P. Boutroux

La solution la plus simple consisterait à prendre pour d(x) une puissance de æ. J'ai rappelé qu'il existe un nombre o (ordre de la fonction entière) tel que l’on ait à partir d’une certaine valeur de 2

(3) T; ee je ra quelque petit que soit à. On peut donc faire

(x) = xt.

Ce choix nous ramènerait à la méthode qu'a suivie M. BorEez, dans les travaux cités plus haut, pour évaluer le module maximum du produit G{(2).

Mais on sait qu'il peut exister un écart considérable entre la fonction

œ(x) et la puissance de x, æ°**. C'est là une conséquence de l'existence des fonctions à croissance irrégulière.” D'autre part, dans le cas même où l’ordre d’infinité de 7; est déterminé (d’après la définition de M. BorEL), il est souvent possible d’assioner au module 7; une limite inférieure plus précise que la limite (3). On aura par exemple

re iv+é (log ) 0

o étant un nombre fini. Il est à prévoir que l’on obtiendra des limites plus exactes si l’on peut, dans les divers calculs effectués, remplacer æP+a par une fonction d(x) plus voisine de w(x).

Laissons donc de côté, pour un moment, la fonction w(x) et faisons à priori certaines hypothèses sur d(x), en montrant que ces hypothèses rendront possible la limitation des intégrales définies 7 et Z.

5. Faisant d'abord varier # entre m et n, supposons qu'il existe deux A) : æ du) : :

nombres positifs pa et y tels que les fonctions = et 7 soient croissantes ou ; [0] Ha du moins ne décroissent pas lorsque m<x<n. Nous distinguerons alors

divers cas suivant la valeur qu'a À dans l'intégrale Z.

" Voir dans l'Antroduction, la définition de M. Borer. M. BOREL a montré qu’il

est facile de former des fonctions à croissance irrégulière,