X PREFACE

à conique double, et la surface générale du troisième ordre. J"ai dû joindre à leur étude, pour la rendre à la fois plus nette et plus complète, celle des courbes qui jouent le même rôle qu'elles clans la géométrie à deux dimensions. Ces courbes, que j'appelle cxjcUques, sont soit les courbes planes du quatrième ordre ayant pour points doubles les deux points à l'infini sur le cercle, soit les courbes sphériques qui résultent de l'intersection de la sphère avec une surface du second degré. Quelques propriétés relatives aux imaginaires se présentaient naturellement dans l'étude que j'avais entreprise; il m'a paru cju'il y aurait avantage à les développer avec la généralité qu'elles comportent. Ces explications justifieront, je l'espère, la composition et le plan de mon travail.

La première Partie est consacrée à l'étude de la transformation par rayons vecteurs réciproques, des foyers et des locales. Depuis 1869, bien des recherches importantes ont été ou mieux connues ou publiées sur les cUfférentes méthodes de transformation. J'ai cru devoir conserver néanmoins les développements que j'avais présentés sur ce sujet, parce qu'ils sont élémentaires, et aussi parce qu'ils se rapportent à la plus intéressante de toutes les transformations considérées jusqu'à présent. J'ai ajouté à cette Partie, au moment de l'impression, l'indication d'un moyen nouveau et très simple de former l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée. Les théories relatives aux imaginaires expliquent nettement, ce qui n'avait pas été fait jusqu'ici, les solutions singulières de l'équation aux dérivées partielles à laquelle on est conduit.

La deuxième Partie contient une étude détaillée des cyclides planes et sphériques. J'y examine les propriétés générales, la classification des différentes espèces de cycliques, et les propriétés métriques focales, qui sont la

PRÉFACE, Xr

généralisation des propositions connues de la théorie des coniques.

Parmi les cycliques, quelques-unes ont la plus grande analogie avec l'ellipse de Cassini; leur théorie est liée par les rapports les plus étroits aux beaux théorèmes de Poncelet sur les polygones inscrits et circonscrits aux coniques, et, d'autre part, avec quelques propositions générales relatives aux imaginaires en géométrie. La troisième Partie est donc consacrée à une étude des imaginaires ; mais, après avoir démontré les propositions indispensables, je reviens promptement à l'objet spécial de mon travail, pour étendre à toute une classe de courbes planes et sphériques deux des propriétés fondamentales du cercle. On me permettra de signaler aussi un moyen nouveau de démontrer les propriétés métriques focales des coniques, en les déduisant directement de l'une des propositions générales que M. Chasles a prises pour bases de la théorie de ces courbes, dans son beau Traité des Sections coniques. Les Notes contiennent des développements nombreux et étendus se rapportant à cette Partie. Elle a d'ailleurs été modifiée en un point pendant l'impression. J'ai beaucoup simplifié la démonstration que j'avais donnée d'abord des théorèmes de Poncelet.

Les deux dernières Parties sont consacrées à l'étude analytique et géométrique des surfaces cychdes, abrégée et rendue plus facile par les développements qui précèdent. Ce qui concerne la génération des cyclides, leur classification et la cyclide à quatre points doubles, qui a été depuis 1869 le sujet des recherches de quelques géomètres, n'a reçu aucune addition dans le texte. J'ai un peu changé la forme de la dernière Partie, consacrée à l'étude géométrique des cyclides et du système triple orthogonal qu'on peut former avec ces surfaces, en ajoutant quelques développements relatifs à une des plus belles conceptions de M. Cayley. Ce