so
> (inoda-h oq).
Pour comparer les substitutions (y') et (8), faisons dans les relations (5o) et (56) : Ti = 2, 7|'= I, nous aurons
(R'ï) = 2e0'0', -f- 2 (r 4- 40)(i -H 4^'-+- 40'e'|) -I- (I -h 80) (n- -îO'OO'
(Q',) = (i -+- 4o,)(i -h 4ô'-f- 40'ô\) -h 2(1 -+- 2O;)0iO', j (PV) = aOOiO'j -f- (1 -f- 80, -^ i6O0i) (i -h 2O',) H- (1 4- 40)(i -h 4ô',)e,, ( (Qi) = (i 4. 20')(i 4- 80,4-1660,) -4- 2(1 4- 40)6,0'.
Introduisons dans (IV,) et (Q,) les hypothèses
nous aurons
(motla + 6p), 30' -3—2 ' ^ ^
3(Q',)^-(46, -Hi) ) ^ ■ ^
82 R. ALEZAIS.
Et en supposanl dans (Fj) et (Q'3) on trouve
3(P'3)^— 4oee,-i3e,— I j
3(Qi)^2ei6'(i-f-40) \
On voit de suite quMl suffit de déterminer 6 par les congruences
(moda-4- bp),
pour que (IV,) et (Q,) soient multiples de a -f- 6 p et que (P3) et (Q3) le soient de a + ôp*. La réduclion est donc possible.
103. Il est intéressant de remarquer avec M. Picard, dans le second des cas où le Tableau (y) n'est pas réductible aux Tableaux (a) ou (^), c'esl-à-dire quand i -+- 4^ et 6| sont multiples de a 4- ip, que (y) a les éléments de ses deux premières colonnes multiples de a-4-6p et ceux de la troisième multiples de a -+- 6p" ; il en résulte immédiatement que dans ce cas le Tableau (y) est équivalent au Tableau suivant :
o a -^ bp o I
^ o o a-\-bp^}
La réduclion, telle que Ta effectuée M. Picard, se trouve ainsi justiGée dans tous ses détails, en ne considérant que les substitutions U et V; il r'^sle à montrer que les substitutions d'ordre k les plus générales, pour A* nombre premier de la forme 3/?i -h 1, sont équivalentes aux substitutions (a), (P), (y), (y'), {'Ç).
104. Considérons une substitution quelconque d'ordre A; on peut faire sur cette substitution les remarques suivantes, qui se déduisent des équations de condition écrites plus haut:
I** S'il n'existe aucune des lignes du Tableau des coefficients
dont deux éléments soient premiers avec a + 6p, tous les éléments premiers avec a+ftp appartiennent à une même colonne. C'est une conséquence des
équalions (Sj); ea effet, supposons par exemple que A| et B2 soient premiers avec a + 6p, le binôme A2B1 — A1B2 étant multiple de cette quantité, il faut que A] et B| ne le soient pas, et ainsi deux des lignes ont deux éléments premiers avec a -^ bo,
2® Si un au moins des A est premier avec a -H 60 et que tous les B et les C soient multiples de cette quantité, les B sont aussi multiples de k; de mc^ine, si un au moins des B est premier avec a -f- 6p et que tous les A et les C soient multiples de cette quantité, les A sont aussi multiples de k. Ceci résulte des relations (39) qui donnent, quels que soient i et/,
(64) A,p,-i-B/a,-f- C/Y/=o (raodA), Ai^yH- B/ay-i- C/Yy= o (modX:).
Soit d'abord A/ premier avec a -+- 6p, A/ [3/4- B/a/-}- C/Vi et B/a/-^ C/v/ étant divisibles par cette quantité, il faut que ^i le soit et, comme B/ Test déjà, B/ est multiple de A". Si c'est B/ qui est premier avec a + ip, on conclut de même que A/ est multiple de A*.
Soit, au contraire. A/ multiple de a -{- frp, on peut supposer que Ay ne Test pas, puisque, par hypothèse, une au moins des quantités A ne Test pas; mais alors A|py-h B/ay-h C/yy et A/^y-t- C/yi étant multiples de a-\- 6p^, il faut qu'il en soit ainsi de B/ qui, par suite, est multiple de k; même raisonnement si c'est B/ qui est multiple de a H- f^p, By étant premier avec cette quantité;
3** Si tous les A et tous les B sont multiples de a -|- tp, les C sont ou tous les trois multiples de a-j-6p, ou tous les trois multiples de a-hbp'^. En effet, il résulte des mêmes congruences que A/P/-hB,ai et A/^y+B/ay étant multiples de A", il faut qu'il en soit de même des quantités C/y/et C/yy, ce qui conduit à l'un des deux résultats indiqués.
Tous les cas possibles se ramènent donc aux hypothèses suivantes :
1® Deux éléments d'une même ligne sont premiers avec a + 6p;
2" Un des A est premier avec a 4- ^p, tous les B sont multiples de k, tous les C le sont de a -4- Ap;
3'* Un des B est premier avec a-^-bp^ tous les A sont multiples de A', tous les C le sont de a -{- bp;
4** Tous les A et tous les B sont multiples de a-f-6p, tous les C le sont de a -+- bp^;
5° Tous les éléments sont multiples de a 4- bo.
lOo. Nous savons déjà que les substitutions qui se. trouvent dans ce dernier cas sont équivalentes à (s) et que celles qui se trouvent dans le quatrième sont équivalentes à (e) et, par suite, à (y). Il ne reste donc à réduire que les trois premiers cas.
84 R- ALEZAIS.
106. Si l'on compare la substilulion la plus générale à (a), (P), (y) ou (y'), il résulte de la forme de ces dernières substitutions que les quantités M (n" 85) sont toujours entières et que les quantités R sont de la forme
a-^bp
11 s'agit donc de profiter des indéterminées de (a), (P), (v), (y) pour rendre (P|), (Pa)j (P3) multiples de k et (Ri), (R2)> (Rj) multiples de a -h bp.
Je suppose que dans les relations (4i) les éléments des Tableaux (a), (^), (y), (y') sont mis à la place des lettres non accentuées, et je supprime les accents des autres lettres.
107. Comparons la substitution la plus générale à (a). En introduisant les éléments de (a) dans les relations (40) ^^ ^y pour i= i, 2, 3,
( R,) = 2 A/G -h C/, — (P/) = -2 A,eô, -^2Ci^i— Bi.
Supposons que pour l'une des valeurs de /on ait A/ premier avec a 4- Op, on peut alors prendre de manière à avoir
(65) 2A;6 4-C|S0 (moda-+-6p).
11 en résulte
— ( Pi) = C/Oi — B/ ( mod a-\-bp).
Supposons Ci premier avec a 4- 6p, on pourra encore assujettir à la condition
(66) Ci6i— B/^o {moda-hbp);
(Pi) est ainsi multiple do a+ 6p, il faut qu'il soit encore multiple de a 4- bp^; or, oLi étant premier avec a 4- 6p^, (P/) est multiple de cette quantité en même temps que
— a/(P,) = 2A4a/00i4- 2a,G/6,— B/a/, mais on a, en vertu de (65),
il en résulte
— ai(P|)s A/(yxO — Pi) (moda4-6p»).
Le second membre est multiple de a 4- fr?*, en vertu de (66).
Ainsi, vérîfîant les congruences (65) et (66), (R,) est multiple de a -{-ho et (P,) est multiple de A*.
Soit maintenanty TuD des nombres i, 2, 3 autre que /, on a, en vertu de ces mêmes congruences,
C/(CyO,— By)^CyB, — C/By (moda-*- bp)y
A|(Ry) = 3iA/Ay6-h A/CyEs— C, Ay -4- A/Cy ( niod a -f-6p).
Mais, d'après les relations (3^), tous les binômes de cette forme sont multiples de a -h 6p ; Q et A/ étant premiers avec cette quantité, on a donc
(6;) \ ^ ' (moda-+-6o).
\ (Ry)^o '^
On a ensuite, en tenant compte de (65) et (67),
— A,(Py) = 2 A; AyOej-i- 2A,CyO|— By A/ — ( A,Cy — Ay C, )0, == o ( niod a -+- h:.).
Ainsi (Py) est multiple de a 4- 6o, il Test aussi de a -h 6p^, car, on a de même,
— a/(Py) = 2a/AyeOi-4-9.a/GyOi— a|By = — AyY,ô — Y'Cy"-*'^y (inoda-i-6p«)
et, en vertu des relations (64),
a,(Py)^ Ay(Y/ô — P/)^o (moda-i-6p*).
108. Soit encore A/ premier avec a + fro, mais C/ multiple de cette quantité; pour avoir
x A| 6 -h G/ = o ( mod a -f- 6 p ),
il faudra prendre multiple de a + 6p; mais alors les relations
2Ay6-i-Cy — o (moda-h^p)
ne sont possibles que si les deux autres quantités C sont aussi multiples de a -j- 6p* Ceci posé, pour avoir, avec /= 1, a, 3,
— ( P/) = 2 A/Oe, -4- «iCie — B/ .- o ( mod^), il faut et il suffit que les trois quantités B soient multiples de k,
109. Ainsi la substitution la plus générale se réduit à (a) dans deux cas :
1" Quand un des A et le C de même indice sont premiers avec a 4- 6? ; 2° Quand un des A est premier avec a-f-ép? q"e tous les B sont multiples de k et que tous les C sont multiples de a H- 6p.
Les équations de condition étant symétriques par rapport aux A et aux B et lu substitution (P) se déduisant de (a) par Téchange des A et des B, il résulte
86 R. ALEZAIS.
immédiatement de ce qui précède que la substitution la plus générale se réduit à (^) dans deux cas :
I** Quand un des B et le C de même indice sont premiers avec a -|- 6p ; Si'' Quand un des B est premier avec a -{- bp^ que tous les A sont multiples de A' et que tous les C sont multiples de a 4- to.
110. En portant les éléments de (y) dans les relations (40^ ^° trouve pour
(P,)= — 2(A/— 2B,-i-2C/)0ei-i-2(2B/— C/)Oi-hB/.
Supposons que, pour Tune des valeurs de ï, on ait A/ — aB^-h 2C/ premier avec a H- ftp ; on assujettira à la condition
(68) a(At — 2B,-4-2G,)ôs2B/— C/ (moda-f-6p)
En tenant compte de cette relation, on trouve
(P/) = (2B/— G/)Oi-hB/ (moda-hbp).
Si 2B/ — C/est premier avec a -\- ftp* on rendra (P/) multiple de cette quantité en achevant de déterminer par la condition
m) (2B/— C/)0i-4- B/=o (modfl -f- bp).
Les conditions (68) et (69) étant vérifiées, je dis que (P,) est aussi multiple do a + ftp2. En effet, a/ — 2 [3/ -h ay/ étant premier avec a + ftp^, (P/) est multiple de a -h ftp^ en même-temps que (a/ — 2[3/-h 2Y/)(P/); or on a, en tenant compte de (68),
(a/-3?/+2Yi)(P,)=~(A/-2B/4-9.G,)(2?/-Y^0<î-^(2B/-G/)(2?/-YO-^-B/(a,-2?/H-9,Y/)
= -(A/-2B/-f-2C|)(2p/-Y,)0-+-2B/?, — 2G/p,■-4-Bfa/-hC/Yl (moda -4- ftp*).
ou, en tenant compte de (64) et de (69),
(a/— 2 3/H-2Y/)(P/)^ — (A/ — 2B/-i-2G/)[(2p/-i- Yt)0 4- P/] e= o (moda -h ftp»).
Soit maintenant^ un des nombres i, 2, 3 autre que i\ on a, en vertu des relations (68) et (37),
(A/— 2B/-+-2G/)(By) = (A;— 2B/-+-2G,)[2(Ay~ 2 By -h 2 Gy )Ô — 2By + Gy ]
s(2B/--G/)(Ay— 2By-f-2Gy) — (2By— Gy)(A/— 2B/-i-2G,) = 2(B/Ay — A,By) -+• 2(B,Gy — G/ By) -h ( A/Gy — G/Ay) S O
(moda -I- ftp),
c'est-à-dire
(Ry) = o (moda-+- 6p).
On a aussi d'après (69) et (37),
a(B/— C/)[(aBy-Cy)e,-|-By]=— B/(2By— Cy)-l-By(aB/— C/)sB/Cy'-ByC/=0
(moda -h &p), c'est-à-dire
(70) (îBy— Cy)ô|4- By= o (modaH-6p).
On a ensuite, en vertu de (68), (70) et (37),
(A/— aB/-t- 2C/)(Py) = ( A,- 2B,-h 2G/)[- 9.( Ay— 2By-H aGy)ee, -+- ^(^By— Gy)6i-h By]
= [-(Ay— 2By-+-2Cy)(2B,-G/)-+-(A/— ^B,-h2C/)(aBy— Cy)]0, s[2(A,By— B/Ay)-+--2(G/By— B/Gy)-f-(G/Ay— A/Gy)]e,SO
(moda -\- bp), et, en vertu de (68), (64) et (69),
(a/-2?;-f-2Y/)(Py)=(a/-2?/-+-2Y;)[— 2(Ay— 2By-4-2Gy)ee,-h2(2By — Gy)ei-f-By]
= -(Ay — 2By-4-2Cy) (2 ?/ - 7/)0 + 2 By ?/ - 2Gy ?/ 4- Gy^/ -l- By a,- EH-(Ay~2By4-2Gy)K2Py-Yi)Q-H?i] =
(moda -H ôp*).
(Py) est donc à la fois mulliple de a -h 6p et de a -+- bo^ et, par suite, il est multiple de Xr.
Ainsi vérifiant les conditions (68) et (69), les quantités (R) sont multiples de a -h 6p et les quantités (P) sont multiples de /»*; la réduction est donc efiectuée.
iil. En supposant, pour une valeur de £, A/ — aB/ -i- 2 C| premier avec a -f- f^p, mais aB| — C/ mulliple de celte quantité, on retomberait sur le second des cas déjà ramenés (n" 108) à la substitution (a). Ainsi le seul cas distinct des précédents où la substilution la plus générale est équivalente à (y) est celui où, pour une valeur de /, A/ — 2B|-f- aC/ et 'àBî — G/ sont premiers avec a -h bp.
Par. raison de symétrie, on voit que la substilution la plus générale est équivalente à (y') quand, pour une valeur de /, B/ — 2 A/ H- 2 G/ et 2 A/ — (^z sont premiers avec a -f- 6p.
Remarquons, en vue de ce qui suit, que ces dernières conditions sont certainement réalisées si A/ et B/ sont premiers avec a 4- bp et que G/ et A/ — 2B/-h 2G/ soient multiples de cette quantité. En effet, 2 A/ — G/ est alors évidemment premier, et il en est de même de B/ — 2 A, 4- 2 G/, car on a
B/ - aA, -t- 2G/ = — 2(A/— aB/-^ 2G,) H- 6G/ — 3B/.
88 R. alezâis.
112. La réduclion de la subsliiutîoD la plus générale se trouve ainsi eOTectuée dans les trois premiers cas du n^ 104 qui restaient seuls à réduire.
En eflet, nous avons vu au n® 109 que la substitution la plus générale est équivalente dans le deuiiiènie cas à (a) et dans le troisième à (^). Quant au premier cas, c'est-à-dire quand deux éléments d'une même ligne sont premiers avec a -t- 6p, il résulte des n*** 109 et 111 que, si ces éléments sont A/ et C|, la substitution est équivalente à (a); si ce sont B/ et C/, elle est équivalente à (3); si ce sont A/ et R/, que Ci soit multiple de a -h ^p et que A/ — aB|-h ad* soit premier avec cette quantité, la substitution est équivalente à (y); enfin, si ce sont A/ et B/ et que C/ et A/ — 2B1-+- 2 G/ soient multiples de a H- 6p, elle est équivalente à (v').
La réduction est donc efTecluée dans tous les cas.
