ET/OU

où 7 est une constante positive finie. Je supposerai d’ailleurs 7 assez grand pour que l'on ait # > m.

On sait qu'on peut trouver’ un nombre positif b tel que le 5°%* À

p+1 è Se à (7) :

facteur de (2) soit, en module inférieur, à e ” . Le produit des facteurs de rang supérieur à # est donc, en module, inférieur à

brr+1 Ÿ é DIR

n+1 Fi

D'autre part

On a, par suite

n ; rP n . è kel) ler De pe RER

Si nous supposons # choisi de telle sorte que dim) soit plus grand que 1 (ce qui est légitime, puisque d(x) est une fonction croissante), on aura à fortiori

n n a L ® mie de ce brel de cp P+i

g étant, de même que bd, une constante positive finie.

15. Pour évaluer le second membre de l'inégalité (11), je supposerai d’abord que l'ordre po du produit (2) n'est pas entier.

Nous plaçant alors, par le choix de (x), dans le premier cas du $ 5, nous pouvons remplacer les intégrales définies qui figurent dans l’inégalité (11) par les valeurs obtenues dans ce paragraphe. Faisons, pour À£ y

® Voir en particulier Borel, Lec. sur les fonc. ent., p. 51.

1 da À } | ga — (17 LUS

Le nombre c, sera fint' en vertu de l'égalité (s) du $ 5 et nous savons en calculer une limite supérieure, De même

Le p+1 NOR pt, } | gr Cri hi,

ni Cox étant un nombre fini.

L'inégalité (11) devient donc

log | G(2)| <gr'+gn (9, nombre fini) ou

(M2) [G(2)| en.

h étant un nombre fini; car nous supposons ici 9 > p, en sorte que le nv . me

rapport — devient infiniment grand en même temps que r. r? je

La démonstration précédente serait en défaut si G&(z) était de genre zéro. On poserait dans ce cas 2 — #*, q étant un entier assez grand pour que la fonction de w, Œ{u) soit de genre un. La proposition du $ 15 s'applique à (uw), ce qui montre que l’on a bien encore l'inégalité (12).

16. De l'inégalité (12), on peut tirer diverses conséquences. Suwppo-

©. ., © telle que l’on aît à partir d'une

sons qu'il existe des nombres o,, o,,..

certaine valeur de à Fn lost lonn.

On prendra

HS 7 00e On

! Lorsque je dirai, dans le cours de ce travail, qu'un nombre est fini, j'entendrai par là qu'il reste inférieur à un nombre fixe lorsque » ou n augmente indéfiniment.

Il en résulte évidemment n < p,r'(logr) %...(log,r) * (7, constante positive finie)

et lon obtient pour |[G(2)|, à partir d’une certaine valeur de r, la limite supérieure [G(z)| < enr PGogr) A. (loger) %

h restant, lorsque 7 augmente indéfiniment, inférieur à un nombre fixe. Ainsi se trouve précisé le théorème de M. BoREL que Jai rappelé au $ 1.

17. Pour voir quelle précision il convient d'attendre de l'inégalité (12) dans le cas le plus général où l’ordre 9 est supposé non entier, je dois compléter le résultat précédent en donnant une limite inférieure du module maximum Mr) pour |2[—r.

On pourrait déduire cette limite des théorèmes de MM. HADAMARD et ScHou. On l'obtiendra plus rapidement de la façon suivante.

Désignons par #' le nombre des zéros de G(z2) dont le module est

inférieur à 77, 7 étant un nombre inférieur à CH et posons

: . , Zn) ie Lorsque à < #', la partie réelle de log ——— a une valeur finie su- (é

è I — , périeure à log PRPeD'on

hk étant un nombre positif fini.

Considérons, d'autre part, l'intégrale

l’origine. Cette intégrale est égale à l'unité Il est done certain que le

Sur quelques propriétés des fonctions entières. 21 module [G,(2){ est supérieur à wn sur une infinité d’arcs de la circonférence