V\ TE 1(X

Nr, æ, ce, 2) = Zu oi (mi, M...) 1)

où les wf et w,® désignent deux systèmes d'indéterminées, et si nous cherchons à déterminer deux multiplicateurs entiers

’ ’ / SL. 7. / (Pier, NL DA) OL PIRE RME ETES de maniere à vérifier l'égalité 6 ! , AE, 4-00 | À

ST a (x; Lay TA". æ,) M, (x, Lo NS, a) + BIG, Lo AN) r,) N(x;, La NE œ)

ou, ce qui revient au même, ## multiplicateur entier a(xi, æ, ..., æ}) de maniére à vérifier la congruence

— nn n 1 ! 11 AÛTE, Base, M) = (ti as es M) Mr me, CONIMOdN (GET EE FEES nous avons, d'aprés la formule de LAGRANGE, D, (LES RER

0 2 0 (#) , ’ 0 “4 A (ai; die) ne 19 Den ) Ni(æi» cs n19 2) I

! eu (#4) ! (4) ou ! ! !

M; (æ1, es Un-19 Sn ) Ln — Sn D;, N; (æ ) tee) En—1»9 La, = E0

et la somme étant étendue à toutes ces racines.

Le problème est maintenant identique à celui qui s'est présenté dans le paragraphe précédent. Il s’agit de voir si la forme sous laquelle nous venons d'écrire le multiplicateur ax, æ&, ..:, æ,) peut être illusoire, pour des valeurs particulières données aux variables æ;, æ,, ..., æ,.

Convenons, une fois pour toutes, de ne restreindre la variabilité des variables æ!, 4, ..., 4,1 que par wre équation, ce qui revient à laisser

Sur la notion de la divisibilité et. sur la théorie générale de l'élimination. 115

par exemple #%;, æ,, ..., æ, indéterminées, à les joindre au domaine de rationalité et à donner alors à %!

, une valeur particulière; ou encore, à relier %, 4, ..., %, par deux relations indépendantes, seulement. Nous nous apercevrons bientôt de la raison qui nous amène à faire cette restriction; sans elle, en effet, nous ne pourrions pas résoudre le problème de l’équivalence des systèmes de fonctions d’un nombre quelconque de variables.

Il nous faut faire encore une autre hypothèse. Nous n'avons pu résoudre entièrement la question proposée, pour n — 2, que dans le cas où le résolvant du système considéré, qui était le plus grand commun diviseur des coefficients de la forme SU, V), n’a pas de facteurs multiples; et nous avons vu qu'alors le dénominateur H(x,, y) ne pouvait être nul que du premier ordre pour une valeur particulière donnée à y. Nous ferons ici l'hypothèse équivalente en supposant que, les n — 2 variables 21, sy .., 2 2 restant indéterminées, le plus grand commun diviseur des coefficients de la fonction S(x', x, ..., æ,.), considérée comme une fonction des indéterminées w et w’, n'ait pas de facteurs multiples; alors, lorsque le dénominateur M,(x;, ..., x,,, EŸ) s’annule pour une valeur déterminée, indépendante des indéterminées w et w’, donnée à x,:, il ne sera nul que du premier ordre.

Cette hypothèse est plus que suffisante pour l’objet que nous avons en vue; car il suffirait, pour démontrer que l’expression précédente de (ti, ds, ..., &,) n'est pas illusoire, de supposer simplement que la-fonction A(x', %,...., x, 1, ©) qui sannule en même temps que Mix, æ, ..., 2,1, E) pour des systèmes indépendants des indéterminées # et w’, soit, pour ces systèmes, au moins nulle d'un ordre aussi CIENCRQUOEMUEE, Te nr, EU).

Sous cette hypothèse, on voit facilement que l'expression de a;(xi,…, æ}) donnée par la formule de LAGRANGE, n'est pas illusoire, pour des valeurs indépendantes des indéterminées # et w’ données à x;, æ,, ...,x,. Le raisonnement est le même que dans le cas de deux variables, et je ne le répéterai pas. |

Le produit

IL M, (x:, La AY A: 1, 9) ID, N (x, La AS ES | Lys D) E%

116 J. Molk.

est une fonction entière des indéterminées w et w'; nous pouvons le mettre sous la forme

flaisnas a, de) Hate 2 Ro vs)

en désignant par f(x, 2, ...,x,,) le plus grand commun diviseur des coëfficients des indéterminées w et w', et, par suite, par Ex, &, .…., 4, 13 w, w') une forme primitive des mêmes indéterminées. Les coefficients de cette forme, n'ayant aucun facteur commun, ne peuvent s'annuler simultanément lorsque la variabilité de x;, æ,,...,42,, n'est limitée que par une relation algébrique.

Posons, pour abréger,

ré, de ue, 0) = Et Se MR RENTE) PEER Le résultat obtenu est que la fonction 7(x;, æ, ..., x,) ne se présente jamais sous une forme illusoire. Mais alors la fonction rationnelle de Lis Lis ce. L 1 donnée par la formule de LAGRANGE,

(a; Lay se) œ,)

est sûrement fonction entière de x, .,; elle est donc fonction entière de Tiy ces, Ln vs en effet, nous avons démontré dans le second chapitre, qu'une fonction rationnelle de plusieurs variables %, y, 4, ... qui est entière par rapport à l’une des variables x, est également entière par rapport à toutes les autres y, 4, ..., à condition toutefois que le dénominateur de la fonction rationnelle ne contienne pas de facteur indépendant de x. Cette condition peut être, ici, considérée comme vérifiée puisque nous avons commencé par transformer les variables x,, %,, ..., 4, à l’aide d'une substitution linéaire à coefficients constants, et que nous pouvons choisir ces coefficients d’une manière arbitraire, pourvu qu'une relation déterminée ne soit pas vérifiée; nous les choisirons, après coup, tels, qu’en outre, la dimension de f{x;, æ, ..., x,,) soit égale au degré de cette fonction par rapport à la variable æ,,; en répétant alors tous nos raisonnements, nous serons certain que TU", 50 PANIER une fonction entière des # variables x!, æ, ..., x!.

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 117

La congruence ! , Eu , r à LA 1 [4 pme. : F M À ; ; - E(x;, LE CHEQUE | Ty 15 W, w") A(æi, Los ssLele L)= y(xi, La »:#1070 z,) M, (x:, Las CICR | x) [MON ne, Da ae une fois vérifiée, le quotient

Bite, Das ve, D

est nécessairement une fonction entière de x!; toujours d’après le même théorème, ïl est donc également fonction enticre des autres variables , L :

1, Vs ; CLR) V1

Ainsi l'égalité TURN nu ADN AT, 4. 2) pti), Mit, eo) + AG cie, Mit, ce.) &)

est vérifiée pour les deux fonctions entières 7.(xi, ..., æ,) et B(xi, ..., x; que nous venons de former. Ces fonctions entières dépendent des indéterminées # et w’; ordonnons les deux termes de l'égalité précédente, suivant Ces indéterminées, et comparons les coefficients, Dans chacune des égalités que nous obtenons, le terme de droite est une fonction linéaire et’ homogène des fonctions ox, æ,, ..., æ,); les coefficients de ces fonctions ox, æ, ..., x,) sont des fonctions entières des variables Œi, Lys +. L,; Si pour une valeur particulière donnée à x, et une relation particulière entre xi, ..., æ,., toutes les fonctions o(xi, x, ...,x;) sont nulles, le terme de droite est nul, donc aussi le terme de gauche.

Pour en conclure que la fonction A(xi, ..., æ,) est alors elle-même

nulle, ce qui est nécessaire pour que cette égalité réponde à notre re-

cherche, il serait nécessaire de savoir que pour la relation particulière /

considérée, le coefficient de A(x;, ..., x) ne peut étre nul. Or, nous savons seulement que tous les coefficients de la forme primitive

E(x;, TL; EL? V1; w, w')

118 J. Molk.

ne peuvent étre nuls simultanément pour cette relation particulière; mais | chacun d'eux peut parfaitement s'annuler à son tour, si nous considérons successivement plusieurs relations particulières. Aucune des égalités précédentes ne répond donc à notre recherche.

Nous parvenons cependant ‘bien simplement au résultat, et cela en divisant les deux termes de l'égalité démontrée par une forme primitive Efx!, ..., «,1; t, t’) dont les coefficients sont identiques à ceux de la forme primitive ÆE(xi, ..., &,,;°w, w')}. Nous obtenons alors, en effet, une nouvelle égalité,

E æ! 7 ad sw w re (0 En) = Z rx, cs ns W, W', Ë, SLA #5 x)

dans laquelle les expressions 7,(&;, &, ..., æ,; w, w’, t, t’) sont, il est vrai, des fonctions, rationnelles de x, 4, ..., x, , mais ne contiennent au dénominateur qu’une forme primitive des indéterminées & et #. Si donc toutes les fonctions o(x;, ..., x,) s’'annulent lorsque, x, ayant une valeur déterminée, les variables %,, 2, ..., æ,. sont liées par une relation particulière, les cocfficients r(x;, ..., «,) de ces fonctions, quoique se présentant sous forme de fractions ne seront pas infinis, et, par suite, comme tout à l’heure, l'expression

E(æi;:.., &, 3 w, w) E (x; , ss En—15 Le t)