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Mais ces systèmes se présentent sans aucun ordre et les solutions obtenues ne nous donnent, par suite, aucune vue sérieuse sur les restrictions apportées par les équations 2G, =70, G = 0,000, 000 SVM DORE quantités essentiellement variables y, %, ..., y,: Or c'est précisément dans létude de ces restrictions que consiste la théorie générale de lélimination. [l nous faut donc chercher une autre solution et c'est ici que les quantités indéterminées %,, 4, ..., #4, viennent s'imposer tout naturellement à notre attention.
Le résultat obtenu jusqu'ici n'est cependant pas inutile. Il était au contraire nécessaire de l’obtenir tout d’abord et nous en ferons usage dans un instant.
Reprenons tout à fait le même raisonnement que tout à l'heure; mais en faisant cette fois-ci, comme il a été indiqué plus haut, les substitutions linéaires à coefficients indéterminés.
Considérons chaque résolvant R,, (k— 1, 2,...,n) que nous obtenons ainsi comme une fonction de y” seulement ce qui revient à joindre les autres variables y,, %, ..., Y, x, au domaine de rationalité donné. Soit alors 7° une quelconque des racines de l'équation À, — 0. Nous allons démontrer qu'a chaque valeur 7” correspondent des valeurs de
Yn Yn1 PINCE | Un--h—1
qui sont fonctions algébriques de y, >, .., y,», et vérifient simultanémentiles équations GONG ONE RG IC
ne
Comme, par définition,
B l—1) CR ; . 4 L o1! .
RP, (n°0, ais ose se Vn-h5 Mon OU, US UE RE
arti—1) orthr—-1) (k—1) UN UUST LUE Era in 0
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 141
nous avons aussi
(—1)/,, (h—1) ; . Le É NÉE 0 TT K (9 » is Yas er Yann Us Us es Us Us Us, ee, Unos +.
or D) (4—1) Le ? ; DU UD DAT KE) 30 (G=1,2,., ni donc
Si (7 ee (à Ya ME a lo V2 MT - (Es Yn=h5 APE ER EL UE 7
1) D" ap?) ))(R—2) (RENNES Me ns ie ae, Roue (Up Al == 0
‘et, par suite
(a—1) (2—1), (h—1) (A—1) $ À Sy 1(7 Eh Mach Ur Vans: hs
| REC EU ah), 2) 12) 4) JG) __ A ne co Ut NUS nee Ne bts ON VOL O
quel que soit l'indice k des indéterminées U et F. - Mais alors, d'après la propriété fondamentale des résultants, les deux fonctions |
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&) T2) (y (h—2) ; PT. AUS i=1 [UP LT (y° > Jin ce es Yn-hyis Wis cees Un Us ses Uno ce.
(R—2) ,,(h—2) (h—2) LE ee a cou (eo)
et
7(4) 7 (h—2) (a—2) A f nil ’ .
RS US EU Ur se d'en Un noi de
à (—2) (a—2) an--2) JEU LU Mel pes]
dont S,, est le résultant pris par rapport à y,;,,, auront pour
CRD) EN (h--1) (h—1), (Aa—1) (A —1) y Et us lan Yann. 5 Ye
L'on
un diviseur commun en #,371; il y aura donc sûrement une valeur
de Yn—h+1
rl) Yn—h+1 em n—h+1
142 J. Molk.
telle que les deux équations
LU! DA (7 TE ti Ui ARPRREE EE Ya =h) Vis Yas +.) Yn—h) n—h+1 5
1=1 Wir se so 0,5 jose» M 23 to SU 0 RS | OS LORS 2 [ PL (,0-0 7 LD, Da je 71 10 te) 13 JT EU Er EE ; |
’ 71 , FS r (h—2) (h—2) Us nte ste SOU 3 UNS Te rer UN RO UU) LOC RE
soient vérifiées. En donnant à l’entier # un nombre assez grand de valeurs, nous voyons que les équations
(h=—2)f,(h—1) (h—1) 1), , À L; (7 Un Yi EUR VV Ve RO
, 21” ’ ar —2) — Use SU RU PS De Me EN UC OT EEE
Gel 2 eu
sont elles-mêmes vérifiées. Mais alors il en est de même des équations
(h—2)/, (h—1) (h—1), (h—1), ; ‘ 3 K (y Er li Yi ae CAL NTFS (ES Yn—h) UE UPE PO! Yn—h) Yn-h+13 , (h—2) ar —2) ee Hey Mol ras A RATE. Re
pour y) =" Letiy ne 15; donc AUSLITESSEQUALIONS
(h—2)[, (h—1) (h—2) (h—9), (h=2) AD UE (he LI s; (9 7 li (| am è rome | VE Ti Vn--h+1 Yi Yo RACE) Yn—h) Vn—h+1 3
; a(h—3) n1(h—38) ns : ; ns 2e 0 8 03 Peso UD y ee D
et, par suite, l'équation
U (h—1) (h-22) (h—2), (h--2), (h—1) ; (h—1) , S 2(7 are li Y1 NP NI RE li URRES l Mn—h+1 , Yi , Yo OPEL; Yn—h)s n—h+1
(h—3) h—3) (X) ()\ —— U;, pe ie 4 Un; QC OEM RE ui , OO E) UE, U , V7 VE
est elle-même vérifiée quel que soit l’indice 4 des indéterminées U et P.
Sur la notion de la divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination. 143
S,, est le résultant, par rapport à y,,,, des deux fonctions
M; 3 k h—3)(, (hi—3) , ’ > tu LP (0 » Vis Yos ee 3 Yn-nyos Mis ces Un Us ces Un9s +. (h—3) (h=—3) M 3
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