B. II

logue des fonctions hyperfuchsiennes (AcL math., t. V) et sa méthode s'applique également au cas présent.

Considérons, en eflct, le point ^^ = o, y], = o et supposons, en premier lieu, qu'il n'y ait que la substitution unité qui transforme ce point en luimême. Nous pourrons construire, autour du point (^, = 0, r], = o), un domaine assez petit pour qu'à tout point de ce domaine corresponde des points (^'^, Y)',), tels qu'on ait

en posant

V» açiH-^ , g^Yj, -f- b'

comme on a

(v,--v,o)(rio-ri)=:|(^j^^^^,(^,^^^^,,).,(in.--o,o) (410-2.),

on en conclura

et la série définissant &^ pourra s'écrire

R(.:.,t„)+2«(^'"^'\.ç, + c/)-('c'r„^rf'>"

-H ^ R ( ç'i ,fi\) ^,.... , rr. ^,T-. ... '

2/« r./r j A' \^-fn

(7ri,-ho)''«(y';,H-o')

car on a une conclusion analogue pour les substitutions du type (B); les 2 de la formule précédente portant sur toutes les substitutions sauf la substitution unité. Si m est assez grand, l'expression précédente différera peu de R(^, Y]) et ne sera donc pas identiquement nulle.

S'il y a N substitutions changeant le point (^^ =0, y]| = o) en lui-même, la même conclusion s'impose. On peut, en effet, dans la série, mettre à part les termes correspondant à ces substitutions. On obtient

^' •im

On a

dd' 1 = 1, \od' \=^\,

et, pour i, = o, r^^ = o, ces termes deviennent

^^'^''''''>[l,x£y^- ^^Tô^yr]

quantité qui pourra toujours être considérée comme non identiquement nulle, puisque R(o, o) et m sont arbitraires.

52. On peut également démontrer que, m étant suffisamment grand, on peut toujours trouver deux fonctions 0, et ©3 dont le rapport ne soit pas constant.

A cet effet, formons l'expression

e,(?„Yîi)e;(£;,-rî;)-e,(c:;,r];)e;(?„Yî,),

(E,, Y],), (i^, T]',) étant deux points arbitraires.

En supposant, comme tout à l'heure, que le point (^, = 0, r;, = o) ne soit altéré que par la substitution unité, on voit que ($,, r],), (^', , Y]',) étant dans le domaine construit autour de (Ç,^o, y], = o), on a, pour l'expression ci-dessus, une valeur peu différente de

Ri(J„-rîi)R;(ri,Vi)-R,(ri,r,;)R;(H„riO,

si m est assez grand. Si donc, R, et R'^ sont arbitraires, cette valeur n'est pas identiquement nulle.

On arrive à la même conclusion, si l'on suppose qu'il y ait N substitutions conservant le point (Ç^ = o, y), = o).

Knfin, en examinant de la même manière le déterminant fonctionnel de deux fonctions

on établit que toutes les fonctions F ne sont pas fonctions de l'une d'entre elles, si les fonctions rationnelles R sont arbitraires.

Kn résumé, nous voyons donc qu'il existe sûrement des fonctions

invariables par toutes les substitutions du groupe. 11 suffit que 0, et 0', correspondent à la même valeur du nombre entier m.

53. Exprimons la fonction 0, au moyen des anciennes variables \ et f\. Posons

1 Fy(Yl,)-/-*^^'''^'

S\ n. BOLRGET.

la substitution [^o ^i>//(^i)» ^y(^i)] ^tant une substitution quelconque du groupe et du type A.

On a

!>(//. Fy) ^ D(/y,Fy ) U(oj,<bj) l )(^,n) D(|„Y,,) D(9y,<I>,) D(f,Y,) I)(J„r),)' mais

n(^„ïi,)~(J.-OMv),-«y~V ^^A 2;'

et Ton aura des résultats analogues pour les substitutions du type B. Il en résulte que l'on aura

où l'on a posé

' ri>(?y>«fy)1

iy'v*,+ Ly"'L 'Xç.^-) J

0(^, Yj) est manifestement une fonction de la même nature que ©< (^4, 7),) c'est-à-dire qui se reproduit, multipliée par ^Jt* — ^ > quand on y remplace ^ et Y) respectivement par Ç/ et $/.

Comme on a, de plus,

-l-'^Mm^A

On voit que 0(^, Y)) tend vers o quand ^ et r] croissent sans limite, car la série est convergente, et chaque terme tend vers zéro.

54. Ainsi que nous Tavons vu, il y a trois substitutions du groupe laissant invariable le point à l'infini A du domaine fondamental. Ce sont les

substitutions

(J,Tn;^-+-i, TO — i),

(Ê,-n;?-v/î>,n-v/ï)X ily-n; hol, h-n).

Il en résulte que l'on doit avoir

Prenant comme variables Ç -h yj = w, ^ — yj = p, les trois substitutions relatives au sommet A deviennent

(//, i^; rt'w — c\J\) c, — cv^« + «<')»

et les trois é(juations fonctionnelles correspondantes sont

0(w, r) =r B(<^jf// — c\\)Vy — cy^w 4- ar).

Rappelons de plus qu'au sommet A on a

Ç,, f\\ comprises entre des limites finies, lim^j=:c», limr]j=cx>

et

-- = Ç comprise entre deux limites finies, comprenant entre elles l'unité.

11 en résulte que Ton a

w, et i\ comprises entre des limites finies, limwj^: limYî2(C H- i) = 2c, limrj = limyij(C — i) = œ.

Le signe de u.^ est toujours le même, mais celui de v.^ peut varier.

Il importe donc de considérer autour du point A trois régions

i'' région Ç — i > o,

â étant une quantité positive déterminée, aussi petite que l'on veut.

Si un point variable s'approche du point A, en restant dans la première région, ç^ fii^ît toujours par demeurer positive; en restant dans la seconde région, ^2 est toujours négative si l'on est assez voisin de A ; et, si le point variable est dans la troisième région, i\, est soit positive soit négative.

Posons

f.'TZi'— y

Dans le voisinage du point A et dans la première région, comme la partie réelle de i-îzi? est — "^^^(C — ï)?^ tend dans ces conditions vers zéro et l'on en conclut que la fonction holomorphe est développable en série convergente suivant les puissances positives de j)^, c'est-à-dire de 6'"^*'= f?'^^~^'^ On a donc

Qn(f^) étant une fonction holomorphe en w, qui satisfait, d'après la seconde équation fonctionnelle, à la condition

et comme, au voisinage du point A, le coefficient de Uo a toujours le même signe -h I, on en conclut, comme plus haut,