AR TR

d'où, puisque|æ—y,|=R—ret|æ—y,|<K, |8n(æ)| <HKRe,, où Le coefficient de €, est indépendant de æ et de n.

2° Pour R<r£R", on a, en désignant par M le maximum de G(z) sur le contour et en posant

AE M —- | do mL | daQi(x) | Neck ete | Am On() l

ZA SE D | a Q, (x) LENS ES es (E) ï |

In +1 B — I

en(æ)l noi H(R) ie R)læ— pal.

ere

G(x) D ay Q,(æ)

d’où

Orlæ— y, |<CK; donc la) 1Z k{=) R)Am+ HKRen.

Choisissons m tel que En nn Comme :

R\z+t R () CRETE 1 n

2 KRA on à, pour tout n = ——",

Fgn(æ)|<e.

3° Pour æ sur l’are 3° 3°, avec les mêmes notations, on a

e TL AUX : æ +1 1 G(æ) — Ÿ a, Q(æ) 2 À ;n + Hem ( 4 FI este - | J£An+ He» B Ee 0 UE |) R Comme x —RY>d>oet RENTE K, on à n+1 HK°?2R

m se d En

n+1 * en [ee lé - æ

É n+1 ete) | Z K: à | [an pe

KR HR |z æ d |R

Choisissons m tel que €, < HR alors pour tout » vérifiant nr = n,(E)

etrn>m,ona

R € K:| en mm < T2 Æ 2 d’où [en(æ)|<e.

4° Pour x sur l’arc 3,3, on a ñ Der 1 HR G(x) —Y ayQ,(æ)| <'HRe A R—]x] = 7 En)

d’où FACAIES pour n>no(E).

Comme, d’autre part, on a gn(J1) = 8n(J?) = 0;

on en déduit que, uniformément dans (D),

los (a 0

ce qu'il fallait établir.

On peut enfin énoncer un dernier théorème, dont la démonstration s'établit

facilement en utilisant la transformation d’Abel.

Nes

THÉORÈME. — Les séries L

Ce]

G(z)=Ÿ a Qu(s) et Ta) =D rare

convergent simultanément, sauf éventuellement pour z — À.