CALCUL DES COEFFICIENTS

Soit F(z) la somme de la série d’interpolation (1). Comme cette série n’a

qu'un nombre fini de termes pour 3 = à,, ilest facile de calculer ses coefficients en fonction des valeurs de la fonction F(z) pour 3 — À;. On a, en effet,

L FA) = @; à 15 MAPAET AE ( L ai 1 | (5°) RS ENT ANS MEME EL E :

| / == À2 \ EX) = a ( == s ie PAR Système qui admet une seule solution CAGE RE TRPR .), les a, se déter-

minant de proche en proche sans impossibilité, ni indétermination, puisque dans la n° équation le coefficient de 4, n’est pas nul, les À, étant supposés tous différents les uns des autres. Ce calcul est d’ailleurs à la base de la théorie des différences divisées, théorie exposée dans le premier Chapitre du livre de M. Norlund [1]. On pourrait ainsi croire que la représentation d’une fonction F(z) par une série d'interpolation, lorsqu'elle est possible, est unique. C’est effectivement le cas lorsque Ÿ : ou, si d — di : > }

ë que 2 y converge ou, si D j diverge, lorsque S<%,.

; 1 ( | Mais lorsque $ e-t supérieur où égal à À;, la série (1) qui converge encore PS E , ’ ’

pour 3— A; (CS) n’y représente plus forcément F(z); les valeurs F(X;)

sea

peuvent alors être prises arbitrairement, et l’on voit que la série (1) dépend alors de p constantes arbitraires, p étant le nombre des À; inférieurs ou égaux à &. En effet, désignons par A, les valeurs arbitraires FCX;); les coefficients a, dépendent linéairement des A. Nous allons montrer que les coefficients de A; sont des séries admettant pour abscisses de convergence respectivement les nombres À..

Soit O,(:) la série coefficient de A,. Elle s'obtient en faisant FC) = 0 si 1 p et F(A,)=1. Un calcul facile montre qu’on a alors

ei En O1 (0Æn Cp 2), Unie (Rp Si)

Nous allons montrer que cette série 0,(z) converge pour 5 > À, et y représente zéro, tandis qu'elle est égale à 1 pour z — À,. En effet, le terme général de O,(z) est égal à PACE)

GR) Pr)

(pr):

D'autre part

LT Dr 2) à

an P; 3 a > 2) DRE Jess TEEN

Pa(s):

et il nous suffit de montrer que tend vers zéro quand » tend vers l’infini,

3 étant fixé, et tel que

Il en sera alors de même de 4,P,(2). Cela résulterait aussi de ce que

im este) n=x Pr(Ap)

Négligeons le quotient des (p — 1) premiers termes du numérateur par ceux du dénominateur, ce quotient restant borné quel que soit z dans un domaine borné. I] vient

»fl fe = h À Î=p+1 expression qui tend vers zéro comme cela résulte du comportement asymptotique de P,(z:) pour z fixe et » tendant vers l'infini (vosr Chapitre HT). Ainsi, les séries O,(z) qui convergent pour 5 >> À, et aussi pour : — À; ont pour somme zéro pour >A,etz=À;(j-<p—1)et 1 pour = — À,.

On obtient ainsi des séries dont la somme n’est pas continue dans le secteur (S) de sommet ?,. Ces séries ne satisfont pas au théorème 2 d’Abel. Elles constituent l'exception que nous avions signalée à la fin du paragraphe précédent.

Leu

ILest évident que, réciproquement, si l’on impose à une fonction F(z) d'être

nulle pourz= À,(n=p+1)sasérie d’interpolation, quine représente peut-être | 5

pas F(2), est de la forme Ÿ A,0,(:) et représente zéro pour s > À,, O,(2) LEE

étant la fonction d'ordre r le plus élevé dont le coefficient n’est pas nul.

Une fonction représentable par une série (1) peut donc avoir une infinité de représentations, les séries obtenues différant entre elles par des développements de o. On peut ainsi agrandir parfois le domaine de convergence de la série (1) en y ajoutant un développement de o convenable, ä condition que F(=) soit holomorphe dans un demi-plan plus grand que le domaine de convergence de la série initiale, et que l’abscisse de convergence initiale soit un des nombres À.. re

# ke [Al I g 13 On peut, par exemple, représenter la fonction F(z) — — 3, étant un peut, p P F Er

33, nombre quelconque réel ou complexe. Le calcul des coefficients peut se faire par la méthode des différences divisées, mais il resterait à montrer que la série obtenue représente bien F(z). Nous opérerons plus rapidement de la facon suivante :

Soit

— = an Paz).

En multipliant les deux membres par : — 3,, on obtient l'égalité