Ê» ^; -=FT
TQ
V/D^-M v/B»Tn-M
de sorte qu'en définitive, le groupe résulte des substitutions suivantes
[?> in; (« — cv/î))^, (a-i-cv/l))Yî] avec a*— c*D=j',
auxquelles il faut ajouter, si l'on veut comprendre le groupe total des substitutions (A) et (B)
{ly tq; Y), l).
Nous poserons, pour abréger le langage dans la suite,
(a — cv^l))-n]t a* — Dc*=:i
£ = (?, tq; yî, I).
Remarquons, en passant, que nous démontrons un résultat énoncé par M. Picard dans son Mémoire couronné Sur les fonctions de deux variables, à savoir qu'on obtient un groupe discontinu de substitutions entières, en prenant le groupe admettant pour substitutions fondamentales
Recherche des substitutions du groupe, considérées comme substitutio/is
semblables d'une forme quadratique.
26. Nous avons défini le groupe que nous étudions en montrant sa liaison analytique avec le groupe des transformations du premier ordre
4o H. BOURGET.
d'un système de fonctions abêlienncs de genre deux, dans lequel on a
Dans le courant du long calcul d'élimination qui nous a donné la forme des substitutions, nous avons fait quelques restrictions. Il n'est donc pas inutile de montrer qu'on peut retrouver les mêmes formules en cherchant comment on doit choisir les coefficients des substitutions
pour que les substitutions correspondantes qui reproduisent la forme
ti] — Du] -h UiU^
aient tous leurs coefficients entiers.
27. A cet effet, commençons par remarquer que, dans les formules
du n° 6, si l'on change 4- VD en —- \D, ^ et y) deviennent respectivement — Y], — ^ et, en second lieu, que toute transformation semblable de la forme
n'est pas entière si $ et yj ne contiennent pas y/'D.
Cela c-tant, considérons les systèmes de valeurs (^, y]), ($', r{) correspondfmt respectivement aux systèmes (w^, ;/2, z/g, w»), (u\y w!j, «',, u[) et supposons que les (w/) soient des nombres entiers et que les (w). ) leur correspondent par une substitution à coefficients entiers; on aura les relations
y, ac,-\- b , Ifi-hm
dans lesquelles les a, 6, ..., y contiennent v^D. Changeons, dans la première de ces formules, \/D en — yD; elle devient
— rtoYîH-^o / Oofl—bo — fi'— -j- ou Ti— ,-^
— CoTi H- «0 — CoTi -H «0
où «0, ... désignent les nombres conjugués en \/D de a, Comme les
points (w) et («') n'ont pas bougé dans cette transformation, la dernière
SUU UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES HYPERABÉLIENS. /\l
formule doit être identique à
, In H- m
ce (jui entraîne les conditions
Oq — Z>o Cq dç
d'où Ton tire
w a^-hb , aoTt — bo cc-^d —c^Ti-hd^
Telle est donc la forme nécessaire de toute substitution correspondant à une substitution entière sur les w,. On constate d'ailleurs aisément que toute substitution de cette forme correspond à une substitution à coefficients entiers. D'autre part, c'est, aux notations près, précisément la forme d(»s substitutions (A).
2tS. Nous avons donc le droit d'utiliser, pour notre groupe, les considérations développées dans les premiers paragraphes de ce travail.
iNous passerons des substitutions de la forme (A) ou (B) aux substitutions linéaires sur les «/, au moyen des formules du n** 6.
A ces dernières substitutions correspondent des substitutions sur .x-, y, z qui peuvent représenter des transformations isogonales non euclidiennes, dans un espace où la conique à l'infini aurait pour équations
lz=z o, X^ — >•' — «3* =: o.
Pour trouver ces transformations isogonales, il faut commencer par passer de la forme quadratique, considérée jusqu'ici,
à la forme canonique
ce qui se fait au moyen de la substitution
Ut -7^ y
Cela fait, on appliquera les formules qui donnent la repréî-enlalion, dans B. 6
n. DOURGET.
l'espace à trois dimensions W| = o, de la quadrique
le point de vue étant le point (i , o, o, o). Ces formules sont
ou bien
W.tz: -
Itn^
La quadrique conservée par les transformations isogonales non euclidiennes sera la sphère non euclidienne
Nous avons fait observer au n® 3 qu'on pouvait faire en sorte que les transformations isogonales laissent invariable un plan. Il suffit de transformer toutes les substitutions trouvées par la substitution
(jui change la quadrique x' — y^ — :r^ -+- i ^^ o dans le plan z = o. Cette substitution n'est autre qu'une inversion par rapport à la sphère non euclidienne
^s ^ j» ^ ( - -I- I )2 -^ 2 zn: o.
Nous pourrons donc avoir finalement les transformations isogonales non
SIR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES IIYPERABÉLIBXS. i'i
euclidiennes conservant un plan réel, qui correspondent à des substitutions données sur les $ et y).
En particulier, si nous considérons les substitutions (B) à période dcux^ c'est-à-dire de la forme
y, an -h b — dc,-h b
CY) -f- a cr — a
il leur correspond sur les u^ une substitution à période 2, c'est-à-dire une homolôgie harmonique, le plan d'homologie étant
— (a -\- ci)ui— {a — d)u^-\- {b — c)z/, -h (6 -h c)«4= o.
Les transformations isogonales non euclidiennes correspondantes sont des inversions non euclidiennes ou des réflexions sur les sphères transformées de ces plans. Ces sphères (qui sont des plans passant par l'origine si a H- ûf = o) sont orthogonales au sens non euclidien, à la sphère non euclidienne
Par suite, enfin, dans les transformées de ces substitutions isogonales, les homologies harmoniques correspondent à des réflexions sur des sphères non euclidiennes, toutes orthogonales au sens non euclidien au plan
On sait, et il n'est pas difficile de le voir, que si Ton peut former un polyèdre à faces sphériques tel qu'il ne soit traversé par aucune autre sphère de réflexion du groupe, ce polyèdre peut constituer le domaine fondamental du groupe (ou d'un de ses sous-groupes d'indice fini) à condition que les réflexions successives de ce polyèdre sur ses faces remplissent sans vides ni empiétement l'espace entier.
Dans le cas où D est quelconque, ce domaine fondamental paraît difficile à construire et nos recherches sur ce sujet n'ont pas abouti. Il semble y avoir là une variété de cas particuliers aussi grande que celle que M. Blanchi a rencontrée dans l'étude du cas voisin des transformations semblables d'une forme quadratique quaternaire réductible au type
(«) Ann, diMat., l. XXI et XIII.
Particularilés du domaine fondamental du groupe déduites
de la réduction continuelle.
29. Essayons maintenant d'appliquer à la forme quadratique qui nous intéresse l'algorithme de la réduction continuelle et de voir quels renseignements nous pouvons en tirer relativement au domaine fondamental du groupe.
Ce que nous avons dit sur les réduites à la fin de la première Partie de ce Travail nous conduit à envisager, à la place de la forme
la forme dans laquelle
et qui peut, par suite, avoir un point commun avec la limite du domaine S. Si nous calculons, pour cette forme, les coefficients de la forme définie associée, nous trouvons sans peine
Ai =l)[2^ço + 2y)Y)o-h(^4-co)(^H-TOo)]»
A, ^2^;o-^2rîyîo— (; H-?o)(in -f-'Oo)»
Ai = 2çço'OTQo>
13l3=| + ?0— TO— TOo.
Bu — -l(?-^?o)('n-i-Yîo),
Hn = ~v/î')[?i:o(rî-^rîo)H-vî-Oo(;-i-ço)],
Si nous mettons cette forme définie
( A,, A2, A3, Aj; B,„ B,„ B,v, B,,, B,^, B^^ )
sous la forme de MM. Korkinc et ZolotarelT, il vient, par des calculs qui
SUR LNK CLASSE PARTICULIÈUE DE GROUPES HYPERABÉUENS. 45
n'ont d'autre difficulté que leur longueur,
ei = — V(ç-^;oH-'nH-Tno), fAi=3»
£*= r(;-+-;o— '0 — rîo), f^a — — ~[(co— ç)*-f-(TO — tîo)-],
(n-\-n ,) (Jj- ;)'+a + ?.)(r)-r,.)« «« = — î(; + ;o— in — iflo);
7(;-+-<=o)(^-+-Tn,),
r (;« £)* (n ri,,)* /i) («.-?)•+ (ri -rio)«'
on en lire
{Jî=-Ç[(J,-ç^)'4-(n-r)o)»].
ff» - A (ê.-; )'(n-ri .)'
F.~l) [(;.-ç)'+(v)-ri,)']''
Comme on doit avoir, pour que la forme soit réduite, ^ > -i on en condut
mais, d'autre part, on a, pour toutes les valeurs de $, y],
on devrait donc avoir
— Il ou I) 1 2,
ce qui n'arrive pas en général; donc la forme dont on est parti
n'est réduite pour aucune valeur de E, y], ce qui nous montre en passant que les condilions du n^ 14 ne sont pas suffisantes. Si on veut la réduire, il faut faire une substitution linéaire qui change en quelque manière les quan-
f\6 lï. BOITRGET.
lllés [jL,, ce qui est mal commode, et nous sommes conduit à changer de forme de départ.
