PRIT
L;(a > Vip ces Uno Us ee s Uns Vis ee) Un ne
FE
LE Me RL EC PU |
my
qui, relativement à la variable x”, est équivalent à l'unité, comme tout à l'heure le système
LG Li, hs 13 Us) SNA DEA SU. Pr)
relativement à la variable +’.
Acta mathematica. 6. Imprimé 7 Juillet 1884, 16
122 J. Molk.
Après avoir relié les éléments Z;, Z, ..., L,,, par deux systèmes d'indéterminées U,, Un, 0: Et POP NP Pons MOTORS résultant S, des deux fonctions
DU LE Cet He (É=i,220 0)
Œ @ par rapport à la variable xf.,. Si s,s', ..., sf”, désignent les coefficients de la fonction $, ordonnée suivant les puissances des indéterminées U et -V, jet si, (k= 15 02, 0 00m ie D PRE OT coefficients des fonctions s,, 8’, ..., s"? ordonnées par rapport aux puissances des indéterminées %,, %, ..., %,;, nous voyons, en raisonnant comme tout à l'heure, que le système
1 ! % ’ , (ms) Gt D225 gs +. Os, » Pays es os)
est équivalent au système 0 , A!
CL PRANES A)
dans le sens que nous avons été amenés à donner à l’équivalence en recherchant les rapports des deux systèmes
P ! ! , 11 M) (4, Be, An) ct (oi: ; Fist 06 RO) NILIANAREE oi).
Les indéterminées #,, %,, ..., v,, ne sont contenues qu'en apparence dans les éléments Z{, 24, ..., L,, considérés comme fonctions de
a, 4j, +. dy 33 Cest pourquoi nous avons posé pour plus de clarté
Ar Port 11 1 à AA 9 To PERRET Le) :
’ 1! .!! #12 nt! 0 un L;(v,x: 47 VyTo 5e COTE + Vy1ln1s Lys Los co) Mn-99 Vs Vop es v. AK)
(h=1, 2, .…, mu)
Mais les indéterminées %,, %, ..., w, font partie intégrante des fonctions Zi, ZL;,, ..., L,, et sont, par suite, contenues dans les fonctions 4,,4,..., As al ne faut donc past pour rechercher l'équivalence des systèmes, revenir aux coefficients des fonctions 6, ordonnées suivant les puissances des indéterminées %,, %, ..., u,3 il faut, au contraire, comparer les systèmes qui contiennent encore ces indéterminées.
Cette différence ne change rien au raisonnement que nous avons fait plus
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 123
au
ñn
haut; nous pouvons, par exemple, joindre shnplement #,, #4, ..., u
domaine de rationalité. En répétant alors le même raisonnement nous
voyons quecchacunendes fonctions A,(2i482%,... 4 du 1 Usines Un)»
( — 1, 2,..., m,), multipliée par le quotient de deux formes primitives r
PaDATADpOEt Aux variables er; 2%, 0%, ,-peut-étre mise sous la forme d’une fonction linéaire et homogène des fonctions
A CET DR LE EU PTE CPS el vus Eat ee Mn) dont les coefficients sont fonctions entières de x}, et ne contiennent au dénominateur qu'une forme primitive par rapport aux variables
LA
Dita Tente Rysteme (di, 4.1, À
LA m
) contient donc le système ou cu 0 Je NVetS@eD tu ou DAT BLLICE, LE PAPE (2 de Or louis «nee o+) Contientide système, (4, 4,,:.:31 11).
Les deux systèmes que nous comparons sont donc équivalents, et nous pouvons écrire
A! ! ’ 0 , 0 1 : (m3) (4, 4; ; SCO 6 A Jar: Pa ce y Ooy,y On RÉ E
mi; 22
à ; f PRE ’ , , 11 (ma) DRPIUESCCITEMIORSTStENCN 0,00, - 00h; Curie. On
) est luimême équivalent au système formé par les éléments s,, 8, ..., sÿ", pris un certain nombre de fois, et pour des systèmes différents d’indéterminées ,, ..., V,1, nous avons aussi démontré l’équivalence, à l'aide
d’indéterminées v en nombre suffisant, des deux systèmes
0 1 = : 1 ’ AY 1! LE LAG@;, La’) SIC CAEN A; (œx', Lg 3 +.) LE à co, An; Lg y +.) La )]
et
0 Diamant han 00 D EE, 8 me | où, pour abréger, nous n'avons écrit qu’une fois, dans la dernière parenthèse, chacun des éléments sf.
4. Nous continuons ainsi et nous formons successivement une série de fonctions
E;, ER, , BL, , JE-He BR, vi
contenant respectivement n, n—1,n—2,..., 3, et enfin deux variables. Nous retombons en dernier lieu dans le cas particulier d’un nombre quel-
124 J. Molk.
conque - de forictions de deux variables, cas particulier que nous avons étudié dans le paragraphe précédent.
Soient
pti pfn—1), , A ' . . , Fe Et CE + RC PE ne nt) RARE NT
le plus grand commun diviseur de ces fonctions de deux variables, et 2 —] ,(n—1 ; ; x CLR RD SENS M Te M PT
DR Da Saut Fe - 200 Mur Vis crie Cr NE le système débarassé de ce plus grand commun diviseur ét déjà transformé de manière que pour à = 1,:2,..., m,,, le degré de la fonction Lf?, par rapport à 2%"? et à 1%"? soit égal à la dimension de cette fonction. -
Nous formons le résultant, par rapport à x”, des deux fonctions.
2 VIA SELS AT ALES ST (&) (@) si nous désignons par ,n—1 . ; = 7 T S,-1(8 > Wjys.., Us Vis es Un 19 HOCPRSE Wii; Ws; EÉNEER (ERRES OPA AE à
ce résultant; par
/ —1 10, (AT Vo MS MS D De UN ERA ECO AS ESS les coefficients de #8,,, ordonnée par rapport aux indéterminées U et V; par
’ , , on, d
On—1,1 , On—1,2)9 On=139 a RAR On—1,v.
les coefficients des 8®,, (k — 1, 2, ..., m,;) ordonnées par rapport aux indéterminées w, et w,, après que l’on à substitué à 2°"? sa valeur
w, AN? + Vo ge :
ct enfin par
(n—9) / ,(n—1) (n—1) ; Je £ AP (ai, rs M0 SU OT Re
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 125
les fonctions
(a=—2) /, (n—-1) mel) pn—1) ., ; ; ’ , EE QU LU Vin RUE ee mess Usa)
qui ne contiennent qu'en apparence les indéterminées w, et w,, nous voyons, comme dans le paragraphe précédent, que les deux systèmes
(n—2 183 Lo (mn) (A Fs 4Ÿ 7, RAT LEE Por Es / o) et (0,1 In) TRES PE DRCC EC > On—1 F ) 2 "à n—1
sont équivalents, dans lé sens que nous avons attaché à ce mot dans le chapitre précédent, et, à plus forte raison, dans le sens plus général que nous lui avons donné dans ce paragraphe-ct.
Soient
A. | its VA LAM de et an ll)
le plus grand commun diviseur des fonctions 8%,, (h— 1,2,...,m,;) et
SD CLES, LR us W) LE Fr ASE 1) NES: UE W:).
