ARR

Ces deux fonctions s’annuleront donc simultanément pour une valeur au moins de Y,j0

nr (1) Yn—h+2 Fr Mn—h+2

y" et y;ny1 étant respectivement égales à 7° et 74..

En continuant ainsi nous arrivons au résultant S, et nous trouvons des systèmes

(h— 1) (h—1) (k—1) Mn—h+1 » n—h+2 » GORE | Vn—2

vérifiant l'égalité

(h—1) ni. %, Pen fl j CT. HSV. 228 dou PET (h—1) 5 (y nr by da VE TH RCA ENT) PRES SN bon 2 ?

; ; (h—1) (i—1) COMETZ EN .

V1) V2 AAA: Yn—h) Mn—h+1 » se es Vn—2 > Us se y Us U , J ) é O;

S, est le résultant, pris par rapport à y,,, des deux fonctions

2 U; L;(y, Yi» GER s -Yn—2 9 Yn—1 5 Us CMCHLES u,)

k Ü PAS L;(y, Yis seen Yn-os Yn—15 Mis ce) un).

îi=1

Ces deux fonctions s'annuleront donc simultanément pour une valeur au

moins de y, « re ' De. =) | : Yn-1 TE n—1 À ° ,+ à condition que

Yn=h4i 9 Yn-nzoo cie 3 Yn o

144 J. Molk.

soient déja remplacées par leurs valeurs respectives

(Aa—1) (4—1) (h—1) Fe n—h+1 , Vn—h+9 » DC.) Mn—2 é

Nous en concluons que les équations

(h—1) , 1. ’ £ CE (h—1) , (-- 1) L(n CRE AA ere loY9 EE ESS box) bah Ve-x ei Moss 20 MEL / PE ,

L ; L (a—1) (a—1) (a—1) (A—1) : En V1» V2» TD Yn—h) Mn—h41 Vn—h+2 9 ASTE, Vn—2 ’ Yu —1 , U;, 27 u,) F0

sont vérifiées simultanément, et que, par suite, les fonctions

e K;(y, Yi: Yo» ets Us Yn—1) u;; Us CALAIS : u) (i=42, 6 nr s'annulent simultanément pour

Y=Y 2 NL per LU rm de em 0 de

, A (ES DER NC A= DURE Ne = (R—1) Yn—h+i Fe Mn—h+1 3 Un—h+2 a n—h+2 3 ROBOT) Yn—1 FAR Yn—1 .

Mais Y = y: SE UYo 2e LA + Un 1Yn—1 +- UyYn ,

et, en faisant cette substitution, les fonctions A, se transforment en G;,

G— 1, 2,...,Mm). Nous avons donc aussi EAU TRANS OPA LE Te) (i=1,9,..., m) pour ; no (R—-1) ; DE (Re) + EN (h=I) Yn—h+1 7. n--h+1 » Yn—h+2 Fr - Vn- JOUE OO Yn—1 Fer Vn—1 , et

; ; ; É (h= 1) DR PQ eee EAU UY) a Ua d- n° 1° SE Un 1Yn—1 + Yh DE t/ ans bY: loYo SAC Latin

c'est à dire

s ES pres. TT le ce. 2 A (h—1) Tr EU AE Yi loY9 proie ve bn h+1Qn ht EE lo p+2nh+2 Ho,"

GS RME PCR EE , by — Uy 1t En désignant cette valeur de y, qui est, comme »,j41, Yn nyos +. €t 7; fonction algébrique de y, y», ..., Yy ns par 797”, nous pouvons aussi énoncer le résultat obtenu en disant que pour

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 145

PUIS |) ; f ; (k—1) (h—1) y" LE bi = LU» Het 0, nd + ARE ET) PIE 15 by h32Vnoh+s ane -

; (h—1) (A—1) CAR - U, fra 2 Ur n le résolvant

(h—3) , (4—1) (1) R,(y D Yi: V2» CEE, | Yan WU; D où : u,, AT E) ur SARA ERES Un-h ) s'annule, tandis que les équations , (h—1) (a—1) (i—1)\ ' Gigi; Vas es Yn-ns Yn-ht19 Qn—nt29 + + 3 Yn ) 0 (i=1,2,.., m)

sont vérifiées simultanément.

Mais nous avons vu, plus haut, que, pour 7, #,..., y, 1 variables, 1Q h—1) (a—1) hk—1)

PCSI OUEN ALAN pe Ve NES es +7

équations

vérifiant simultanément les

re Gh—1) 1) (1) — Le, G(ys Vas es Yn-hs n—h+19 Yn-h+29 + Un ) F0 G=1,2,.., m)

(1) (k—1) (h—1) (A—1) s (a—1) (4—1) (k—1 sont telles que n—h+1 + n ? Mn—h+2 + n Taraie!, 2 Pn—1 7% Da et 74 vérifient respectivement les équations

(n—h+1) __ (n—h+2) {n—1) fe (anyone - BE, — 0, À, 0 dat = ©, Rÿ — 0;

(DUIES SCO NRIUTS UT Pers Me nier emo 1 Me ,. Sont, par suîte,\ in:

dépendantes des indéterminées #,, ... considérées, et seulement fonctions APCE MO AUS 57 AEOUtI CCC 4 HER Dour R =NT, 2,1: D'autre part, comme l'équation résolvante

TRS SE TANT

représente exactement les mêmes restrictions apportées à la variabilité de Yi; %» -.-, 7, que les équations

Ge ONE ONE = 0

chaque système vérifiant simultanément les équations données, doit aussi vérifier l’une ou l'autre des résolvantes R, = 0, (h — 1, 2, ..., n). AS ss (h—1) (h—1) (k—1) (a —1) Donc les systemes n—h+1 n—h+29 +. n—1 Yn chacune des racines 77° de l'équation À, — 0, pour h = 1, 2,..,, n,

Acta mathematica. 6. Imprimé 7 Juillet 1884, 19

, Correspondant à

146 J. Molk.

et ces systèmes seulement, vérifient simultanément les équations G, = 0, GG, —=0,..., G, —0o. De plus, nous savons maintenant que les éléments de ces systèmes ne sont pas fonctions algébriques des variables qui restent indépendantes et des indéterminées introduites pour résoudre plus symétriquement le problème proposé, mais sont, au contraire, seulement fonctions algébriques des variables qui restent indépendantes.

Nous avons ainsi, comme tout à l'heure, trouvé toutes les valeurs de Yi, Ys ..., Y, vérifiant les équations proposées. Mais tandis que sans l'emploi des indéterminées nous ne savions pas comment ces valeurs se groupaient en systèmes, nous obtenons, à l’aide des indéterminées, simultanément les valeurs correspondantes de y,, y, ..., y,. Elles nous sont données toutes à la fois par les racines des équations résolvantes R,— 0. À chacune de ces équations répond un nombre différent de variables qui restent indépendantes et, par suite, une variété différente vérifiant le système proposé.

Comme les résolvantes peuvent étre mises sous la forme

(y, Yio eo Ynnys Uis Us U,) + IT(y ES Dai)

E I(y TU EE Mao TT Un Yni) 0

R;(', UE CRE CR) Yn—2 U;; Ode Us Ui; RL, | U,) + I (y ce ie)

au ; LA !, ’ ; ; ! , #x.

ES I(y MY bp ie TT Mono Un ni FAT Un ni) =

ct, en général, comme

an 1) (A—1) (A—1)\ __ ani—1) h—1) R,(y ? Yi HE A ») Yn—n U;, OR | U,; HAE U; or Un ) = IT (y = ) (l .

res a A—1) on), arli—1), (h—2) (A—1) (4—T1)\ 2 re IT (y — U: Pi US M NON, 41 Qn—htti ee TE Un ni ) 0 CNE PRET AT)

nous voyons que chacune de ces résolvantes dépend, au plus, de # indéterminées. Dans toutes les fonctions réunies R,, R,, ..., R, ne pa-

raissent même que les # indéterminées 977, nf, 0, , uns Unis Un on pourrait donc, dés le début, n'introduire qu'un seul système d’indé-

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 147

terminées, au lieu de (n — 1) systèmes; cependant je crois plus naturel d'opérer comme je l'ai fait.

Nous voyons aussi que, considérée comme une fonction des indéterminées qui y paraissent, la forme ÆÀ, est décomposable en facteurs linéaires dont les coefficients sont fonctions algébriques de y,, y, ..., Yy n seulement. Nous allons, dans un instant, faire usage de ce résultat important.

En résumé, si l’on nous donne un système quelconque d'équations alsébriques reliant un nombre également quelconque de variables et si l'on nous demande de déterminer les différentes variétés vérifiant ce système, nous formerons d’abord l'équation résolvante en égalant à zéro le résolvant total débarascé de ses facteurs multiples. A chacune des résolvantes partielles correspond une variété d'ordre différent répondant au problème. Cet ordre de variété n'est pas représenté lorsque le résolvant correspondant est égal à l'unité. Dans le cas contraire, pour obtenir les systèmes composant cette variété, nous considérerons le résolvant partiel correspondant comme une fonction des # indéterminées qui y paraissent et nous le décomposerons en ses facteurs linéaires. Nous obtiendrons

ainsi, en remplaçant dans l'expression précédente de 2R,, y"?

ré n (A—1) (A—1) ; valeur ui Yi an Us Ya cie see JF Un 1Yn1 1 UrYn

par $e

(h==1) (h—1) À, (y 5] Y: DRISERES Un h Ur CN PCM PIE u,) nu h—2) (h—1) (A (A—1) (A —1 Le.

TT nent — Ne) Un ral 42 n—h+2, )+.+u, (y, —%$, i à) =O. Pour chaque valeur déterminée de +, nous avons donc

( -1) —3) (h--1) , (1 — UT NU hs — A +1, n e =: -lURR 2 RTeN/D'RER À +. te Sr u, (Un EE Tn, i Ve =Ae et comme les # sorft indéterminées

he) «, | LUEUR : a) Ynshti = ie TU i9 Yn—h+2 TA sys ae NOR) Ha NET Toutes ces expressions sont fonctions algébriques de y, y, ..., Yan. Celles qui correspondent à une même valeur de à, vérifient simultanément les équations données, y, Y, ..., Yi restant indéterminées. En donnant à } successivement les valeurs 1, 2, ..., #, nous obtenons

148 J. Molk.

tous les systèmes vérifiant les équations données, et simultanément les valeurs correspondantes des éléments de ces systèmes.

De la représentation générale des systèmes d'équations.

Nous allons maintenant considérer séparément chacun des résolvants R,, R, ..., R,. Il n'y aura donc aucun inconvénient à laisser aussi de côté, pour simplifier lécriture, les indices supérieurs de toutes les variables et des indéterminées.

La décomposition en ses facteurs linéaires du résolvant R, considéré comme une fonction des indéterminées w, a lieu identiquement en ces indéterminées; dans chaque facteur linéaire les coefficients ne dépendent

pas des w; nous pouvons donc écrire en substituant à %,, %, ..., u,, des quantités variables 2, 2, ..., 2,

ER, (y; Yios ss Yn—h3 À; A2 CAC L) À) P

re Il (y— M0) st IT (y Te Yi — ie As LE 4 Ah4t Pan his — OT ANS

Pour une valeur déterminée de # comprise entre o et (4 — 1) nous aurons également, en désignant par a une variable auxiliaire

ER, (y, V1) PUR, | Yn=h)3 1; 3 RON) ETES ARE 2 a; Ar; OP l À)

Pp DE I (y CE Yo, i tx mr A)

et pour une valeur déterminée de à, à — 7, c'est à dire pour une racine déterminée »%,, de l'équation R,(y) — o

BY — M5) Yas es Yn-ns O3 0j... 0, 4, O, ..., 0) = IL (y — 70,5 — an,1)

Sur Ja notion de Ja divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 149

la variable & étant au milieu des Zéros à la place qu'occupait dans l'écalité précédente 1,4 + a.

Les deux produits

p Il (y TEPE Yo, i Er C7 PR) et II (y RS V0, 5 — CHU N)

ont un facteur commun y — »,, — an. ,., c’est à dire Y 7o,j Tn—k, j

V1 hui, hi he Ale FR OT CAE Ass in PE Anh+1 Qn=h4,j "AL, AT A LG) Vend D TERRE ET Eee PE

Ils n'en ont point d’autres aussi longtemps que les variables 2, 2, ..., À restent indéterminées. Nous pouvons donc toujours(') trouver des entiers Pen. UP, (els: que

V1 = P; Y: —— PoYo Don Porn h — Da-h+1%n-h41,j PAUSE 21 RENE | 1 Pn—k1,j KES (nee = a) uk, ces Pa--k41 Qn—k41,; me EST Pan, soit le plus grand commun diviseur des deux fonctions R,(y, VIE PACE, Yn-h) Di; DAME Dn—k--1) Pn-k + x; Pn- RELAMELS SES Pa)

. et

PP TR UT, Où. R30 10; + BA NL O) où 6, désigne ce que devient »,, pour les valeurs particulières À = p,, RON PT GR np cest à dire une des p racines de l'équation Re MR Er Dis Dis ID O

Ni . qui est racine de l'équation À” = o, ni »,,, . qui est ni k , Tr k,i Vn, i

racine de l'équation RŸ-° — o, ne dépendent de À,, À, ..., À,; les ,4, ne

He) Comparez page 145.

150 J. Molk.

changent donc pas pour les valeurs particuliéres p, p,, ..., p, données” a ces variables.

La recherche du plus grand commun diviseur est une opération essentiellement rationnelle; l’expression

De 0, j am (#2 Tn—k,

est donc une fonction rationnelle des coefficients &,, Yi, Yo» ::., Yann @ qui paraissent dans les deux fonctions précédentes. Aïnsi en donnant à a une valeur convenable, »,,, est fonction rationnelle de ,;, 1, Yas ...s Yn-n5

ee s rest n—k,j > (C8 V1 25 Ce NE Yn-5).

Partageons maintenant les racines &, en groupes correspondant aux

facteurs irréductibles de À, — 0. Soient lg [T1 Try" 16%, NAT En FU

ces facteurs irréductibles, et

Comme toute fonction rationnelle qui. s’annule pour l’une des racines d'une équation irréductible s'annule pour toutes les racines de cette équation nous obtiendrons la même fonction rationnelle f,, pour toutes les “acines correspondant à la même valeur de »; nous devrons donc écrire

1i=1,2, .…, Py D FO (ru | nets NS (ot Vis Yes ce.) Ya). Gr ROUES b=0, 4,2, (4217 Une transformation déja donnée par LAGRANGE nous permet ensuite de former facilement une fonction rationnelle qui resté la même non seulement pour toutes les racines de l’un quelconque des facteurs irréductibles de À,, mais aussi pour toutes les racines de la fonction À, elle-même. Nous voyons, en effet, qu'en posant Gi) Il Th,v(y)- Da, (Co)

NI OEX ie > fÔ (CP : —— - n—k VENIE AE | Yn—h … [n—A\S0,7) 1) 2h Yn—h (à) ; 4 i) qi Cu — So) D, To, sun =e8, Pi,» (God)

du Vlr | (ins UT ) j=1, 2,

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 151

Ê , nous avons à la fois

Fons ent baen), = froids te: Var)

PORTER D, CU DOUL D, 25..2, 7: Cie8t à diré POUrT toutes les racines de l'équation À, — 0.

Pour y = &, par exemple, la fraction

Th, à (Go,1) Th, 2 (Go,1) » + + Tn, + (oi) COS END Teen Ts (CD PE) Ta (CO)

se réduit à l’unité pour ÿ = 1, et à zéro pour 7 = 2, 3, ..., 0,; tandis que pour à > 1, la fraction

Th, 1 (Lot) Ta, 2 (Co 1) » + + Th, (oi) (CES ce) D, 2 fa (9 }y=es?, 1 j - He UOnICR ? “TR i—1 tes nu i+1 Lee CE ip a

est nécessairement nulle.

Il en résulte que

, 1 HEIN, V1» che » Yn=h) ES P (a V1» Cine. Yan).

De même pour les autres racines de l'équation À, — 0. Nous pouvons donc écrire, pour 7 = 1, 2, ..….,/0 et k—0,.1,.,., (h— 1),

A pe ; Ho 112 - me (ere VIE V2 GORE; Yu)

ou encore, en dési HE par d,, et 4, , deux fonctions enticres

Dax (Co, j V1, Yo, .. *, TEL

re à es Ph r(Gost al losdanteu le À

Aïnsi pour chaque valeur déterminée de 7, les expressions correspondantes

n—h +1,59 n—h+2, j 9 QUI, Vn, j

sont fonctions rationnelles de &,, et des variables arbitraires 71, Yo, ..., Yn ns tandis que 6; est égale à l’une des racines de l'équation résolvante ellemême À,(y) = 0, dans laquelle les indéterminées %,, %,, ..., u, sont remplacées par les entiers p,, pe, ..., p,. + Il est d’ailleurs indifférent de

152 J. Molk.

tirer de cette dernière équation la valeur de y en fonction algébrique de Yis Yas es Yn-ns pour la substituer dans les fonctions F,,(y, 1, .…., ya) comme nous venons de le faire, ou d'en tirer, par exemple, la valeur de y, en fonction algébrique de y, #3, ..., y, x pour la substituer dans ces mêmes fonctions #,3(y, Y13 ++. Yn x} De toute manière, le système

R,(y, Vis es Yn-ho Pis Pos Pi) Lu)

nl = :

Mn —k Te FRET VIE CROMCET Yn—n Pis Po) "eut Ps) (rep, LASESS

nous donnera les mêmes solutions que l'équation résolvante

LE, (y, Vis ces Ynns Uis Uoy ss u,) = 0;

Une exception se présente toutefois lorsque la fonction rationnelle Æ,, est indéterminée. Dans ce cas, nous devons écrire, non pas l’égalité

nJ .

Vn—x Que F52,(9, Ya DSUEC ) Yn=n) Pis D; RAS) p,)

qui n'a aucun sens, mais la suivante

Mn Da (9 Ya Qi] Yn—n)3 Pis Pos QE; p;) = D(y, Ya TE Yn=h)3 Pi P2) EC p,)

qui est alors vérifiée quelles que soient les valeurs données à 7,y. Si donc, pour mettre en évidence que les indéterminées # sont remplacées par les entiers p, nous posons

PiYi + PV + RCE + PaYn == 20

et si, d'autre part, pour écrire plus symétriquement nos formules, nous convenons d'entendre par Æ, F,, ..., F,, les variables y — 2,, Ya = Bose Yan — 2,74 elles-mêmes, ‘de sorte.que

Yi —= &; — F(2; AE B9 » ….. 2) (=1l 2, .., A —h)

nous pouvons dire que la résolvante de rang h, du système donné

[Gi(gas Vas Yn) = O, Gay Yas ses Yn) = O, .…, G (y Yos ss Un) 0!

(eo)

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 15

est équivalente au système

BR, (20; 215 ve. 2n à) CAO

(D) Y = Files Ew 1 Enr) | 4 GES Îk 2 # >

La première équation de ce système représente déja une variété (n— h)°% prise dans la variété (n — } + 1)°% qui est formée par les variables 2,, 2, ..., 2, ,. Les autres équations nous donnent les valeurs des # variables 7,, #5; ..., Y,, en fonctions rationnelles des éléments de la variété (n — k)°"% dont nous venons de parler, pourvu que l'inégalité

IL #,(2, By ces nn) & O Soit vérifiée. C'est pourquoi nous pouvons aussi dire que la variété (n — A)*" prise dans la variété (n — h + 1)" formée par les variables 4, 2, ..., 2, ,, et définie par le système (T) est une figuration de la variété (n — h)"" contenu dans le système donné. Le système

etes Zys cite oO

Yr = 1 (20) 1» CCE Nip FE n) (&=1,; 2, .. ñn)

qui contient (# + 1) relations entre (2% — } + 1) variables, représente outre la variété (n — h)°" \ ER,(y, Vas QC Ya Us CO, Un) == Q

et où y, est indéterminée. IL est donc tout à fait indispensable d'ajouter aux (n + 1) égalités précédentes, l'inégalité

IT 4, (20 219 CRETE RE, CRE) £ O pour avoir une variété ne figurant que la. variété considérée d'ordre (n — h).

Acta mathematica, 6, Imprimé 7 Juillet 1884, 20

On peut toujours former une infinité de systèmes d’entiers pf?,-pf, ...,) DŸ, tels que

; (), CO En Qi ; te) is Uma NE LEnmne LE nt PE t /PNE Re 0 À

soit le plus grand commun diviseur des deux fonctions

” (à (à) p® (i) ER, (y, Vis DCR) Yn—n) Pi CRQY ONCA Dnip-1r41 D” ar %; TER SD: À Ph ) et

PU — Qu Yas Yas vers Yn-ns Os es Op As Op... 0)

où & désigne une des racines de l'équation

dre A (à) (3) es AO Vis Vas ces Yn-ns Pi Dg y *.s si 2.0.

Si nous avions substitué aux indéterminées %,, #4, ..., u,, un de ces systèmes pf, pf, ..., pŸ, nous aurions obtenu une figuration: différente de la variété (n — h)°"%° contenue dans le système d'équations

(Use O, GG; = 0, LRO pa Gn = ce o).

Au lieu de 2, — piy; + Poys +... + p,Y,, nous aurions introduit une variable

D) tt) (à) He y (Mi Yi F3 Ya Pe- 2 FN, et nous aurions posé nr es (26 5 NE EP Œ=1, 2, 5n—h)

alors la figuration cherchée se serait présentée sous la forme (1) tous les z étant affectés de l’indice supérieur 4.

Mais les variables 2° et y sont manifestement fonctions rationnelles les unes des autres, de même que les variables z et y. Les variables 2° et z sont done, elles-mêmes, fonctions rationnelles les unes des autres, ce que nous exprimerons en disant, d'après RIEMANN, que les équations R,(&, #,-..., #0 ,) — 0 font partie de la même classe. TIlest'indifférent

de considérer l’un ou l’autre des individus d'une méme classe. Parmi

Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 155

ces individus sont nécessairement compris ceux que nous obtenons en soumettant les coefficients pf, p, ..., p®, à des équations de condition déterminées, pourvu que ces équations ne soient pas en contradiction avec l'inégalité à laquelle doivent satisfaire pf, pf, ..., p® et dont nous parlions plus haut; cetté remarque peut étre utile dans chaque cas particulier donné.

Le résultat obtenu est résumé dans la proposition suivante.

ième

»Toule variété KE", prise dans une variété n°", peut être figurée par

une variété k°", prise dans une variété (k + 1)", — par un variélé dont le résolvant est, par suite, de rang un; — et cette dernière variété k°"* peut 4 ) 2

être choisie arbitrairement parmi tous les individus faisant partie d'une classe déterminée.»

La figuration d’une variété quelconque, que nous venons de considérer, est tout à fait remarquable. Elle nous donne une vue plus complète sur les dépendances des solutions simultanées du probléme, et met en évidence pourquoi finalement la notion de fonction algébrique donnée par un système de fonctions entières égalées à zéro, se réduit à celle donnée par une seule fonction entière égalée à zéro. Quoique cette figuration contienne une inégalité, elle a donc une grande importance. C’est pourquoi il semble bon de lui donner un nom. Je la nommerai figuration principale de la variété qu'elle représente.

De la réductibilité des systèmes de fonctions entières.

Nous allons maintenant chercher à résoudre le problème fondamental de Ia réductibilité des systèmes de fonctions entières.

Il faut avant tout définir ce que l’on veut entendre par système réductible ou irréductible. Comme un système d'équations est entièrement équivalent à sa résolvante, il est naturel, comme dans le cas de deux variables, de nommer réductible tout système d'équations dont le résolvant total se compose de plusieurs résolvants partiels, parce que ce système est

156 J. Molk.

alors vérifié par plusieurs variétés différentes. Il est tout aussi naturel de nommer réductible un systéme dont le résolvant se compose d'un résolvant partiel qui ést, lui-même, décomposable en facteurs dans le domaine de rationalité considéré. Au contraire, lorsque dans un domaine de rationalité donné, le résolvant d’un système ne se compose que d’un seul facteur irréductible, nous dirons que, dans ce domaine, le système est, lui aussi, irréductible.

Le premier théorème que nous démontrerons est tout à fait analogue à celui qui a lieu pour une fonction d'une variable, et légitime ainsi notre définition. Voici ce théorème.

Si une fonction rationnelle de #,, Ye, .., Yn