ŒRTAINES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES QUI S'Y RAPPORTENT

2 H. ALEZAIS.

transforment en lui-même le premier membre F écrit lui aussi sous forme homogène.

Une classe particulière de fonctions hyperfuchsiennes a plus spécialement arrêté Tattention de M. Picard. Elles présentent la plus grande analogie avec la fonction modulaire elliptique. Celle-ci est donnée par le paramètre x de Tintégrale elliptique

dt

//(/— i)(f — -ar)

quand on le considère comme fonction des valeurs de l'intégrale prise le long de deux contours convenablement choisis. 11 se trouve être fonction homogène de ces deux variables et par suite fonction de leur rapport. Les fonctions hyperfuchsiennes particulières dont je parle s'obtiennent en considérant les paramètres a? et j^ de l'intégrale abélienne

dt

Vt{t-i)(t-^x){t--jr)

comme fonctions des valeurs de l'intégrale prise le long de trois contours convenablement choisis. Ils se trouvent être fonctions homogènes de ces trois variables et par suite fonctions des rapports de deux d'entre elles à la troisième.

A la suite de M. Picard, et guidé par lui, c'est à Tétude de ces fonctions particulières que je me suis attaché. J'ai pris pour point de départ les Mémoires des Acla Mathematica où l'éminent géomètre a établi les fondements de cette théorie, ainsi que les Notes des Comptes rendus de V Académie où il l'a complétée en des points importants. J'ai retrouvé les résultats de ces Notes et mes calculs m'ont conduit à plusieurs théorèmes nouveaux de cette théorie si complexe et encore peu développée.

J'ai divisé ce Travail en quatre Parties :

Dans la première Partie, j'ai repris le calcul établissant que ^ et^ sont fonctions de deux variables seulement et que ce sont des fonctions uniformes. Ce calcul a été fait par M. Picard dans un Mémoire du Tome II des Acta Mathematica. Je me suis borné à y apporter quelques modifications dont la principale est l'introduction d'une surface de Riemann. J'ai aussi achevé le problème d'inversion qui n'est qu'indiqué dans ce Mémoire.

Dans la deuxième Partie, je fais l'étude du groupe des substitutions qui laissent invariables x et y ou plus exactement du groupe provenant des rotations des points critiques les uns autour des autres. Je retrouve les substitutions fondamen* taies de ce groupe en faisant usage de la surface de Riemann; puis je montre qu'il

SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS HYPERFUCHSIENNES. i

n'est qu'un sous-groupe du groupe des substitutions semblables de la forme F; enfin je trouve les substitutions fondamentales de ce groupe lui-même. Ces résultats importants au point de vue arithmétique ont fait l'objet d'une Note insérée dans les Comptes rendus de l'Académie (i 8 février 1901). Je termine cette Partie en faisant l'étude d'un sous-groupe particulier qui joue un rôle remarquable dans les Travaux de M. Picard.

Dans la troisième Partie, je passe aux substitutions qui multiplient par k la forme F. Les Travaux de M. Hermite et de Jacobi sur les fonctions modulaires portent à attribuer une grande importance à leur réduction; on sait, en effet, que dans le cas des fonctions elliptiques le nombre des transformations non équivalentes d'ordre k donne immédiatement le degré de l'équation modulairer correspondante. Tout porte à croire que, dans le cas qui nous occupe, ce nombre serait aussi nécessaire à connaître pour obtenir une équation analogue aux équations modulaires. M. Picard l'a fait connaître dans une Note des Comptes rendus (1882) lorsque k est premier et de la forme 3/n -f- 1 . J'ai retrouvé ce nombre et j'ai étendu le calcul à A' = 3. Ce cas particulier présente de l'intérêt, car il conduirait à l'équation d'ordre moindre.

La quatrième Partie est un problème de transformation linéaire des fonctions de genre 3, qui me conduit à un nouvel exemple concret, malheureusement bien compliqué, de fonction hjperfuchsienne, et qui fournit le moyen de vérifier l'invariance des fonctions x et y étudiées dans la première Partie. Cette Partie est encore le développement d'une Note de M. Picard (Comptes rendus, 1884). J'établis qu'il existe des relations linéaires entre les fonctions B particulières qui nous occupent. Ces relations permettent d'éliminer des formules de transformation quarante-deux de ces fonctions. 11 ne reste ainsi que des relations d'une part entre douze fonctions paires et d'autre part entre dix fonctions impaires.

Les Mémoires dans lesquels M. Picard s'est occupé des fonctions liyperfuchsiennes sont les suivants :

Sur une classe de groupes discontinus de substitutions linéaires {Acta Afathematica, t. I).

Sur des fonctions de deux variables analogues aux fonctions modulaires {Acta Mathematica, t. II).

Sur les formes quadratiques ternaires indéfinies à indéterminées conjuguées et sur les fonctions hyperfuchsiennes correspondantes {Acta Mathematica j t. V).

Sur le groupe de certaines équations différentielles linéaires {Bulletin des Sciences mathématiques, i885).

4 R. ALEZAIS.

. Sur les fonctions hyperfuchsiennes provenant des séries hyper géométriques de deux variables {Annales de V École Normale supérieure^ i885).

Sur les séries hypergéométriques de deux variables (Bulletin de la Société mathé^ matiquCy 1887).

Sur un groupe de substitutions linéaires {Comptes rendus, 18821, i*^ sem.).

Sur certaines fonctions uniformes de deux variables et sur un groupe de substitutions linéaires {Comptes rendus, 1882, i**" sem.).

Sur une classe de fonctions abéliennes et sur un groupe hyperfuchsien { Comptes rendus, 1884, i**" sem.).

Sur les fonctions hyperfuchsiennes {Comptes rendus, î884, i*^"^ sera.).

Sur les intégrales de seconde espèce et sur les fonctions hyperfuchsiennes {Comptes rendus, i885, 1" sem.).