I. — Construction de fonctions particulières à 3 variables

i. Considérons la courbe algébrique

où a, p, Yî 8 sont des paramètres indépendants de z et de t. Cette courbe esl d'ordre 4 et n'a aucun point double, elle est donc de genre 3. Elle admet cinq points critiques a, ^, y? ^ ^^ l'infini. A cette courbe appartiennent trois intégrales distinctes de première espèce de la forme

' Q/ dt

où Qi, Q2, Q3 sont des polynômes en ^ et ^ linéairement indépendants de degré n — 3 = 1. On a/j = 3>s^ et l'on peut prendre Qi = 3z, Q2 = 3, Q8= 3^, on a ainsi les trois intégrales suivantes :

.„ .^dt ^ r^ dt ,r r^tdt

Je les appellerai les intégrales primitives de première espèce,

2. Si t décrit dans le sens direct un circuit fermé autour d'un seul des points

critiques à dislance finie, z est changé en X^f X = j ; z a donc trois déterminations; désignons-les par z^^ j52=:Xsi, zz=^\^z^. Autour de l'infini, les déterminations s'échangent dans l'ordre inverse.

z ayant initialement Zi{i=i, 2, 3) pour détermination, faisons décrire à ù à partir d'un point quelconque to des circuits fermés ou lacets entourant respectivement chacun des points critiques à distance finie ainsi que le domaine de rinfini« Supposons connues les valeurs des trois intégrales prises dans le sens direct le long de ces lacets et désignons ces valeurs par les symboles réunis dans

le Tableau suivant

ALEZAIS.

os

p;- Yi Si

PT YÎ K

eî

D'après ce qui précède, on a, entre ces quantités, les relations suivantes. Si o*,représente a/, j3/, yô S/, 6/ ou e}, on a

Si <Tx représente cl'., aj, j3^., p"., yj-, yj, 8/, 8J ou e/, on a

(3) <y2r=Xji, <rj=X*<ri.

3. Si /, étant parti de Cq, j revient après avoir entouré trois points critiques distincts ou non, ladétermination de z k l'arrivée est la même qu'au départ^ par

I" feaillet.

suite, le contour constitue un cycle fermé et la valeur d'une des intégrales prise le long de ce contour est une période de cette intégrale. Toutefois, pour trouver plus commodément un système de périodes distinctes, il est avantageux d'introduire une surface de Riemann qui nous sera d'ailleurs utile plus loin. Pour le moment, il suffit de remarquer que les valeurs de l'intégrale prise le long des contours fermés des rétrosections qui rendent cette surface simplement connexe constituent un système de périodes distinctes.

Soit donc une surface de Riemann à trois feuillets reliés par quatre lignes de passage allant respectivement des points a, j3, y, S jusqu'à l'infini. Supposons qu'autour de chacun de ces quatre points Tordre d'échange des feuillets soit 1 , 2, 3, 1 quand on tourne autour du point dans le sens direct.

Trois rétrosections sont nécessaires pour rendre la surface simplement connexe ; on peut lés choisir comme l'indique \di fig, i . Les courbes L sont les courbes de première espèce j les courbes M celles de seconde espèce; les courbes N rejoignent entre elles les rétrosections. Pour chaque courbe L, les bords positif et négatif sont choisis arbitrairement. Pour chaque courbe M, le bord positif est celui qui se trouve à la droite d'un mobile allant le long de cette courbe du bord négatif au bord positif de la courbe L correspondante. Ces conventions faites, on sait qu'une période de première espèce est la valeur de l'intégrale prise le long d'une courbe de seconde espèce parcourue de manière à traverser la courbe de première espèce correspondante de son bord négatif à son bord positif; une période de seconde espèce est la valeur de l'intégrale prise le long d'une courbe de première espèce parcourue de manière à traverser la courbe de seconde espèce correspondante de son bord négatif à son bord positif.

4. Les signes étant choisis comme l'indique la figure, désignons les périodes des trois intégrales de la manière suivante :

Périodes

de première de seconde

espèce. espèce.

ci\ as a^

bi bi bi

^Ai Aj A5

Leurs valeurs se déduisent immédiatement de \dijig. i en remarquant que chaque courbe est équivalente à autant de lacets qu'elle rencontre de lignes de passage. En tenant compte du sens dans lequel chaque courbe est décrite et des feuillets sur lesquels elle est placée, on trouve

A3 = ?, -+- Pi -h Y3 , «s = P'i H- Pi -4- Ti , ^s = PI -+- ?; -H ï'i .

A4 = Yi-+- P«-+-T3i «*= ïi -^ Pi + Ï3> ^^=f\ -+- P'i-t-ï'i.

A5 = -(Yi-+-5,4-p3), «5 = -(ï'i + 5;-i-p'3), *ô = -(ï"i + 8'i-^P'i),

A6 = -(ïi-4-a,H-p3), a6 = -(ï'i-Ha;4-P'3), ^6 = ~(ï''i -i- «i -4- P^)-

o. Toutes ces quantités ne sont pas indépendantes. En tenant compte des rela-

'H. ALEZAIS.

lions (a) et (3) dans les relations (4)) on trouve

a4-hX*aa = o, h -hX«^, = 0,

Ab4-X A| aj-h X*ai

A8--X«A,= o, (1% — A as = Oy 6( — X 6| = o.

On sait d'ailleurs que P et Q étant deux intégrales de première espèce, Tintée grale

prise le long du contour c de la surface simplement connexe est nulle^ et que, en désignant par a>/ et iù\ les périodes de première espèce et de seconde espèce de P, par r\i et \ celles de Q, on a

jFdÇl=: 2 (<^n/~wi^.).

En appliquant ce théorème d'abord aux Intégrales û et W, puis aux intégrales U et W, on a

ai Aj — aj Al -h a^ A4 — a^ Aj -h as A^ — ac A5 = o, ^lAt — ^lAi -h b^A^ — 64 Aj-h ^»Ae — ^sA» = o,

et, en tenant compte des relations (5),

aiAj-f- X'a^Ai — "ka^X^^z o, ^1 Aj4- X*6jAi— X6jA8= o.

On en tire

a\bi- - aib\ X^Aj «i^a — as 61 Al

g» 63 — a^b^ ai 63— cLzbi