Troisième Partie : Extensions diverses
Plusieurs problèmes, extensions de celui de M. Volterra, ont été étudiés et résolus récemment. Considérons d'abord les équations :
Pour ces équations M. Tedone (') & résolu, sans peine, le problème intérieur et aussi le problème extérieur pour p = an. Personne n'avait réussi pour le problème extérieur lorsque p est impair. J'y suis arrivé pour ^ = 3(^). Bien entendu, l'on retrouve une accumulation de conditions pour les données dont il ne semble pas que l'on puisse dire grand'chose. En général, le problème est impossible.
(') Annati dilHatematica, 1898.
(') Comptes rendus de l' Académie des Sciences, 16 décembro 1903.
SUB CNB CLfcSSK d'kQUATIOWS AUX DERIVEES PARTIELLES. 5
GoQsidérone maintenant les équations étudiées par M. 3. Coulon (')
^'•'(")=i:Si-i|^=/(-.r)-
L'on connaît les beaux résultats de M. Picard, par les approximations successives dans le cas de deux variables indépendantes, pour les types elliptiques et hyperboligues(e\.d&nsle cas de deux variables, tous les types se ramènent à ces deux-là ou au type parabolique).
J'ai tenté d'intégrer :
Mais, après ma Note (*), a paru la Thèse de M. Coulon. Pour p et q supérieurs k un, l'on n'a plus affaire qu'au /)ro6/è/ne exlérieurei l'on retrouve les conditions. Ma solution était formelle, par suite. Mais, pour q ^ i, J'ai intégré l'équation dont le second membre est linéaire par rapport aux dérivées premières.
Ainsi donc la méthode d'approximation de M. Picard, aussi bonne pour le problème réel que pour le problème de Caucky, est encore féconde pour certaines équations, du type hyperbolique, à plus de deux variables indépendantes.
Je n'ai pas abordé l'étude des systèmes d'équations du type hyperbolique. M. Hadamard a fait l'extension aux systèmes de la notion de caractéristique ('), introduite par M. Beudon. Mais il n'y a plus Vanalogue de la conormale et je n'aurais pu que répéter MM. Volterra et Tedone.
L'on peut, pour les systèmes de M. Volterra, mettre un second membre linéaire par rapport aux dérivées premières et intégrer en usant des approximations comme je le fats pour ^''''(u).
Je dois citer, relativement aux équations du type hyperbolique, tes
(') Comptes rendus de l' Académie des Sciences, 19 mars 1900.
(*) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 16 février 190a, et Bulletin de la Société mathématique de France, 1901.
(') J. BwDON, Bulletin de la Société mathématique de France, 1897, et J. Hadamaid, Leçons sur ta propagation des ondes et tes équations de r Hydrodynamique. Hermann, igoS.
6 R. D ADHtHAB.
travaux de Cauchy, Poisson ('), M. Boussinesq, M. Poincaré, Ricmann (*), M. Darboux ('), M. Picard ('), M. Le Roux (*), Kirchhoff (•), M. Hadamard ('), etc.
Pour les approximations, on doit citer d'abord les mémorables écrits de M. Picard ('), puis M. Zaremba ('), M. E. Le Roy ('•), M. DelasBus ("). etc.
Il y a là une méthode fondamentale également féconde dans la théorie (") des équations /onctionnettes et dans la théorie des êquationa différentielles, et qui permet de ne pas rester exclusivement dans le domaine analytique qui est un domaine restreint.
C'est sous l'influence de l'enseignement de M. Picard que j'ai entrepris ce travail et je dois beaucoup à ses conseils très bienveillants et à ses encouragements pour les quelques résultats que je donne ici, et que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie des Sciences les 1 1 février 1901, i6 février 1902, 16 décembre igoa (").
(■) Voir le Cours de M. P. Ouhsm, Sur l'Hydrodynamique. HermaaD.
(*) (MSuvrei, traduction française, Gautbier-Villars.
( ' ) Leçons sur la Théorie des surfaces, t. II.
(*) Butletin des Sciences mathématiques, 1S99, el Cours professé à la Sorbonne, printempi 1899.
{•) Journal de Mathématiques, 1900, e( Thèse {Annales de l'École Normale, 1897).
(*) Zur Théorie der Lichstrahlen {Kaiserliche Akademie, 188a),
{'') Leçons. Hermanu, 1903.
(') Journal de Mathématiques, 1890 et 1893. Traité d'Analyse, t. III, et Mipplâment au Tome IV des Leçons de M. Darboux.
(•) Journal d€ Mathématiques, 1895.
('•) Thète [Annales de l'École Normale, 1898).
(") Thèse {Annales de l'École Normale, 1898).
(<■) Mémoirei de M. Picard {Acta mathematica, t. XVIII etXX.111), eic.
(■■) Pour les renseignements bibliographiques détaillés, voir la Thèse de M. J. Couloa.
On pourra être étonné que je ne cite pas avec plus de détails les travaux de Kirchhoir, par e&emple, si importants; mais c'est que M. Volterra est le seul géomètre qui ait étudié les équations (A) au point de vue qui est celui de ce Mémoire.
SDR UKE CLjLSSE D EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES. J
