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Elles ont les mêmes abscisses de convergence simple ou absolue. On démontre plus :

. L ; x £ si >: 33 converge, [A, 1] et (D) convergent pour les mêmes valeurs de z sur V=1

la droite de convergence:

DE a A h : : : 2e : = si >. diverge, il est possible de construire deux séries associées FA: Tr] VE L et (D) n'ayant qu'un seul point commun de convergence sur la droite de convergence.

Dans le cas où la suite ! à, } a une densité supérieure finie, il est possible de

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préciser que les séries [A, r| et (D) représentent deux fonctions ayant mêmes points singuliers dans la bande S— << R(:)<S. L'épaisseur À de cette bande est liée simplement à la densité supérieure de la suite { À, ! et la valeur ainsi trouvée pour À ne peut pas être améliorée. Il en résulte des applications multiples à l'étude des points singuliers des fonctions représentées par [A, 1}, déduites de théorèmes analogues établis pour les séries de Dirichlet. On peut, en particulier, choisir les coefficients a, de telle façon que la somme de la série [A, 1] soit holomorphe sur la droite de convergence (théorème d’Aronszajn.). |

Enfin l’étude des séries (B) montre qu’elles présentent des analogies profondes avec les séries de Taylor. Nous obtiendrons ainsi, soil par des méthodes directes, soit indirectement, des théorèmes d’une part sur la convergence des séries (B) sur le cercle de convergence et d’autre part des théorèmes sur la position des singularités des fonctions représentées par les séries (B) (théorèmes d’Abel et réciproques, de M. Riesz, M. Landau et M. Fejer).

Je tiens à exprimer ici toute ma reconnaissance à M. G. Valiron pour les précieux conseils et les encouragements qu’il n'a cessé de me donner pendant la préparation de ce travail.

J'adresse enfin mes remerciements à M. Paul Montel qui a bien voulu accepter de présider le Jury et à M. P. Dubreil qui a bien voulu se Joindre à MM. Montel et Valiron. |