Considérons maintenant la forme

Oi^ wj-h wj-t- Wj-h ui,

que nous écrivons comme somme de carrés, ce qui est toujours possible au point de vue algébrique, et envisageons les substitutions linéaires telles que l'on ait

mJ.H- ul H- u\ -h u\ — const.

(* ) Il ne faut pas oublier que F peut dériver de 4» d'une infinité de manières. Il est clair que les groupes qu'on étudiera en supposant * dérivée de F, d'une manière ou d'une autre, ne seront pas identiques. Foi/-, à ce sujet, Poingahë, Les Fonctions fuchsiennes et V Arithmétique {Journal de Liouville, 1887).

On peut toujours supposer que cette constante est égale a i, en divisant, si cela n'a pas lieu, les variables par un même nombre.

Cela étant, si nous considérons «i, Wo, Wj, u^ comme les coordonnées cartésiennes d'un point dans un espace linéaire à quatre dimensions, nous voyons que la recherche des substitutions semblables de la forme $ revient à celle des substitutions linéaires orthogonales de l'espace à quatre dimensions.

Faisons la perspective de la sphère

dans l'espace linéaire à trois dimensions u^ = o, le point de vue étant le point (o, o, o, i). Nous définissons ainsi une transformation du second ordre et si (a;, y, z) sont les coordonnées du point de l'espace à t^ois dimensions qui correspond au point ( W|, w^, ^3, a^) de la sphère, on a

I — wv

I— Wv

On reconnaît dans (i') les formules qui donnent les coordonnées penlasphériques du point x, y, s par rapport aux cinq sphères ou plans,

X, y, Zy x^-r-y--h z- — ly i(x^ -{- y^-\- z^-h i) =:Oy

la dernière coordonnée restant constante.

On peut donc dire qu'à toute substitution orthogonale de l'espace à quatre dimensions correspond une substitution linéaire effectuée sur les coordonnées pentasphériques d'un point qui conserve en outre la sphère

et inversement.

Remarquons que cette transformation effectuée sur les coordonnées

pentasphériques conserve les angles et transforme toute figure infiniment petite en une figure infiniment petite semblable. M. Goursat a nommé isogonale une telle transformation. Remarquons également que les points de la sphère

u\ -h ll\ -4- u\ -h wj zz: O

se correspondent un à un et subissent une transformation linéaire, tandis que les autres points de l'espace à quatre dimensions subissent une transformation du second ordre. Le résultat qui précède, fort précieux, puisqu'il nous permet de nous passer de l'espace à quatre dimensions, est bien connu. Il a été utilisé par M. Poincaré dans sa théorie des groupes fuchsiens' et kleinéens et par ceux qui se sont occupés des mêmes questions et a été énoncé explicitement par M. Klein, par M. Goursat et par M. Kœnigs (^).

3. Ce que nous venons de dire est vrai, quels que soient les signes des carrés de la forme $, à condition d'introduire les dénominations de la Géométrie non euclidienne; mais, comme les résultats diffèrent notablement suivant le type auquel appartient $, il est nécessaire, pour la suite, de distinguer divers cas.

1^ Si O est du type u\-\- u\-\- u\-\- u\^ les transformations isogonales conservent une sphère imaginaire x^-^-y^ '\- z^-^i^=o et les groupes formés de transformations semblables sont les groupes étudiés par M. Goursat dans le Mémoire cité plus haut. M. Goursat s'est toutefois borné à l'étude des groupes finis.

2"* Si O est du type u\ -^ u\-^ u\ — u\^ la quadrique conservée par les substitutions isogonales est une sphère réelle et comme on peut, en appliquant une transformation isogonale convenable, transformer cette sphère en un plan réel, on aperçoit l'identité des groupes rencontrés, avec les groupes kleinéens. M. Bianchi en a d'ailleurs étudié des cas particuliers en se plaçant à ce point de vue (*).

3® Enfin, si $ est du type u\ -^ ul— u\ — u\^ la quadrique conservée est

(*) Klein, Programme d'Erlangen et M, A.; t. V. — Poincaré, Notice sur ses travaux scientifiques et Act, Mat.; t. III. — Goursat, Sur les substitutions orthogonales (A. E, N., y série, t. VI; 1889). — Kgemgs, Bibliographie de l'espace réglé {A, F. T., t. Vil ; 1893).

Indiquons, une fois pour toutes, que nous n'avons pas l'intention de mentionner dans leur ordre tous les Mémoires se rapportant à la question que nous étudions, mais seulement ceux qui nous ont été le plus utile pour notre travail.

(*) Bianchi, Math, Ann., t. XL, XLIl, XLIII; Annali cii Mathem., t. XXI, XXIII.

un hyperboloïde réel, qu'on peut également transformer en un plan réel par une substitution isogonale convenable et l'on voit s'introduire des groupes analogues, à ce point de vue, aux groupes kleinéens et que M. Picard ( ^ ) a étudiés sous le nom de groupes hyperabéliens. C'est d'un groupe particulier de cette espèce que nous allons nous occuper (*).

4. Utilisant la remarque faite au n** 2 que u\-\-u\ — u\ — u\=^o se transforme linéairement en elle-même pendant que les points de l'espace à quatre dimensions subissent une transformation du second ordre, nous pouvons, avec M. Goursat, envisager autrement nos substitutions.

Posons

Les transformations semblables feront revenir sur elle-même la quadrique

M. Goursat (') a démontré qu'en posant

V ^1 t'i ^ Tî r= - = — ,

toute transformation semblable correspondait à une transformation de l'une ou l'autre forme

\- c; -h a pri -{- q

an -^ b ii-\- m

/ V i€ ij -r- t/^ t,ç^ -[- 111^ \

Nous pouvons nous convaincre de ce fait en remarquant que les coUinéations qui n'altèrent pas une quadrique

lf\-h «j— lil — ul=zO

sont de deux espèces :

(*) Picard, Comptes rendus, 17 mars 1884 ; Journal de Liouçille, 4' série, t. I; i885.

(*) On voit qu'on passe d'un de ces groupes à l'autre, par des substitutions imaginaires simples. Il semble donc qu'on puisse étudier, d'un môme coup, tous ces groupes en partant des substitutions semblables à coeffîcients complexes.

(3) Goursat, Bull. Soc. Math., t. XI; 883.

I® Des coUinéations droites qui transforment chaque génératrice rectiligne d'un système en une autre génératrice appartenant au même système et qui, par suite, laissent immobiles, sur la quadrique, quatre points, réels ou imaginaires, distincts ou non;

1^ Des coUinéations gauches, qui permutent les deux systèmes de génératrices rectilignes.

On voit également sans peine que l'ensemble de ces coUinéations forme un groupe dans lequel les coUinéations droites constituent un sous-groupe invariant d'indice 2.

Parmi les coUinéations gauches, remarquons les homologies harmoniques qui sont de période 2 et qui laissent invariables sur la quadrique tous les points de l'intersection de cette quadrique avec le plan d'homologie.

5. Dans l'espace à quatre dimensions introduit plus haut, l'équation

mJ H- «î — u\ — wj =: o

représente l'intersection de la quadrique

par l'espace linéaire à trois dimensions qui contient les points à l'infini de l'espace à quatre dimensions. Nous pouvons donc imaginer que cette intersection soit la quadrique servant de définition aux longueurs et aux angles de cet espace.

La quadrique se présente alors comme une sphère non euclidienne de rayon i.

Les substitutions semblables sont des rotations autour de l'origine ou des rotations suivies de symétrie selon qu'elles sont droites ou gauches et enfin les homologies harmoniques sont de simples symétries.

Il n'est peut-être pas sans intérêt de remarquer que nous utilisons ici une géométrie non euclidienne à quadrique fondamentale réelle et, par suite, appartenant à une classe laissée de côté par M. Klein, signalée par M. Poincaré. On ne doit pas oublier que, dans ce cas, les rotations ont une limite.

6. Dans la suite, nous aurons plus particulièrement à nous occuper de la forme

SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES lïYPERABELlENS. 9

D étant un nombre entier positif. Cette forme est bien réductible au type considéré et l'on voit sans peine que le résultat du n® 4 devient le suivant : A toute coUinéation faisant revenir sur elle-même

correspond sur les paramètres Ç, rj, définis par les formules

I f) — l!! — JL

^t ifj [^ __ JfL

une transformation de la forme (A) ou de la forme à déterminants -+- 1 .

Réciproquement, si nous nous donnons une substitution de la forme (A) et si nous cherchons la substitution linéaire correspondante, nous trouvons

Uj = p, «1 4- Pi w, -h Pj 1/3 -+- pi «*, ^8=71"! H- yjWî-^ yjWj4-y,M3,

U4 = ô, Mj -H ôj Mj 4- Ô, «3 -H ^4 W4,

avec les valeurs suivantes des coefficients

a,=z:X(a^ 4-c?/— 6^ — cm), p, ==— X : v/J)(a7 -h cm — bp — dl),

a,= Xv/D(c/n -\- dl — ag — bp)^ ^^z='k{aq -\- cm -\-bp 'hdi)^

a^z='k(bq —dm)y p,^— X : v'^D (6^ -^ dm),

0L,,Tzz\(ap — cl), P4= — X : \Jï){ap-\- cl),

yi:=2'k{cq — dp), 3,= 2'k(am — 6/),

y, = — ilsj^^cq -h dp), 0, = — 2Xv/D(a/n 4- 6/),

y, ^ 2 X rf^, Ô3 =: 2 X 6/n,

y^^ni'kcp, (54=2Xa/,

OÙ X a la valeur

^=.ad— bc, ^i=z Iq — mp.

On voit donc qu'à toute substitution de la forme (A) correspondent deux B. 2

10 11. BOCRGET.

substitutions linéaires sur les Ui et que ces substitutions se déduisent l'une de l'autre en changeant w, en — «/, ce qui était évident a /?r/or«, car $ et yj ne changent point si Ton change «/ en — M/. De plus, ces deux substitutions ont toutes les deux leurs déterminants égaux à -h i . Comme une substitution (B) est le produit d'une substitution (A) par la substitution

laquelle équivaut à la suivante

on en conclut qu'à toute substitution (B) correspondent aussi deux substitutions linéaires gauches ne différant que par le signe de X.

Substitutions semblables arithmétiques d^ une forme

à coefficients entiers.

7. Dans tout ce que nous venons de dire, nous n'avons pas utilisé l'hypothèse que la forme quadratique et les substitutions linéaires ont leurs coefficients entiers. En réalité, les considérations précédentes s'appliquent au groupe algébrique des substitutions qui reproduisent la forme.

L'étude arithmétique de ces substitutions exige de nouveaux principes. Ils ont été posés par M. Hermite dans ses belles études sur l'introduction des variables continues dans la théorie des nombres (*). Cette étude repose tout entière sur l'algorithme particulier que M. Hermite a nommé réduction continuelle des formes indéfinies.

M. Picard (*) a montré le grand parti qu'on pouvait tirer de cet algorithme pour la théorie des fonctions en faisant voir qu'il conduisait de la façon la plus naturelle et la plus régulière au domaine fondamental des groupes discontinus que l'on a à envisager. M. Picard a appliqué cette méthode successivement aux formes quadratiques binaires à indéterminées conjuguées, aux formes quadratiques ternaires à indéterminées conjuguées, et enfin aux formes quadratiques quaternaires du type qui nous occupe.

(*) Hermite, Lettres à Jacobi sur la théorie des nombres (^Journal de Crelle, t. 40); Mémoire sur la théorie des formes quadratiques {Journal de Crelle, t. 47).

(*) Picard, Sur une classe de groupes discontinus de substitutions linéaires {Annales de Mathématiques, t. I); Sur les formes quadratiques binaires à indéterminations conjuguées {Annales de V École Normale, i884); Sur les formes quadratiques ternaires à indéterminations conjuguées {Annales de Mathématiques, t. V); Sur les formes quadratiques quaternaires indéfinies {Journal de Liouville, i885).

SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE DE GROUPES HYPERABÉLIENS. Il

8. Dans cette dernière application, M. Picard a écarté dès le début le cas particulier où la forme peut représenter rationnellement o. Ce cas se présente précisément dans la forme signalée plus haut

comme il est facile de s'en convaincre par l'exemple suivant

I — 3.(3)*H~ 2. i3 =ro. .

Il est donc nécessaire, pour pouvoir utiliser la théorie de la réduction continuelle, d'examiner ce cas particulier. C'est ce que nous avons essayé de faire en suivant d'ailleurs la marche adoptée par M. Picard dans le cas particulier analogue des formes ternaires à indéterminées conjuguées. On doit cependant remarquer que les calculs sont plus pénibles dans le cas des formes quaternaires et il nous a été impossible d'aller aussi loin dans les détails.