HU

La convergence est uniforme pour l’ensemble des points tels que (11) ait lieu uniformément sur cet ensemble.

Ce théorème a été démontré par M. Féjer pour les séries entières (vorr par exemple, Landau [8], p. 65). Montrons qué ce théorème est valable pour les séries (1).

Si la somme de la série

D anQu(zot) (On)

a une limite quand £ tend vers 1, il en est de même de la série entière

Le)

(12) D a Qn(50}é",

n=0 puisque l’on a \ hmar O0, (7)—0.

La série Zn|a,Q,(z,)| converge, donc (12) converge pour t— 1. C’est précisément ce qu’il fallait prouver.

Comme l'égalité (7) a lieu uniformément par rapport à l'argument de z, sur le cerele |z,|—R, on déduit du théorème de Fejer l’uniformité de la convergence de la série (1) sur l’ensemble des points du cercle de convergence où (11) a lieu uniformément.

Dans le même genre d'idées, nous démontrerons un théorème analogue à celui énoncé par M. Riesz [voir Landau (8), p. 53], dans le cas des séries entières. :

Tuéorème. — St la série (1) a le rayon de convergence R et st

(13) bm'as Ro,

n—= 2 alors, la série (1) converge en tout point du cercle de convergence, où la fonction G(z) est holomorphe. La convergence est uniforme sur tout arc fermé où la fonction G(z) est régulière.

Soit æ,æ, un arc fermé sur lequel la fonction G(3) est régulière. G(z) est alors régulière sur le contour et dans le domaine (D) indiqué par la figure 9, à

RE

, et

— R” assez voisins de R et |[x, — y

condition de prendre |3,|=12; |æ, — y, | suffisamment petits.

Posons st)= (5) @=n) ef ce D)

Il suffit de démontrer qu’on a lin 2, (x) =,

n= An uniformément dans le domaine (D), ou seulement sur sa frontière, d’après le

théorème de Weierstrass. En effet, on en déduira bien, uniformément pour æ sur l’arc æ,æ,