Première Partie : Élude du pi^blème intérieur pour A(u

Soit une surface S découpée intérieurement par un cône A". M. Volterra obtient la valeur de u au sommet du cône A" en fonction des valeurs de u et des dérivées premières sur S. J'ai repris ceci ; il faut donner, sur S, Vintégrale et sa dérivée conormale. J'ai étudié quelles sont \t% formes acceptables pour les surfaces S.

J'ai établi la réciproque difficile et d'un haut intérêt : si le point A, sommet de A*, s'approche indéfiniment de S, la valeur de u en A tend vers la valeur donnée sur S au point (i), point limite des positions de A.

Dans le cas où la surface S est une surface privilégiée, un cône A', fai commencé l'étude de cette réciproque. Il se présente les plus grandes difficultés et, à cette heure, l'étude n'est pas encore complètement terminée. Elle devra être l'objet d'un Mémoire ultérieur.

(*) R. D'A.DRtmiK, Bulletin de la Société mal/témalique de France, 1901. (*) R. d'AdhAmaii, Comptes rendus de l'Acad, des Sciences, 11 février 1901. (*) Leçons sur la propagation des ondes (Hermann), 1903, et Bulletin de la Société mathématique de France, igoS.

(*) Thèse (Hermean), 190a.

4 B. dVi^DHÉMAB.

Deuxibhb Partie : Etude du problème extérieur pour

Ici la surface S, qui porte les données, a la forme d'un cylindre d'axe Oz au point de vue de VAnalysis situs et l'on considère sa section extérieure à un cône A*.

M. Volterra a donné la formule de l'intégrale et, ici encore, j'ai simplifié. Mais cette formule ne représente la solution que si la solu' tion existe!

En effet, M. Volterra a trouvé une condition fonctionnelle très complexe à laquelle doivent satisfaire les données sur S.

J'ai trouvé de nouvelles conditions fonctionnelles et y ai monlréqae le problème, en général, est impossible. Si l'on a une solution, cette solution véritable satisfera à des identités remarquables. Il semble difficile de préciser davantage, à cette heure.