A=1 27 LD

Les fonctions LŸ?, Li, ..., Ln-° de la seule variable 2°? étant sans

diviseur commun, l'équivalence absolue

(n—1) (n—1) . (n—1) RAM ER ERO ASRSS

est manifeste.

i cependaän us considérons, outre les varia es nombres entiers Si cependänt nous consid , outre les variables, les nombres entiers, il est possible que les fonctions LP, LED, ..., AËGE aient un diviseur commun de rang deux. Je rappelle l'exemple donné dans le chapitre précédent. Pour obtenir ce diviseur, formons le résultant, par rapport à

x, des deux fonctions

EUL®D et ZV, Len.

Ce résultant sera une forme, à coefficients entiers, des indéterminées u,.v,..., w. Doit R,,, le plus grand commun diviseur des coefficients s]

126 J. Molk.

de cette forme; comme toute forme primitive, à coefficients entiers, est équivalente à l’unité, nous aurons l'équivalence absolue

(n—1) (n—1) (n—1) CU D ie Ji Ut 22 LY-°) tra R, 1: ® {

5. Ainsi l’ensemble des fonctions À, R,, ..., R,,,, ou, si nous ne tenons pas compte des nombres entiers, l’ensemble des fonctions R,, R;, ..., R, remplace le système donné, et le remplace complètement. La première condition de toute décomposition d’un système de fonctions se trouve aussi remplie; car chaque fonction À, contient un nombre différent de variables, et nous avons ainsi isolés les variétés d’ordres différents représentées par le système d'équations correspondant. C’est à la condensation des variables #,, 4, ..., æ,, à l’aidé des indéterminées U, 0, ..., w, que nous devons ce résultat. |

Il y à plus; le théoréme sur la décomposition des systèmes que nous avons démontré à la fin du paragraphe précédent, a encore lieu. Cependant comme sa démonstration, tout en étant analogue au cas de deux variables, exige la notation du résultant de » fonctions de n variables, notion que nous ne pouvons pas établir sans longueurs avant d'avoir résolu le probléme général de l'élimination, nous ne la donnerons pas ici.(”) Mais, comme de ce théorème résulte que c’est bien une décomposition du système (G,, G,..., G;) que nous avons obtenue, et que ce fait est de la plus haute importance, nous introduirons, dés maintenant, une terminologie qui le mette bien en évidence. Nous nommerons À, résolrésolvant de rang deux, et, en général

vant de rang un, k,

AVES Ne AL DES Li, (a o Un. see Un-p s Us ces Uns Vis sy6)

résolvant de rang k du système. considéré. Un ou plusieurs de ces résolvants peuvent, pour des systèmes particuliers donnés, se réduire a l'unité.

Nous pouvons alors aussi définir rigoureusement ce qu'il faut entendre par rang d'un système de modules contenu dans un autre système de modules, ou encore par rang de divisibilité. Nous avons obtenu le résol-

: (?) Comparez KRONECKER, Festschrift ? 20,

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 127

vant de rane un, en cherchant le plus grand commun diviseur de toutes les fonctions X,, K,, ..., K, dont le syStéme est équivalent à celui des fonctions G,, @,..., @,. Ce résolvant R, est, dans le sens ordinaire du mot, contenu dans le système

(K,) Ki run Ks};

nous dirons qu'il est le plus grand commun diviseur, de rang un, de ce système. Mais le système |

LS Le, PRET L,)

est également contenu dans le système (X,, K,, ..., K); il est, de plus, équivalent au système (oi,, 6%, ..., où) où encore au système dont les éléments sont les coefficients si, si’, ..., sf" de la forme #S,(w, w'), ces coefficients étant pris pour plusieurs systèmes d’indéterminées #4, 4, ., U,3 mais, ces éléments 5, s, ..., sf, ont, comme plus grand commun diviseur de rang un, le résolvant R, de rang deux; cest pourquoi

nous dirons que le système (ZL,, L,,..., L,), ou encore le système

L,, (di 023 -.., où), ou tout autre système équivalent, est un diviseur de rang deux du système donné.

Comme le système (si, s;', ..., sf”) est équivalent au produit RE NL TN Le) Je tsysteme, (és nmiosL) est tontenw dans le système (Z,, L,, ..., L,) et, par suite aussi, dans le système donné (G, G,..., G,). Il est cependant bien évident que (Z4, 15, ..., L!,) nest pas contenu dans le système donné au même titre que À, ou que (L,,L,, :.., L,). C'est pourquoi, comme (Z;, L,,..., L,,) est équivalent au système (51, 0%, ..., oÿ*), ou encore au systéme dont les éléments ont, comme plus grand commun diviseur de rang un, le résolvant R, de rang trois, nous dirons que {L4, Li, ..., L,,) ainsi que tous ses équivalents sont diviseurs de rang trois du système (G, @, ..., @,). Ainsi de suite. En général nous dirons que le rang d’un système de modules contenu dans un autre système de modules est égal au rang de celui des résolvants du système contenant que l’on rencontre le premier en partant du système contenu et en formant aussi ses résolvants. Bien entendu, il est absolument nécessaire de tenir compte des résolvants qui

se réduisent à l'unité.

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Pour être conséquent nous deyrons aussi dire que le système GE LEE HEIN par exemple, qui est diviseur de rang trois de (Gi, 25 Gi), test diviséur dewangidetærdu système, (L;, 1259270008 à condition de considérer chacun des éléments du premier systéme comme une fonction des (#— 1) variables x”, æ&;', æ&', ..., æ/., et chacun .des éléments du dernier système comme une fonction des # variables

D'y Lis Los see En 1. En général nous devrons dire”quesle système

(LU, 100 LE Lo

me, est diviseur de rang (i + 1) du système (LP, If, 8-0),

chaque élément Z° étant considéré comme une fonction des (n — h) variables 4470, 990, ..,; ax%7, et chaque élément ZT? commeune fonction des» 1h +3): variables 206, af Mere Suns lorsque deux systèmes sont divisibles l’un par l'autre, leur rang de divisibilité moins 1, sera donné par la différence de l’ordre des variétés représentées par les éléments de l’un des systèmes et par ceux de l’autre. En un mot, le rang est relatif à la variabilité donnée; il est égal à la diminution du nombre des variables + 1, par une condensation de ces variables, à l’aide des indéterminées w, v;, ..., w.

Il me reste à faire une remarque importante sur la généralisation de l'idée de contenant et de contenu que nous avons été amenés à donner dans ce paragraphe. En disant que les formes Æ considérées étaient prémitives, je me suis conformé au langage habituel et j'ai entendu par forme primitive une forme dont tous les coefficients n’ont pas de diviseur commun. Maintenant que nous avons introduit la notion de diviseur d'un rang quelconque, il faut distinguer; j'adopterai à cet effet, la terminologie de Gauss et jentendrai par forme proprement primitive une forme dont tous les coefficients n'ont aucun diviseur commun d'un rang quelconque. Or rien ne nous dit que les coefficients des formes Æ considérées n’ont aueun diviseur commun de rang supérieur au premier; nous savons au contraire que des fonctions de deux variables déjà, sans diviseur commun de rang un, peuvent s’annuler pour des valeurs particulières données à ces variables. Il en résulte que ces formes Æ ne sont en général pas proprement primi-

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 129

tives, mais seulement ÿmproprement primitives, et que les équivalences, et par suite aussi la décomposition, obtenues ne doivent être considérées que comme des équivalences impropres et une décomposition impropre, c'est à dire telle que chaque pas fait en avant se rapporte, non pas à tout l’ensemble de la décomposition, mais seulement au rang où l’on se trouve. C'est dans ce sens, et dans ce sens seulement, qu’il faut entendre l’équivalence du système (G,, @G,..., G,) et de l’ensemble des fonctions R,, R,,..., R,,,. Nous réserverons le symbole — au cas où les formes ÆE sont proprement primitives.

Pour terminer, nous pouvons répéter, pour chaque rang plus grand que un, les raisonnements de la fin du paragraphe précédent. Nous sommes alors amenés à distinguer entre les systèmes décomposables et les systèmes impropres que nous avons exclus de nos recherches, au moins dans ce Mémoire. Pour compléter là théorie générale de la décomposition des . systèmes, il reste à caractériser plus spécialement ces systèmes impropres dont M. KRoNECKER a, le premier, donné un exemple.