EUX, MC

Avant de voir comment on peut calculer les coefficients 4, de la série (1) à partir des valeurs F(X,) de la fonction F(:), nous allons démontrer les deux

théorèmes suivants :

ANT ET ne C4 + RES | THÉORÈME 1. — S2 D x, COnverge et si la série (1) converge pour 3 — 2, Z, (11, 2, ...), la série (1) converge pour toute valeur de 2.

Posons, en effet, a, P,(3,)— b, et De = €. On à, en utilisant la transforn\Æ<0 ote mation d’Abel,

> a P, (3) = (es H)D bo Cm > by.

di Vi 77 S—=7 V= 7

Puisque la série (1) converge pour z —3,, on peut déterminer un nombre n,

tel que > b,| <epourmD nr n,,(e% 0).

D'où l’on tire

(2) D aP,(s) (ie Gus | + | Om |

VE TL VTT

Or, |c,| est borné puisque le produit infini Il (: — 5) converge absolu- > = 1 nm ment et que z, est différent de À;. D'autre part,

RE 2|@||3—+— 2] AR Re re" 0,

Cy— Cnil —=|cy|

V+1 —— So Y+1

dès que À,,,>2}2,|. Le dernier membre de l'inégalité (2) est le terme général d’une série absolument convergente, donc le coefficient de « dans (2)

est borné pour z donné, met n étant quelconques. La série à aiP,(z) converge n=0 donc quel que soit z. Il résulte même de la démonstration que la convergence est uniforme dans tout domaine borné du plan. Il est évident d'autre part que la convergence de la série (1) pour 3 = X; n’entraîne pas la convergence de la série pour toute valeur de z. Le domaine de convergence est constitué ou bien, par la suite des points z — : (cas trivial), ou bien par le plan tout entier, et la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que la série

F(o)=Y a, converge.

THÉORÈME 2. — 7 >à 7 diverge et st la série (x ) converge pour z — 3, Æ À;, elle

EAN TAUER converge uniformément pour z appartenant au secteur (S) défini par z == 2,+- reït avec a. quel que sotR©0, lo! as = = (1 0).

. Enutilisantles mèmes notations que pour le théorème 1, il suffit de démontrer que le coefficient de < dans (2) est uniformément borné, quel que soit z dans le secteur (S).

Soit 5, la partie réelle de z,; S,, M,, M et L, les images des nombres 6,, 3,, 3 et À,. Pour nn, on a les inégalités entre angles compris entre zéro et

be T - PRESS F

M ML,> - Get @L Mis a 2 2 2 Donc, en écrivant que la projection de L,M, sur L,M est inférieure ou égale à L,M,, on obtient

r sin * NDS le ses)"

[— 51S 1h :|+rsin ou

Fig. 1.

; RE on adonc, pour >, nr, >>, étant tel que À,, — 55 — , Sion F0:

dr = sin Fe

NIET RES —— Co EU —— Co Te) Î=n:

Désignons par d, le second produit du second membre de (3). On a évidemment o € d,<{1; d’après l'égalité

D ls on obtient 2C feyicua 7 (dy — diys)

Sin”

Ha—1

C désignant le maximum du module du polynome I (;=—=) quand :

appartient au secteur (S). Donc,

1 — 1 2 C Ve De | Cy fe Cy1 | 2 Q (d: ET 5) <— . s Sin Sin

VSNL

Pn LS -Æ

LTD

L'inégalité (4) entraine que |c,| est borné puisqu'il en est ainsi pour }c,. |, donc aussi le coefficient de « dans (2). Le théorème 2 est démontré. |

De ce théorème, on déduitquelasérie(1)converge pour =R(:)>5—= (2) et qe, par conséquent, il existe un domaine de convergence constitué par un demi-plan limite à gauche par une droite R(:) — 8. Cette droite est appelée la droite de convergence de la série (1)êt $ l’abscisse de convergence. La convergence étant uniforme dans tout domaine fermé, borné, intérieur au demi-plan s >S, la série (1) y représente une fonction holomorphe F(z). ve

SiS——%, F(z3) est une fonction entière; si la série (1) ne converge pour aucune valeur de 3 autre que À;, nous dirons que S—+ .

Le théorème 2 nous indique plus encore; si la série (1) converge pour 2—=S4+17, 8 étant l’abscisse de convergence, la fonction F(z) est continue au point 3, quand z tend vers z, à l’intérieur du secteur (S). Ce théorème est en défaut, si 3,— À; comme nous le montrerons par des exemples.

CITAPITRE IL.