).

Posant, d'une manière générale,

log, x = log log x, Gers los tomes

et désignant par y, un nombre quelconque inférieur à 1, par », un nombre quelconque supérieur à 1, je supposerai que l'un des deux rapports À

æ log æ ... (logx æ)* g à s æ log #..7. (logs æ)”7

soit croissant (ou du moins ne décroisse pas), lorsque k dépasse un certain entier fini.

Dans le premier cas, l'intégrale

fo "dx

est divergente et a une valeur de la forme (9) T= c# "nlogn.log,n...logen (c positif fini).

Dans le second cas, la même intégrale est convergente, et nous ob-

tenons pour elle une valeur de la forme

ch mlogm...log,m (c positif fini).

12 P. Boutroux.

Si l’on fait croître n jusqu'à + © et que l’on change » et »n, en se reportant aux notations du $ 4, on pourra écrire l'égalité

(10) RU Ar Ce)

où €, conserve, lorsque #7 augmente, une valeur positive finie.

8. On constate ainsi que les hypothèses faites sur d(x) permettent bien d’assigner, pour les grandes valeurs de x, une limite supérieure aux intégrales * Z et I.

Il est à remarquer d’ailleurs que les raisonnements précédents n’exigent nullement que À, et » soient positifs. Soit, d'une manière générale, une fonction réelle et positive f(x), satisfaisant aux conditions suivantes: :1l existe deux nombres positifs ou négatifs, y et », tels que les fonctions

Av œ : ë . 5 : :

7 et fe) soient croissantes. Si nous écartons, pour simplifier, le cas ; 2

exceptionnel où y < — 1 < y, nous pourrons affirmer que l'intégrale n-

définie de f(x) devient infinie comme xf (æ). L'hypothèse faite sur f(x) revient, d’ailleurs, à supposer que la dé-

rivée de f(x) devient infinie comme Fe), Nous avons donc démontré &

que de cette propriété de la dérivée, on à le droit de conclure à celle de

l'intégrale. Nous constatons ainsi que la croissance de f(x) est tout-à-fait

analogue à celle d’une puissance de x.

Dans une note insérée aux Comptes-Rendus de l’Académie des Sciences le 4 février I19OI, j'ai obtenu les mêmes résultats en suivant une voie un peu différente, mais en imposant à (x) des conditions équivalentes à celles que j'ai énoncées ici. Ces conditions étaient les suivantes:

Si p + p, l’on pose

æ) = af ÿ(a) et l’on suppose (x) tel que la fonction e log æ# — log

soit positive et croissante lorsque ep < La. (+) sera par exemple de la forme p

(log æ)1 (log) x). ... l 1 Si p était égal à p, on isolerait dans la fonction 4 le produit æP (log æ).

9. Revenons maintenant au produit de facteurs primaires G(2) dont nous supposons les zéros connus, et voyons comment nous pourrons former la fonction (x).

Le cas où l'on obtiendra les résultats les plus précis est évidemment celui où la fonction œ(x) définie au $ 4 satisfait elle-même aux conditions imposées à g(x). On peut alors substituer © à d dans tous les calculs précédents.

St l'on introduit dans l'énoncé le genre p et l’ordre o du produit (r(2), cette classe sera définie par les caractères suivants (on suppose p + 0):

I Lorsque l'ordre o n'est pas entier, # existe un nombre p inférieur

MT æ o(x = - = :

à — et un nombre y», tels que les rapports — D ? Ci. soient croissants à partir D ŒO(X æ d'une certaine valeur de x.

On a alors l'égalité (5) pour À < p et l'égalité (6) pour À > p. Parmi les classes de fonctions pour lesquelles la condition énoncée est réalisée, il en est une qui doit surtout attirer notre attention: elle comprend

les fonctions dont les zéros sont répartis de telle sorte que les deux rapports

soient croissants à partir d'une certaine valeur de ?, quel que soit le nombre z. Cette classe de fonctions rentre dans celle des fonctions à croissance régulière qu'a définie M. BoREL, elle comprend toutes les fonctions qui ont été étudiées jusqu'ici par l'analyse.

Les calculs précédents nous permettront d'ailleurs de subdiviser cette classe en faisant sur la croissance de 7; des hypothèses de plus en plus précises.

Mais nous n'épuiserons pas ainsi la famille de fonctions que définissent les conditions imposées plus haut à w(x). (Cette famille comprend des

fonctions qui ne sont pas à croissance régulière, au sens adopté par M. Borel, mais pour lesquelles le module r;, pourra osciller, lorsque à croit, entre 1° cr nr . . . . A et 2? (es, a nombres positifs arbitrairement petits). Nous obtiendrons né-

anmoins sur ces fonctions des résultats aussi précis que sur les précédentes.

14 P. Boutroux.

10. 2°. Lorsque 0 —=p, la classe de fonctions considérée est défie par ce fait qu'outre le nombre » défini plus haut, il existe un nombre a n-

+. eu æP (log æ)7 ; : ; ne :

Jérieur à — tel que le rapport ET soit croissant à partir d'une certaine p [0]

valeur de x. (La fonction © se trouve alors satisfaire aux conditions du & 7 avec n <1, et l’on a, pour À = p, l'égalité (7); l'égalité (5) reste d'ailleurs vérifiée pour À < p, l'égalité (6) pour À > p).

S'il n'existe pas de tel nombre o il existe du moins un entier fini k et Je an un nombre o inférieur à - tel que le rapport

(log æ)? .… (loge #Ÿ [0]

soit croissant à partir d'une cnrtaine valeur de x. (On aura alors, pour À = p, l'inégalité (9)).

3°. Lorsque o = p + 1, nous supposerons qui existe (outre le nombre

p défini au $ 9) wn entier fini k et un nombre a supérieur à PES tels que

le rapport (0) the En .

PT ose) ne. (logs æ)7

soit croissant à partir d'une certaine valeur de x. On aura alors, pour À=p +1, l'inégalité (10).

11. Considérons maintenant le cas général où w(x) n'appartient pas à la classe définie par les hypothèses du paragraphe précédent, mais est une fonction croissante satisfaisant simplement aux conditions du $ 4. La fonction d(x), inférieure ou égale à œ(x) que l'on doit faire figurer dans les intégrales Z et 1, afin de les rendre calculables par la méthode exposée ci-dessus, ne peut plus alors coïncider avec (x). Cherchons dans quelle mesure elle pourra s’en rapprocher.

Je vais considérer, tout d’abord, le cas où l'ordre © n'est pas entier, et montrer qu'on pourra faire coëncider d et & pour des valeurs de x indéfiniment croissantes.

Sur quelques propriétés des fonctions entières. 15 ‘æ , L I Ie:

Soit y un nombre compris entre et -. Il résulte de la définition P 10 À 1 j ‘dr e . xl ; rs £ même de l’ordre que la fonction mes prend des valeurs indéfiniment erois- O(T

santes. On peut, en effet, poser

nu = (1 + es) avec ds dei oO

£ Si done il existait un nombre « tel que l’on ait, à partir d'une certaine valeur de *

VE DAT jé << C, PT la série Ÿ — serait convergente, ce qui n'a pas lieu.

Considérons alors la courbe

PS On peut tracer une courbe repré- OX

sentant une fonction toujours croissante, ou du moins, ne décroissant jamais,

: . He) SE,

qui reste toujours au-dessus de la courbe en et la touche en une infinité S ŒO(X

ga)

la plus petite fonction représentée par une telle courbe, et d(x), qui co-

de points s'éloignant indéfiniment de l’origine. Nous prendrons pour

incidera avec œ(x) pour des valeurs de x indéfiniment éloignées, satisfera bien, entre ’%# et n, aux conditions énoncées au $ 5 (premier cas). D'autre part, lorsque x varie de n à + ©, on sait que, si n est

h assez grand, le rapport ae et, par suite, ie

are pre

dévient supérieur à tout

nombre donné, quelque petit que soit &.

I en résulte que (pour une infinité de valeurs de x figurant parmi les précédentes), ce rapport prend une série de valeurs plus petites que toutes les g(æ)

nt a+

suivantes. Formons une fonction

toujours croissante qui coïncidera

(7) ve. : LE re) SOS SPA . , dec JDOUT CES valeurs de #. La fonction d, ainsi définie satisfera bien

æpte

aux conditions voulues pour x > #.

16 P. Boutroux.

12. Lorsque l’ordre p» est entier 1l faut distinguer divers cas. Soit y — p, et supposons qu'i existe un entier k et un nombre © dndt Jérieur à - tel que le rapport D

Plon)

admette des valeurs indéfiniment croissantes. On pourra alors former, dans l'intervalle #n, une fonction croissante (ou, du moins, ne décroissant jamais) qui ne soit jamais inférieure au rapport considéré et lui soit égale pour des valeurs de x s'éloignant indéfiniment. Cela permettra de faire coïncider æ et d pour des valeurs de x indéfiniment croissantes.

Lorsqu'il n'existe pas d’entier X satisfaisant à la condition indiquée, on remarquera qu'on pourra toujours satisfaire à cette condition quel que soit k, pourvu que l'on remplace & par w(log,x) *, où € est un nombre positif arbitrairement petit. Si non il faudrait admettre qu'on peut trouver un nombre positif e tel que le rapport

—+e a non; æ)?

(Q reste, à partir d’une certaine valeur de x, inférieur à un nombre fixe, ce

qui rendrait convergente la série DEN laquelle diverge par hypothèse.

On peut done affirmer que l'on pourra, en fout cas, choisir la fonction

[0] . REPAS x E de façon que le rapport 7 soit (entre m et n) inférieur à (log,x) pour des

valeurs de x indéfiniment croissantes.

Supposons enfin que 9 soit égal à p + 1.

: k 4 { I S'il existe un entier Æ et un nombre s supérieur à - sn tel que le P

rapport [02] 1 æ x ÿ" .

æP#1,., (logxæ)

reste, à partir d'une certaine valeur de #, supérieur à tout nombre donné,

Sur quelques propriétés des fonctions entières. : rQ

Mais s'il n'existe pas de tel entier k, les calculs précédents ne nous

x À . FL: 0) Par fourniront aucun renseignement précis sur la valeur du rapport —: 4J'étuo

dierai par une méthode directe, au $ 19, les fonctions entières pour les-

quelles cette circonstance se présente.

Le module maximum d'une fonction entière d'ordre non entier.

13. Pour déterminer le mode de croissance d’une fonction entière, je m'efforcerai de suivre la voie la plus naturelle; partant du développement d’une telle fonction en produit infini, je considérerai ce produit sur une circonférence ayant pour centre l’origine, et je chercherai une limite supérieure et une limite inférieure de son module en un point quelconque de la circonférence. Je constaterat ensuite que dans des cas étendus ces deux limites coïncident: toutes les propriétés du module maximum de la fonction se trouveront alors résumées par une seule formule.

Soit F(z) une fonction entière de genre fini, (2) le produit de facteurs primaires contenu dans #{(z), en sorte que l’on a

HEC een

F(z2) étant de genre fini, le facteur exponentiel 67% s’étudie très simple-

ment. C’est donc à l'étude du produit de facteurs primaires, G(z2) que je dois m'attacher: cette étude suffit même au point de vue théorique en vertu du théorème de M. Picarp dont je rappelais au $ 1 la généralisation.