CH + + PUR

on a également, quand z tend vers 3, dans l'angle (D),

'@rts0)| — 0.

Le] 5 à] a lim à Un | Que) ol e Z2$2 à 70

Autrement dit, là série (1) se comporte au voisinage du point z, comme la

série entière ayant les mêmes termes que (1) pour = 2,

En effet, nous avons = se I I Qts) (+) ae LE. (2) 8, (2):

Z0 4 Z Zo

avec 4 nm 1 (D-H(-à) & 1 Or, nous avons vu que, lorsque x tend vers l'infini, la fonction E, (2) tend Z

à I À ? L vers la fonction E (2) uniformément dans le domaine [37 > 0. À AS : A D ADM:

On sait que, dans ces conditions, les fonctions dérivées E, (:) convergent û , PSC I .

uniformément vers la dérivée de E(:) dans le domaine |z|=2r, donc, ona 9 4 ke L4 Fe l'inégalité, valable pour |z/ = 2r

B (=) —E(E)|<Kis— oi 2 Æ0

K étant une constante indépendante de z et de ». Les fonctions E, (2) satisfont

à un critère d’égale continuité.

Pour |z << |3,| les séries ni AnQh(z) et D AnQh( 20) ah convergent puisque (6) est vérifié et l’on a :

ADN TAIEIE

2) Qan]|<Kis 2 À est + Ki 0 N+1

| D Un | QC) A (£

Choisissons N tel que, pour z == N, on ait |a,35|<{e; le deuxième terme du

second membre est alors majoré par Rire

|fol— 15] K et K, ne dépendant pas de e ni de 3 dans (D). 3 — z, | assez petit pour que le premier

N étant ainsi choisi, on peut prendre terme soit aussi petit que l’on veut, et le lemme est démontré.

Conséquences. — 1° Ce lemme nous permet de donner une nouvelle démons-

THÈSE Y. MARTIN

SD tee

tration du théorème de continuité d’Abel. En effet, si la série (1) converge pour z— 3, À; et a pour somme L, il en est de même de la série entière

D An Qn(£0) (£)°

D'après le théorème d’Abel sur les séries entières la somme de la série (8) tend vers L quand 3 tend vers 3, dans l’angle (D). D’après le ie il en est

de même de la somme de la série (1).

2° Montrons maintenant la réciproque suivante due à Littlewood:[6 |, dans le

cas des séries entières.

= Go —

TaéorèMe. — St l'on a LT just|=0() (Z57< À; où non)

et si La somme de la série

Co]

(9) D anQn(zot) . (o<E<1)

Vi =)

a une limite L quand t tend vers 1, alors

> n Qn(%0) = L

En effet, d’après le lemme établi, si (9) a une limite quand tend vers tr, la série entière

(10) D an Qn(50) #

a même limite dans les mêmes conditions. On a évidemment,

et la série (10) vérifie le théorème de Littlewood. Par conséquent, elle converge pour i— 1 et

D 7 O2) le théorème est démontré.

3° Une autre conséquence du lemme précédent est le

THÉORÈME. — La série En|a,z° er nn convergente, la série( 1 converge

en tout point 3, du cercle de conver gence pour lequel

(11) lim G(z54) existe GÉRÉE 0"