INTRODUCTION

La présente étude a pour but de grouper dans une même classe diverses catégories de surfaces dont plusieurs ont fait l'objet de nombreux et remarquables travaux. Nous signalerons spécialement les surfaces minima, les surfaces à développée moyenne plane ('), les surfaces réglées imaginaires de Monge ( 2 ). Les surfaces réglées de Serret ( 8 ) font partie de ces dernières et, par suite, rentrent dans le champ de nos recherches.

Les auteurs qui ont étudié ces familles se sont bornés à établir les propriétés caractéristiques de chacune d'elles. Or notre attention a été attirée par un caractère commun à toutes ces surfaces. Nous avons, en effet, observé que toutes vérifient une équation aux dérivées partielles extrêmement simple

du*du\

Ç, u, u t désignant les coordonnées d'Ossian Bonnet ( 4 ),

Celte propriété analytique établie, nous avons cherché à en déduire une

(*) Au cours de ce travail, il ne sera question que de la développée moyenne ponctuelle. (') Monge, Application de l'Analyse à la Géométrie. ( s ) Serret, Journal de Liouville, 1848, p. 36 1.

( 4 ) Sur la nature de ces coordonnées, voir Darboux, Théorie des Surfaces, t. I, p. 24'5 et suiv.

de M. i

2 M. DE MONTCHEDIL.

propriété géométrique, et nous sommes parvenu à déterminer un mode de construction propre à la classe de surfaces définie par l'équation précédente.

Voici par quelles considérations on y est'conduit.

Pour la brièveté du langage nous appellerons équation S l'équation que nous venons d'écrire, et surface S toute surface définie par celte équation. Les surfaces S renferment la classe des surfaces minima, nous venons de le dire ( 4 ). 11 est par suite assez naturel de chercher, dans une généralisation des procédés de construction de celles-ci, l'interprétation de toutes les surfaces de l'ensemble.

C'est ce que nous avons fait, en prenant pour point de départ une conception de Ribaucour ( 2 ) relative aux surfaces minima.

Sophus Lie les avait considérées comme le lieu du milieu d'un segment dont les extrémités décrivent deux courbes minima. Ribaucour a eu l'idée d'associer, à la considération des éléments ponctuels de ces courbes, celle de leurs éléments tangentiels, en d'autres termes, de leurs plans oscillateurs. On est ainsi conduit à constater que la droite menée par le point milieu du segment, parallèlement à l'intersection des plans osculateurs des deux courbes, n'est autre que la normale à la surface minima décrite par ce point.

L'idée de généraliser ce mode de construction s'offrait d'elle-même à l'esprit, et l'on était amené à se demander quel résultat il fournirait, lorsqu'aux deux courbes minima l'on substituerait deux courbes quelconques de l'espace.

Le point milieu du segment, reliant par ses extrémités les deux courbes, décrit les surfaces de translation. Ce résultat est dès longtemps connu. 11 restait à étudier la nature de la congruence qui, dans le cas des courbes minima, est formée des normales à la surface minima correspondante. Mais ici deux procédés de généralisation s'offrent à l'investigation du géomètre. Dans le cas des courbes minima, le même plan jouit de la double propriété d'être oscillateur à la courbe et tangent au cercle de l'infini. Or, lorsqu'on passe à une courbe quelconque, ces deux propriétés caractérisent des plans distincts, et il y a lieu de considérer séparément les plans osculateurs de la courbe et les plans tangents à celle même courbe et au cercle de l'infini. De là deux procédés de généralisation absolument distincts. Dans son étude sur les propriétés des surfaces W, M. Darboux a considéré le premier mode de généralisation ( 3 ). Prenant deux courbes quelconques, parle milieu du segment qui les relie il mène une parallèle à l'intersection des plans osculateurs de ces courbes. 11 obtient ainsi une congruence qui jouit de propriétés remarquables et renferme, comme cas particulier, la congruence des normales aux surfaces minima. Toutefois, les courbes étant quelconques, cette

(*) M. Darboux en a fait le premier la remarque (Théorie des Surfaces^ t. I, p. 297). (*) Ribaucour, Etude des élassoïdes ou surfaces à courbure moyenne nulle. ( a ) Darboux, Théorie des Surfaces, t. III, p. 372.

SUR UNE CLASSE DE SURFACES. ô

congruence n'est pas formée des normales à une surface. Il en sera ainsi lorsque les courbes seront à torsions constantes, égales et de sens contraires.

Le mode de construction des surfaces E que nous nous proposons de déterminer s'obtient en suivant la seconde voie de généralisation indiquée tout à l'heure.

Nous prenons donc deux courbes quelconques et nous considérons, en même temps que le point milieu du segment qui les relie, la droite menée par ce point, parallèlement à l'intersection de deux plans tangents à la fois aux courbes et au cercle de l'infini.

De cette simple considération nous serons en mesure de déduire la proposition suivante, qui est le fondement de notre théorie :

Tandis que le point milieu du segment décrit une surface de translation, la droite correspondante constitue Vêlement d'une congruence normale à une famille de surfaces qui admettent pour développée moyenne cette surface de translation. L'ensemble de ces surfaces est celui que définit V équation S.

Comme on le voit, la considération de deux courbes quelconques et de deux plans tangents à ces courbes et au cercle de l'infini nous donne une interprétation géométrique de l'équation S. Il y a lieu, toutefois, de compléter cette interprétation. Dans le cas particulier des surfaces minima où n'interviennent que deux fonctions arbitraires, le rôle géométrique de chacune d'elles est nettement caractérisé par la courbe minima correspondante. Mais, dans le cas général, les surfaces S dépendant de quatre fonctions arbitraires, et chacune des courbes étant définie au moyen de deux de ces fonctions, celles-ci ne sont pas suffisamment déterminées. Il est donc nécessaire de recourir à un nouveau mode de construction, d'ailleurs dérivé du précédent, et que nous allons exposer brièvement.

Dans chacun des deux plans isotropes passant par Taxe des s, traçons deux courbes quelconques. Soient C, Ct les courbes du premier plan, D, Dj les courbes du second. Associons deux à deux les points des courbes C et D, de telle sorte que les tangentes à ces courbes aux points ainsi associés se projettent orthogonalement (ce qui est ici possible) soit sur le plan des #, 3, soit sur celui des y, z. Faisons de même pour les courbes Cf et D,. On vérifie alors que le centre des moyennes distances aux quatre points décrit une surface de translation, développée moyenne d'une famille de surfaces E, et que chacune des quatre courbes dépend d'une des quatre fonctions arbitraires relatives à ces surfaces. Les courbes nous donnent ainsi l'interprétation géométrique de ces fonctions.

La détermination du rôle géométrique distinct que joue chacune des quatre fonctions dans la construction des surfaces S fournit une base avantageuse pour la classification de ces surfaces. Elle permet, en effet, de la fonder sur des pro-

4 M. DE MONTCHEIÎIL.

priélés analytiques et géométriques à la fois, d'ailleurs nettement définies. 11 nous suffira de classer ces surfaces d'après la nature des courbes dont elles dépendent. Elles se trouveront, par le fait, groupées d'après la nature des fonctions correspondantes.

Nous considérerons donc successivement les surfaces qui dépendent d'une, puis de deux et enfin de trois courbes communes, et, par voie de conséquence, d'un même nombre de fonctions communes.

Chacune de ces courbes jouant un rôle identique dans la génération des surfaces, toutes celles qui dépendent d'une même courbe formeront une classe unique.

Pour les surfaces à deux courbes ou deux fonctions communes, il y a lieu de considérer Irois cas, selon que les points décrivants des deux courbes sont des points indépendants et situés dans des plans isotropes distincts, ou bien des points indépendants et situés dans le même plan, ou enfin des points associés et situés dans des plans distincts. Nous verrons qu'il y a lieu de considérer deux de ces catégories comme formant un groupe unique. Dès lors, nous obtenons deux nouvelles classes de surfaces.

Enfin, pour la raison indiquée plus haut, les surfaces qui diffèrent par une seule courbe formeront une classe unique. Nous obtenons ainsi quatre classes distinctes de surfaces £.

Désignons par A, B deux fonctions de a, par A|,B, deux fonctions de u K et indiquons leurs dérivées par des accents. La solution générale de l'équation 3 sera donnée par la formule

l = Au l +A,« + B -hB„

et l'on vérifie que les quatre classes de surfaces correspondantes seront définies par les équations

T7J- =A > 3 r-=A'+A,) y-, =«iA V +B% 3- =: A,4- «iA'-h B'.

ÔU'OUx ouôu l l ou 1 ou

Celte classification permet d'étudier avec méthode les cas particuliers. Il nous suffira d'égaler à zéro une, deux, puis trois des fonctions arbitraires, ou, ce qui revient au même, d'annuler les seconds membres des équations précédentes.

L'équation

diï

par exemple, nous donne les surfaces réglées imaginaires de Monge.

L'équation

(H =Q dudtii

définit les surfaces pour lesquelles tout point delà développée moyenne est à égale distance de la surface et d'un plan fixe. Nous déduisons de cette équation un système cyclique.

A ces premières applications nous en joignons quelques autres choisies avec moins de méthode, mais que nous avons cru devoir étudier à raison de l'intérêt qu'elles présentent.

Nous déterminons d'abord les surfaces réelles qu'on obtient en prenant pour fonctions arbitraires deux couples de fonctions conjuguées.

Les surfaces doubles attirent ensuite notre attention. Pour les obtenir, il suffit didenlifier les deux courbes qui figurent dans la construction de toute surface S.

Nous étudions encore les relations des surfaces minima et des surfaces à développée moyenne plane, et nous retrouvons celles mêmes qu'ont indiquées O. Bonnet et M. Darboux. Nous remarquons que le mode de transformation dont nous nous servons pour faire dériver, d'une surface minima, une surface à développée moyenne plane donne une surface de même nature lorsqu'on prend pour point de départ une surface définie par l'équation

âitâui

Dans le premier cas, la développée moyenne est un plan réel; dans le second, elle est formée par un plan imaginaire.

Cette remarque nous amène à déterminer une catégorie plus générale de surfaces qui, par le mode de transformation indiqué, conduit aux surfaces dont la développée moyenne est un plan quelconque.

Une application intéressante nous est encore offerte par les surfaces H a lignes de courbure planes dans les deux systèmes. Après les avoir déterminées dans leur ensemble, nous étudions à part les surfaces algébriques. Parmi ces surfaces nous rencontrons la surface minima d'Enneper, la cyclide de Dupin et une surface donnant lieu à un système cyclique qui renferme cette dernière comme cas particulier.

Nous terminons ces applications par l'étude sommaire d'une catégorie de surfaces que l'on construit à l'aide de deux hélices de même axe. Pour certaines valeurs des paramètres, on obtient des surfaces minima, et des surfaces à développée moyenne plane. On obtient encore une famille de surfaces S qui admet pour développée moyenne la surface minima hélicoïdale.