LA
(1) An Ce) avec Pa)=T[(- DE P(z)=1.
H=0 pi
Nous étudierons plus spécialement les deux cas suivants : A. Les nombres À,. réels, positifs, forment une suite croissante avec
lime Etc
nn &œ
B. Les nombres À,, réels, positifs, forment une suite décroissante avec
sd
ne
8) : x RE SE lim,=— 0, et nous supposons en outre que la série Ÿ à, converge.
Le cas (A) a été étudié avec une grande précision par M. Norlund, dans ses Leçons sur les séries d’interpolation [1 |, dans les deux cas particuliers où À,=— 7 et OÙ À, —= n°.
Les propriétés valables pour les suites {nr} ou | 7° | s'étendent au cas général (A) et permettent d'établir des différences fondamentales de comportement
Vite ok . DR + I . De , entre les séries (1) suivant que la série ne diverge [cas (A, 1)] ou qu’elle
converge [cas (A, 2)|.
Une première Partie de notre travail est consacrée à l'étude du domaine de convergence des séries (1). Le comportement de ces séries aux points : = À,
THÈSE Y. MARTIN. 1
0 Pa
fera généralement exception aux théorèmes que nous énoncerons el qui ne seront valables que pour : < À,. Nos résultats sont alors les suivants : |
Dans le cas (A, 1), le domaine de convergence de (1) est un demi-plan R(z) > S, R(z)—partieréelle de z; —&z 827 + 0:
Dans le cas (A, 2), l’ensemble des points de convergence de (1) est constitué soit par le plan entier, soit par les points 3 — À,. |
La convergence absolue de(1) alieu également dans un demi-plan [cas (A, 1)| ou, soit dans le plan tout entier, soit seulement aux points z — À, [cas (A, 2)|.
Nous donnons ensuite, dans le cas (A, 1}, des formules permettant de déterminer l'épaisseur maximum de la bande de convergence simple en fonction des densités supérieure et inférieure de la suite {À,}. Enfin, dans (A, 1) nous déterminerons les valeurs exactes des abscisses de convergence simple ou absolue en fonction des nombres @, et À,.
Nous abordons alors l’étude des conditions soit nécessaires, soit suffisantes, pour qu'une fonction F(z) holomorphe dans le demi-plan R(z) >o soit représentable par une série [A, 1 |. Ces conditions portent sur la croissance de F(z) quand lim|z —+ et ne sont d’ailleurs pas identiques. Elles sont cependant suffisamment voisines pour délimiter d’une façon assez précise la classe des fonctions F(z) representables par une série [A, 1]. Ces conditions permettent en outre d'établir certains théorèmes sur la croissance d’une fonction F(z) holomorphe, dans un angle et prenant, en certains points de Îa bissectrice de cet angle, les mêmes valeurs qu’un polynome donné à l'avance. Ces théorèmes sont analogues à ceux énoncés par M. V. Bernstein [7] dans le cas particulier où la suite { À, } a une densité D.
Nous passerons ensuite à l'étude des séries [A, 1] à la frontière de leur domaine de convergence. Le comportement de ces séries est alors analogue à celui des séries de Dirichlet (D)
| ZS(/ & Er à Die }, avec S(0o)—oa; Sn) +
