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sera nulle. Mais maintenant nous pouvons en conclure que Ja fonction A(xi, %, ..., 4) sera. elle-même égale à zéro; car le quotient-des deux formes primitives E(w, w') et Et, t”) ne saurait être, pour une relation particulière entre xi5.4%,:..8%, ni aul, ni'infini. |

Nous voyons donc que sil est impossible de mettre toujours les quantités A(x;, ..., æ,:), elles-mémes, sous la forme de fonctions linéaires et homogènes des quantités o(x;, ..., «}), dont les coefficients soient fonctions entières de 2%, ..., æ,, il est, par contre, toujours possible de mettre sous la forme d’une fonction linéaire et homogène des quantités o(ti, ..., æ,), le produit de la fonction A(x, ..., x;) par le quotient de deux formes primitives ayant mêmes coefficients, les coefficients de cette fonction homogène et linéaire étant toujours finis et déterminés,

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 119

lorsque les variables 2%, ..., æ,, ne sont liées que par ne relation algébrique. Nous sommes ainsi amenés à dire qu’une fonction entière EF d'un nombre quelconque n de variables, contient un système donné (fi, f:, ..., fu), et à écrire

H=omodd fe fee 5.)

lorsque nous pouvons, en multipliant Æ par le quotient de deux formes primitives, ayant mêmes coefficients, établir une égalité

E(U) m ET À rh

dans laquelle nous soyons certain que tous les coefficients &, soient finis et déterminés, quelle que soit la relation particulière qui lie les (n — 1) variables paraissant au dénominateur.

E(U) | E(V) vraiment ici le rôle d’une wmnité.

C'est dans ce sens plus large que celui que nous avions donné en commençant, parce qu'il suffisait dans le cas des fonctions de deux variables,

Le quotient des deux formes primitives E(U) et E(V) joue

qu'il faut entendre l’équivalence des deux systèmes

LA, é RE %y)) A (x: EU œ,)s LES 2 An MECS y)

et

a ta a te ER pas i)e

Nous appliquerons aussi à ce genre d’équivalences, le symbole +, et

nous écrirons ’ , , 1, (M) 4e 4; …… A») Re feu Dig» es ins is RQ

Nous voyons enfin facilement qu'à l'aide des indéterminées %,, %, ..., 4, 3, prises plusieurs fois, les deux systèmes

Ps ae TA PI AE RON À Peter 9 A CARE SEE A |

et [si(x’, Ti, CRUE Th 9)s si (æ', LE Or OM mb}, G'Usk, CL C2 Ti PARCS: Ty )]

sont aussi équivalents,

120 J. Molk.,

3. Nous avons jusqu'ici ramené l'étude du système quelconque donné à celui d’un système

! 2 (m) (SE SAC RES

dont les éléments, considérés comme des fonctions des variables

V'y Bis Dos ces Un 9) contiennent une variable de moins que ceux du système proposé, et nous avons vu ce qu'il faut entendre par équivalence de ces deux systèmes, puisque nous venons de traduire cette équivalence par une équation algébrique.

Il nous faut maintenant répéter sur le système (s;, si’, ..., sf) les

mêmes raisonnements que nous avons faits tout à l’heure sur le système (G;, G,..., G@,). Nous introduirons tout d'abord de nouvelle variables

L44 Lo Lo Se se) D

fonctions linéaires des précédentes et nous déterminerons les coefficients de ces fonctions linéaires de manière que pour à — 1, 2, ..., m,, le degré de s® par rapport à chacune des nouvelles variables soit égal à la dimension de cette fonction. Le système

ITS ! nr : / / / M : # [si (x, Lys ces nos Us cos Un); S (x’; Lis vos Vpos Uys ses Un) >1eYs

des Rs Lis ses Dn2s Unis ve) u,)| est ainsi transformé en un système équivalent que nous désignerons par

/ 1, 1! 1, . font! 1? ? 2 [A (x;', Lo y eee Unis Us ces Un); IL (&;', Lg y ee Un Us ve. Un)ÿue ee

LA 17 1 / RS, lie os CLR il

Nous relierons ensuite les nouvelles variables par une fonction homogène et linéaire à coefficients indéterminés

TE es di 11 22 UE EUR on re ViT + Va Lo + GEL + Vn—1 Ty 13 V1 Lo I,

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 121

et nous substitucrons à æ,°, sa valeur dans chacune des #, fonctions considérées. Nous obtiendrons ainsi un système

71 [24 [44 [KA (x y Up ces Uno Us ces Un Vis vs):