C. On a sur ces arcs
(13) | G(z)| ie
4 I Dans cette inégalité on peut donner à % la valeur log ( = — 1). Faisons
en particulier 7 — Es: On pour alors remplacer l'inégalité (13) par
l'inégalité IGeleter:
Si, au lieu de G(2), on considérait une fonction entière quelconque F(2), il faudrait substituer à l'inégalité (13) l'inégalité
LF(2)| > {Æ{(o)le.
Remarquons enfin que le résultat subsiste si l’on remplace la circonférence (C' par un contour quelconque de longueur #, (# fini), dont tous les points sont à une distance de l’origine égale à kr (%, fimi.
18. Il nous faut maintenant, pour compléter les résultats des paraoraphes précédents, comparer les limites (12) et (13). Nous avons vu au $ 11 que, si l’ordre © n'est pas entier, on peut toujours choisir la fonction (x) de façon que les fonctions æ et d coïncident pour une infinité de valeurs de x indéfiniment croissantes. Donc, pour une infinité de valeurs de
le nombre # est déterminé par l'égalité r — #r
l'on veut, inférieur à =. On a pour ces valeurs n = n.
7 étant fini et, si
nn)
Mais il pourra arriver que pour certaines fonctions et pour certaines valeurs de 7 le nombre #' soit notablement inférieur à #7. On voit, en se reportant à la définition de #, qu'il en sera ainsi si la valeur de d(n) c’est-à-dire si la fonc-
est elle-même très petite par rapport au module r
tion œ(x) prenant la valeur »; pour x — ne satisfait pas aux con-
ditions imposées à (x). Il y aurait donc lieu de rendre plus exactes encore les deux limites assignées à WM{r) afin d'amener, s’il est possible,
La démonstration sera valable encore si le produit G(z) est de genre infini, Mais, dans ce cas il y aura intérêt à compléter la proposition en donnant à 7 une valeur voisine de l’unité. J’indiquerai dans la troisième partie cette généralisation qui
n’a point 101 d'utilité.
D P. Boutroux.
ces limites à coïncider, Toutefois de telles recherches ne semblent offrir au point de vue pratique que peu d'intérêt: on n'a jamais rencontré dans les applications et on ne rencontrera vraisemblablement d'ici à longtemps que des fonctions pour lesquelles les nombres # et n° sont égaux. Il nous suffira done d'avoir obtenu sur ces fonctions un résultat tout-à-fait précis.
Pour savoir dans quel cas on aura le droit d'identifier les nombres # et n', il suffit d’ailleurs de se reporter au $ 9, en considérant à nouveau la fonction œ(x) définie au $ 4. S'il existe un nombre positif à tel que
a el" Dole (0) : : à : ; les rapports —— 5» —5— soient croissants à partir d'une certaine valeur de o 22.
æP
{æ nous pouvons dans tous nos calculs remplacer @ par ©. En particulier, le nombre » sera défini par l'égalité
PA) Te
7 étant un nombre fini quelconque que l’on peut prendre inférieur à
