iilZ rnilX
On a donc, en définitive, au voisinage du point A, dans la première région, un développement de la forme
V D ayant sa valeur arithmétique et les coefficients A,„,„ possédant la propriété que nous allons indiquer.
Le terme général de cette série peut s'écrire
ittiTZ
Il -h m TZt'
Si nous efTectuons, dans ce terme, la troisième substitution relative au point A, nous obtenons
-^(Wrt — nrU u-hnz<— inr-*-nfi
Si nous écrivons maintenant que la troisième équation fonctionnelle est satisfaite, il faut écrire que les coefficients des mêmes puissances de e sont égales. Or, prenons le terme d'indices m et n dans le premier développement et le terme d'indices m' et /^' dans le développement transformé. Pour que les puissances de e soient les mêmes, on devra avoir
m —z m'a — /l'cl),
ou
m' 1=1 ma 4- /tel),
n' — na 4- me,
ce qui montre qu'à un terme du second développement ne correspond un terme du premier, de même exposant de e que si Ton a entre les indices m\ n' les relations
m'flr — /«'c I) ;> o, — m' c t-/^'r^>o, c'est-à-dire
ri) m' a
a II c
Comme, d'autre part, à tout terme du premier développement correspond un terme dans le second développement, on en conclut que tout coefficient A,,,,^ dans lequel les indices ne satisfont pas aux inégalités
a il c
est nul.
Comme toute fraction de la forme
\c\) 4- \ia
La 4- /jLC
A et u. étant des entiers positifs, est comprise entre-- et-^ on s'assure
qu'il y a une infinité de coefficients A,„^n ^^^ i^uls et une infinité de tels coefficients nuls et, de plus, que les plus petites valeurs de m et n pour lesquelles le coefficient correspondant n'est pas nul, s'ont
/?i =: c I> et ' n=: a:
par exemple, si D = 5, on a
de telle sorte que la série a un facteur qui est, dans ce cas particulier de D = 5,
Dans la seconde région, des considérations tout à fait identiques nous montrent que Ton a le développement analogue,
* • m '■ TT
les coefficients Am,n jouissant des mêmes propriétés que dans le développement (i).
55. Reste la troisième région. Dans sa Théorie des fonctions fuchsiennesy M. Poincaré a démontré qu'on pouvait modifier le domaine fondamental Ro de la manière suivante : On en retranche une région So et Ton ajoute, par compensation, la transformée S^^^ de S^, par une substitution déterminée [^î//?(^)lî choisie arbitrairement dans le groupe.
Nous pouvons appliquer ici autour du point A le même procédé, en prenant pour S^ la troisième région définie par
et en choisissant la substitution
de manière que la région Sg^p n'empiète pas sur les deux premières régions définies plus haut.
La région S,,,^ est définie par les inégalités
OU
(i^- d)(a-hc y/D/- (a — c s/dY ^ (, 4- ô) (« t- c v/S/- (a-c y/ï)/
On voit que, si l'on choisit B assez petit d'une part, et p assez grand d'autre part, ^ — i aura dans la région So,^ un signe constant, et cette région n'aura aucune partie commune avec les régions utilisées plus haut
K—i>S et Ç — 1<— ô.
Dans le cas particulier considéré plus haut où D = 5, on a
(a 4- cs/5y= (^ + 4 ^/^y"^- (321 ,992 . . .K (a-'Cs/Dy=(q — ^s/Zy^=z{ o,oo8...)^
car 9 et 4 sont les plus petites solutions de l'équation de Pell
et l'on a
a4-cs/D=:(9 + 4v/5)S a - cv/D =r (9- 4 V^)';
So^ est donc définie par
inégalités qui montrent bien que l'on peut faire pour S et /? le choix indiqué.
On aura donc, autour de A, une région où î^ — i gardera un signe constant et dans laquelle on pourra représenter 0($, y)) par un développement de la forme (i) ou de la forme (2).
56. Cela étant, considérons deux fonctions 0($, y]), 0'(^, y]) correspondant à deux fonctions rationnelles R et R' indépendantes l'une de l'autre et à un même nombre entier m.
Nous allons démontrer que, dans le domaine fondamental du groupe, elles ne peuvent avoir qu'un nombre fini de racines communes, ne formant pas un continuum.
Il ne peut y avoir de doutes sur cette proposition qu'au voisinage du point A où les racines pourraient peut-être se condenser en un nombre infini.
Mais considérons la première région X^ — i^Z. Pour des points (Ç, y]) B. 12
situés dans cette région, on a
e($,r)) = ^^ \Ap.ç+A^„.W» 4-...;,
le facteur étant le même dans les deux développements, car il ne dépend que du nombre entier D.
Ces fonctions admettent d'abord les racines communes qu'on obtient en égalant ce facteur à o. On trouve ainsi le point A. Ce facteur mis de côté, comme il ne peut y en avoir d'autres, puisque A^^^, A^^ sont des constantes différentes de zéro, les développements en série, contenus entre crochets, ne peuvent avoir qu'un nombre fini de racines communes, dans lesquelles $ et r] ontdesvaleursaussi voisines qu'on veutdecelles qui correspondentau point A.
Si l'on considère les développements correspondant à la seconde région ou à la région transformée de la troisième, les conclusions restent les mêmes.
57. En répétant, sans y rien changer, un raisonnement fait par M. Picard dans sa Théorie des fonctions hyperfuchsiennes {A. M. y t. V, p. 175), on voit que ce nombre fini de racines est indépendant des fonctions rationnelles R et R' et ne dépend que du groupe considéré et du nombre m.
58. On conclut de là que trois quelconques des fonctions du groupe sont liées algébriquement, car les valeurs de deux de ces fonctions étant fixées, il en résulte pour la troisième un nombre limité de valeurs.
On démontre également sans peine qu'on peut exprimer rationnellement toutes les fonctions du groupe à l'aide de trois d'entre elles, liées par une relation algébrique. Former effectivement de telles relations algébriques, même dans les cas les plus particuliers, paraît un problème difficile. On voit, en effet, que les fonctions que nous considérons, les fonctions dérivées des fonctions & par exemple, ne sont fonctions de deux variables que par Tintermédiaire du nombre entier D, et Ton conçoit que la présence de cet entier rende impossible, d'une manière générale, les éliminations qu'il faudrait effectuer pour obtenir la relation algébrique.
Le théorème qui précède montre, en outre, l'importance de l'étude de quelques fonctions particulières du groupe, puisqu'à l'aide d'entre elles, on peut exprimer toutes les autres.
