PREMIÈRE PARTIE

GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES ALGÉBRIQUES ET ARITHMÉTIQUES DES SUBSTITUTIONS SEMBLABLES D'UNE FORME.

Généralités sur le groupe algébrique des transformations semblables

d^une forme quaternaire,

1. Nous allons considérer, dans ce qui va suivre, une forme quadratique quaternaire à coefficients réels et le groupe des substitutions linéaires à coefficients réels et entiers qui n'altèrent pas la forme quadratique et de déterminant ± i. Nous nommerons droite ou gauche une substitution, selon que son déterminant sera -h i ou — i .

Soit F la forme donnée et O une forme ne contenant que les carrés des variables et dont on puisse déduire F par la substitution linéaire T. Si S désigne une transformation n'altérant pas $, la transformée de S par T, T~* ST n'altérera pas F et, réciproquement, à toute transformation n'altérant pas F on peut faire correspondre une transformation qui n'altère pas $. Nous pourrons donc raisonner sur la forme $ (*). Ajoutons encore que, selon l'usage, nous appellerons substitution semblable de la forme toute substitution à coefficients réels et de déterminant ±: i qui n'altère pas cette forme et substitution semblable arithmétique une substitution semblable dont les coefficients sont entiers.