ÉTUDE DES POINTS SINGULIERS DE G (3) SUR LE CERCLE DE CONVERGENCE
Nous avons déjà démontré que si le rayon de convergence d’une série (1) vérifiait R£À,, la fonction G(z3) représentée par cette série avait un point singulier au moins sur le cercle de convergence. Nous allons démontrer un théorème analogue à celui de Landau valable pour les séries entières.
THÉORÈME. — Sr la série (1) est à coefficients positifs ou nuls et si elle a le rayon de convergence R Æ£ X, alors le point 3 —R est point singulier de G(z).
Ce théorème est en défaut si R—,, comme le montre le développement de 0, 0,(2). Nous n’en donnerons pas la démonstration qui est, en tout point, comparable à celle donnée à la fin de la première Partie dans un cas analogue.
Nous montrerons, enfin, le
THÉORÈME. — Les fonctions
Co] a
G(z) =D &.Qu(s) et Ts) = Vans, ;
définies pour |3|<ÛR, ont mémes points singuliers sur le cercle de convergence|3|=R >< },, à condition que
l'égalité (14) #E(S)— Qt = Qt RE) 1]
Supposons |z|[%R et choisissons un nombre ñ, tel que pour tout nn, on ait d
RQ" nn An 4 et Ans e,.K,
oi
Alors, puisque
Mog(i—y)|Z21y| pour |y|<!, on à à n+1 I 2 DRE £ logR( 2) se E DE Tin ue Le j n+1 DER d’où
A et B étant indépendants de n et z pour |z|==R. De (14)on tire
(15) B(L)nte- Gt = Sao R(E) 1]
et la série du second membre converge absolument et uniformément pour
|| LR'<CReï, Ce qui prouve que les fonctions T(z3) et G(z) ont mêmes points singuliers pour
RZ|:|< Re, BE A:
Ce théorème ne peut pas être amélioré. Il suffit pour le voir de prendre
an=(— 1}, An e À.
La fonction E(:) T(3) — G(3)n’est pas holomorphe pour 3: = — e“ puisqu'on ; 1 peut montrer facilement qu’elle augmente indéfiniment quand 3 tend vers —e*
par valeurs supérieures.
On vérifie aisément que tous les théorèmes démontrés dans cette deuxième
Partie, sauf le théorème de Landau, restent valables lorsque les nombres À,
Re S sont complexes, et tels que la série > | À, | converge.
