C-«W«CW* = i

Donc il suffit de considérer les substitutions U, W, G et (7) et (8), qui ne comprennent pas d'ailleurs U, W, G comme cas particuliers.

25. Si nous formons maintenant les substitutions de la forme (A) correspondantes, nous trouvons les résultats suivants :

à U correspond la substitution à W correspond la substitution

et à C correspond la substitution

^-Hy/I

k la substitution (7) correspond la substitution

mais

comme, d'autre part, on obtient toutes les solutions de l'équation de Pell en employant l'identité

J7 dz y^D = {a±: c^D)"^ (n q. c. q. entier),

a et c désignant les plus petites solutions entières, on en conclut que la substitution (7) revient à la suivante

[?, 'n; (a-+-cv/ÏÏ)^, (a — c\/\))n].

Eniîn, à la substitution (8) correspond la substitution

avec la condition

qui exprime que le déterminant est égal à 4- i.

Sous cette forme, une réduction nous apparaît encore; multiplions, eh effet, notre substitution par la suivante.

qui est de la forme (8) et supposons | «3 1 > | a^ |; nous obtenons

«0 («3— mao)v/D

et choisissons m de manière que l'on ait

las— mao 1 = 11 «ol;

la substitution devient

(3; v/ïï p;

avec

Appliquons à cette dernière la substitution

en déterminant m' par la condition

et ainsi de suite; appliquons alternativement les substitutions (a) et (Z^); nous arriverons, après un nombre fini d'opérations, à l'un ou à l'autre des deux types.