III. - A est égal à
113. Le calcul relatif à A: = 3, tout en présentant dans ses grandes lignes beaucoup d'analogie avec le calcul précédent, en diffère néanmoins d'une manière assez notable en raison de la circonstance suivante : on a ici a + 60 = i + 2X et par suile a -h 6p*= 1 -f- 2).^= — (i-|-2)v); pour établir qu'une quantité est. divisible par A*, il ne suffit donc plus de montrer qu'elle est divisible par a-\- bp et par a ■+• 6p^. Je me contenterai cependant d'indiquer les résultats auxquels je suis arrivé.
114. Il suffit, comme dans le cas précédent, de réduire les Tableaux U et V qui sont ici
[l-h4'l0-H4r,7i,00i — 2OO1 - 20(i-h2r^,0,) ^
I— '2601 1-4-4x^6-+- 4r,7i,eoi — 2e(i-+-2T,,ej) ^
2(l-+-2X)e, — 2(l-h2X)T,(l-4-ar,iO,) (iu-2X)(l-4-4rje,)J
J'ai pu poser p = X; il résulte, en effet, de ce que je viens de dire que deux subïjtitutions qui ne di (Tarent que par la détermination de p sont équivalentes, car changer le signe de rt -h 6p revient à changer les signes des éléments de la troisième ligne.
115. On trouve que toutes les substitutions U et V et par suile toutes les substitutions d'ordre 3 se réduisent à celles des Tableaux suivants qui se déduisent
de ceux du cas précédent en y faisant A" = 3, et a -4- 6p = 1 -H 2X :
-26 ^ Il i-^iXj
— a6ôi —26 («) I o 3
)e, (i-+-aX)(n-4e,)J
2(l-h2X)6, — 2(i-H2X)(r-4-26i) (i-+.5iX)(i-4-4e
116. Pour n'avoir que des substitutions non équivalentes entre elles, il faut dans un même Tableau ne donner à 8 que des valeurs incongrues entre elles selon le module 3; de plus, dans (P) il faut supposer multiple de i + 2X, et dans (y) et (Y) ^' ^^^^ supposer 1 + 2B multiple de i + aX, mais non divisible par 3. Le nombre des substitutions non équivalentes d'ordre 3 est donc
ou ce nombre augmenté d'une unité suivant que Ton néglige ou non la substitution (Ç).
117. Remarquons enfin que l'on peut, comme au cas précédent, remplacer (^) par
''GlXfLt î — 2(l-4-2X)fl
où Ton devra donner à |ji des valeurs incongrues selon le module 1 + 2X, mais on trouve que les substitutions (y) non équivalentes aux substitutions (a), (P), (y) ne le sont pas non plus aux substitutions (3) que Ton obtiendrait en faisant, dans U, t, = 2.
