h 3 6' s o (moda-HÔp

Plaçons-nous dans le second cas, c'est-à-dire supposons i -f- 4^' et i', multiples

dea4-6p, nous aurons

> (moda-4-op).

Ces congruences sont compatibles. En résumé, (y') ne fournit, pour chaque valeur de p, qu'une seule substitution non équivalente aux substitutions (a), (^) ou (y).

99. Comptons combien (y) en fournit qui ne soient équivalentes ni aux substitutions (a), ni aux substitutions (^). Il faut se placer dans les deux cas indiqués*

et compler combien il existe de solutions (modk) des congruences qui les caractérisent. Dans le premier cas, on a la seule congruence

i + 20^o (moda + ôp*),

elle admet A: solutions (modA*), mais il faut en exclure deux : celle pour laquelle est multiple de a-\-bp, et celle qui rend 1 + 26 multiple de a-h6p; nous en avons donc k — 2. Le second cas est caractérisé par les deux congruences

(moda-+-6p), Oi so )

elles admettent une seule solution commune (mod k).

En définitive, le Tableau (y) donne 2{k — i) et les deux Tableaux (y) et (y') donnent 2 A* substitutions non équivalentes entre elles et non équivalentes aux substitutions (a) et (^).

100. Comparons maintenant à (y) et (y') les substitutions non réduites à (a) ou (^) et dans lesquelles nous supposerons r\ différent de o et 1. Soient 7^, 0, p, remplacés par V, ô', p' dans ces substitutions. Nous allons voir que la réduction est toujours possible avec p'= p.

Faisons t^ = i dans (49)1 (5o), (54)? (56); nous aurons

(R,) = (l-h47i'0'-H4T/r/iÔ'ô',)0-f-2(l-h2Ô)0'Ô'i-(l-f-2T/iO',)(l-h40)0',

(Q,) = (i-+.2ô|)0'e',-(i-+-2ViO;)eiO',

(P3) = aV(i 4- 2 Vi 6\)00, H- (I -f- 40i 4- 400, )0', - (i + 4t;, O'j (1 4- 26)61, (Q3) = (i4-2r/0')66, — (i-h20)6,0',

(R',) = 26ô'0',4-(i-4-26)(i-+-4^'6'-H4VVi6'6\)-t-(n-46)(i4-2Vi6'i)0', ^ (Q'i) =(»-+- 2O, ) (I -f- 4t/6'h- 4'3'Vi ^'6'i) -+- 2(1 ■+- ar/, 0',)0,0', j ( P'3 ) = -2 00, 0; -H r/(i -+- 2r/j e',) (1 4- 461 -h 466, ) -f- (1 -+- 26) (i -h 4 Vi 6',)0,, { (Q'3 )= (1 -+- 2t/6') (I -+- 461 -h 460, )-i- 2(1 -+-26)610'.

Le premier cas à considérer est celui où 8 étant premier avec A', i -|- 2 V^' est premier avec a + &p et multiple de a -f- 6p^. On peut écrire [première relation (09)]

(R,) = (H-2r/iO\)[2r/60'-e'(i-h46)]-h(;i-f-2T/6'-h46'0;)0-+-2e'6',;

1 -f- 27j', 6', élant supposé multiple de a -{- 6p, (R| ) le sera si l'on a

(61) (i -h 2r/0'4- 46'6\)0 -f- 26'6'i = o (moda -f- 6p),

0' élant supposé premier avec k, cette congruence ne peut être vérifiée que si I + aVÔ'-h 4S'8'i n'est pas multiple de a -f- bp.

On voit immédiatement que (Qi ) sera multiple de a-f- 6p, si Ton a

(62) 26i4-iE3o {moda-^bp).

Les congrueDces (61) et (62) étant vérifiées, on voit de suite que (Qt) est multiple de a+ bp^. Quant a (Ps)? on a, en vertu de (6a),

(p,)s(2e;— V— 2VVi6;)eiH-e'j (moda + ^p»),

d'où

ae'(P») s [4e'6; 2VÔ'(i -H ar/, e'i )]e, -4- aO'e; (mod a -f- 6p«).

En tenant compte de l'hypothèse — aV^'^ i (n^oda -4- 6p*), on voit que le second membre de cette congruence est congru (moda + 6p') à la quantité conjuguée du premier membre de (61) et par suite à zéro.

Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que la réduction puisse se faire d'une substitution U à (y) et d'une substitution V à (^) c'est que

ne soit pas multiple de a + 6p.

plaçons-nous dans le cas non réduit; c'est-à-dire supposons que l'on ait à la fois

n-aVÔ's— 46'e',

(inoda + bp).

Les relations (60) donneront

(R'Os~ae'0',(3e^-a),

(Q',)s-4e'e',(n-aeo

(moda-h 6p),

(P',)se;(3e,-4-2), (Q',)se'e't(i-f-2e)

(mod a -+-6p*).

Pour vérifier ces congruences, il suffit de déterminer ^ par les relations

aSiH-iso, 36 +aso

(moda + ^p).

Ce qui est possible puisque A* n'est multiple ni de a ni de 3. On voit donc que dans ces dernières hypothèses les substitutions U se réduisent à (^) et les substitutions V se réduisent à (y).

Ainsi dans le premier des deux cas les substitutions se réduisent toutes soit à (y) soit à (y').

Reste le second cas, à savoir celui où l'on a

i-f-4T/e'so

(moda-^ bp).

Mais dans ces hypothèses, il suffit de déterminer par les congruences

Of ^ o, j

} (moda-+-ôp),

SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS HYPERFUCHSIENNES. 8l

pour que (R| ) et (Q, ) soient multiples de a -i- bp et que (P3) et (Q3) le soient de a -4- bp^. La réduction est donc bien complète.

101. Ainsi toutes les substitutions U et V sont équivalentes aux substitutions (a), (p), (y) ou (y'). Les nombres des substitutions de ces Tableaux non équivalentes entre elles et non équivalentes à celles des Tableaux précédents sonl, ainsi que nous l'avons vu : aÀ'^ pour le Tableau (a), 2k pour le Tableau (P), 2(k — i) pour le Tableau (y) et 2 pour le Tableau (y'); le nombre total est donc

aX'-H 2 A- -H a(A: — i) 4- 2 = 2A-(A'4-2).

C'est le nombre trouvé par M. Picard. 11 est relatif aux substitutions pour lesquelles /i = o;si l'on voulait y ajouter les deux substitutions (s) pour lesquelles 72 =: I, le nombre serait

102. M. Picard, au lieu du Tableau (y'), donne le Tableau suivant, qui se déduit de U en j faisant /\ = 2,