OO1 1 — 2O
2(a-4-ôp)0i o a-+-bp
qui se déduisent respectivement de U et de V en y faisant t^ = o.
Mais, auparavant, cherchons dans quels cas ces substitutions (a) et (^3) sont équivalentes entre elles. Supposons que, dans ({3), et p sont remplacés par 6' et p', puis faisons T^ = t\'= o dans les relations (5o) et (56).
Nous aurons
(P',) = i-f.40,0'-+-4e0i0'e',, (R'i) = 0'(n-!iOO'j), (Q',) = i-f-aeiO',
(n;)=ôi(i-+-2oe',), (R3) = 1-^460;, (Q'3) = i + '2ô,e'.
• On voit d'abord que (P,) ne peut être multiple de k que si 6' est premier avec k. Si cette condition est réalisée, la réduction est toujours possible; en prenant p'=o, elle se ramène à rendre (R/,) et (Q',) multiples de a + tp, (P!,) et (Q,) multiples de a + ftp^; or, toutes ces conditions sont réalisées en déterminant 6 de manière que 1-4-266'^ soit multiple de k, ce qui est possible, puisque 8' est supposé premier avec k. Ainsi, pour qu'une substitution (^) ne soit pas équivalente aux substitutions (a), il faut et suffit que la valeur correspondante de Q ne soit pas première avec k. Elle peut être multiple de a-^bp^ ou de a-i-bp, p étant celle des racines cubiques imaginaires de l'unité qui figure dans le dernier élément C3 = a H- 6p. On obtient donc deux Tableaux de substitutions non cquivalenlt'S aux substitutions (a)', en posant 6 = \L(a -h 6p^), on a
et, en posant 0= iJL(a 4- 6p), il vient
ko o
^ 2 {Il A: o a-hbp
Comparons ces deux Tableaux. En remplaçant dans le second u et p par il' et o', nous aurons
P, = — ^ [ jxjxi A- -+- .u'fx'i X' — 2 [1, ^i'( a H- 6 p) (a -h 6 p')],
a-f-6p^ a-\-bp
On voit facilement que ces quanlilés sont entières si p'= p et si |jl est multiple de aH-6p. Ainsi, toutes les substitutions de {^'') sont équivalentes à celles de (P') qui correspondent à iji = o et aux deux déterminations de p. Il suffit de retenir le Tableau (^'). Ce Tableau fournit ^k substitutions (autant qu^il existe de classes de nombres selon le module a-\- frp, pour chaque détermination de p) non équivalentes entre elles et non équivalentes aux substitutions (a). On peut aussi conserverie Tableau (p), à la condition d'y opposer 8 multiple de « -f- &p^.
94. Ceci établi, comparons toutes les substitutions U et Vaux substitutions (a) et (P). En y faisant tt^ = o, les relations (49)? (3o), (54), (56) donnent
r (R,) = (i-f-4Vô'-+-4VViô'ô'i)0-(n-2r/,e,)0', (Q,) = e'[0', -(i + 2T);oi)e,],
(57) I (P3)=^2r/(n-2V,o;)oe,-(i-4-4ViO',)o,-t-o'„ (Q3) = o,[(n-27î'0')0-e'], ( ( Rs) = 4 V(i -+- 2t/,o;)0 -(!-+- 4 ViO;),
/ (R'i) = e'[2eo', -i-(i-+-2T)',ô',)i, (Q',) = i-+-4V6'-^4VViô'0i-4-2(i-+-2r;i0',)0i0',
(58) (PV) = ^ô6iô',-+-(i-f-4T/,o\)6i-i-V(ï-HîiVi^'i), (Q',) = i-4-2ve'-+-2e,o',
( (R',) = 400',-+-{i-+-4rA0V).
93. Je vais montrer d'abord qu'il existe deux cas où il n'est pas possible de déterminer et p de manière à avoir équivalence. Ces cas sont les suivants :
1° Quand i 4- aV^' est multiple de a + tp^ sans l'être de a -|- 6p et que 0' est premier avec k.
En effet, on peut écrire
(R,) = (l -H 2r/0')0 -+- (l-H 27);0'i)(2Ti'0 - 1)0'.
Pour que, dans les hypothèses actuelles, celte quantité soit multiple de a + 6c,
t de a + bp).
i) faut que le soit; maïs alors 6| étant multiple de a + 6p^, (Pj) ne peut l'être, et ainsi, avec p':=p, Pj n'est pas entier. Si p'==p^, c'est R3 qui ne peut être entier; on a, en effet
(R,) = (!-+- 2r;je;)(4 Vô - 1) - ^^Vt^^'i-
Dans les hypothèses actuelles, 1 -i- 2y[\V^ est multiple de a 4- bo ; donc, 7|', et 6', ne le sont pas, par suite (Ks) ne l'est pas.
De même, pour que R'^ soit entier, il faut que 6 soit multiple de a + 6p; mais alors (F,) ne peut être multiple de a-»-6p*; donc, avec p'=p, I^, n'est pas entier; et si p'= p^, c'est Rj qui ne l'est pas, car
(R;) = 2e',(2e-f-7,'i)-H(i-f-2Yi'ie;)
n'est pas multiple de a + 6p.
2° Quand i -f- sy^'Ô' est premier avec k] 8' premier avec a -|- 6p, mais divisible par a + ^p^ et que i + 4V^' est divisible par a H- 6p.
Dans ce cas, R| et R', ne peuvent pas être entiers. C'est évident pour R',. Quant à Ri, il suffit pour le voir de remarquer que l'on peut écrire
(R,) = (1-1-4^'^')^ -+-îîViô'Ôi(îî')'^ — — Ô'.
Les deux premiers termes sont divisibles par a + 6p et le troisième ne l'est pas.
96. Dans tous les autres cas, au contraire, on peut établir l'équivalence et cela pour p'={>* Nous allons voir, en effet, qu'il est toujours possible de déterminer au bien de manière que (R|) et (Qi) soient multiples de a + 6p et que (Pj) et (Q3) soient multiples de a 4- 6p*, ou bien de manière que (R'^) et {Q\) soient multiples de a + 6p et que (P',) et (Q,) soient multiples de a -\- bp^.
Remarquons tout d'abord que dans le cas actuel pour lequel valent les équations (58), (R',) est le produit par 0' de la quantité conjuguée de (Q,)* Si donc (Qa) est multiple de a 4- 6p^, (R',) est multiple de a-hbp et la réciproque est vraie pourvu que 0' soit premier avec a -i- Ap.
Les seuls cas possibles sont les suivants :
1" Soient V premier avec k; i -f- ar/O' premier avec a ■+- 6p* (multiple ou non
Pour que (R'j) et (Q'i) soient multiples de a -t- 6p, il suffit qu'on ait
2oe;-f-i-haT/,e;so, j , , , ,
> ( moda + 6p).
Ces congruences admettent une solution commune (modX:); on peut les écrire
> (moaa -^ 00*),
2(i4-2V«')««;^-(i-+-4i;ei-*-4VT/ie'e',) ( ^ ^ ^
On en conclut, en portant ces valeurs dans (P's),
%^'ii 4- 2V6')(p; ) S3 (1-4- 2 v^')[' + 4 Vi^i -f- 4 v^'i^'o'f
(moda + ^p').
La quantité entre crochets est identiquement nulle; d'ailleurs, on suppose 6' fet I -i- 27j'8' premiers avec a + èp*, il faut donc que (P',) soit multiple de a + frp^«
a"* Soit B' multiple de a + 6p (multiple ou non de a + ^p^)*
Il suffit de prendre B multiple de a + bp pour que (R| ) et (Qi ) le soient aussi et pour que (Pi) et (Q*) soient multiples de a -{- bp^.
3** Soient 0' premier avec a + bp et multiple de a4-6p*; i4-4^'B' premier avec k (i -+- 27|'0' premier ou non avec k).
Pour que (Ri) et (Qi) soient multiples de a -h 6p, il suffit que Ton ait
> (moda + 6p).
Ces congruences sont compatibles, et si elles sont satisfaites, (P3) et (Qs) se trouvent être multiples de a + 6p^.
Il reste donc bien établi que les substitutions U et V sont équivalentes à (a) ou (^), sauf dans les deux cas indiqués.
97. Cherchons à ramener les substitutions non encore réduites à celles que Ton déduit de U et de V en y faisant t; = i, c'est-à-dire aux deux substitutions suivantes
^ — 2(a-h6p)(i4-2 6i) îi(a-f-6p)6i (a-»-6p)(n-46
D'après ce que nous avons dit en général des substitutions pour lesquelles r, n^est pas nul, ces substitutions (y) et (y) sont équivalentes aux substitutions (a) ou (^), sauf dans deux cas :
i^ Quand i -4- aO est multiple de a + bp^ sans Tétre de a + bp et que B est premier avec A";
78 R. ALEZAIS.
2"* Quand 1 -f- 2O est premier avec Xr, premier avec a -+- 6p mais multiple de a -f- 6p^ et que i 4- 49 est divisible par a -f- 6p.
98. Comparons Tune à Tautre ces deux substitutions dans les deux cas que je viens d^indiquer. Pour cela, remplaçons dans (y') et p par 6' et p', puis faisons Tj =t/= I dans les équations (5o) et (56); nous aurons
(p;) = 4eOie'e',H-(i-h4<>i-H40o,)(i4-4ô'H-40'6;)4-4(i-+-2e)(n-2o;), (r;) = iw 0; -h (I -h 26 )( I -^ 46' -4- 40'o;) 4- (i -^ 4e)(i -h 2e',)0',
Pour qu*il y ait équivalence avec p'= p^, il faudrait que (P',), (R'J? (P'a)? (R'j) soient multiples de a-|- 6p; on trouve que ce n'est pas possible dans les lijpothèses que nous considérons.
Soit p'= p, il faut alors que (R'J et (Q',) soient multiples de a H- 6p, et que (P3) et (Q3) le soient de a -|- tp^. On trouve que toutes ces conditions sont réalisées, si Ton a
2(i-4-56'-4-66'8'i)8i-HH-48'-i-48'6;so j ^ ^^
.Mettons-nous dans le premier cas, c'est-à-dire supposons i-|-2Ô'^ multiple de <z-|-6p; i -+- aO' et 0' premiers avec a-\-bç\ les congruences précédentes deviendront
(2-^3ô')8-t-n-28'so, ) , , ,
} (moda-f-op).
Ces congruences ne sont incompatibles que si l'on a
