REMARQUES ET RECTIFICATIONS

Dans l'article 12 du texte se trouve indiquée une classification des différentes formes que peut aiïecter la courbe d'intersection de deux quadriques. Les résultats que je donne sur cette question ne sont pas nouveaux comme je le pensais, et se trouvent dans le Mémoire de géométrie pure sur les surfaces du troisième ordre de M. Cremona.

Le théorème donné à l'article 19, et d'après lequel les quatre points d'intersection d'une cyclique et d'un cercle peuvent être pris pour foyers d'une nouvelle cyclique passant par quatre foyers de la première, a déjà été donné par MM. Clifford et Crofton. Voir le Mémoire de M. Crofton, On various Properties, etc., dans la liste qui suit. Nous étendons, du reste, ce théorème à la fois pour les courbes et pour les surfaces dans la Note XVI. Ajoutons qu'il est implicitement compris dans celui que nous avons donné (avril et août 1864) relativement aux propriétés métriques des focales des cycliques.

La propriété des coniques sphériques, énoncée et démontrée à l'article 21, se trouve indiquée d'une manière incidente et sans démonstration dans un Mémoire de M. W. Roberts (Journal de Liouville, t. X, page 313 : Mémoire sur quelques propriétés géométriques, relatives aux intégrales elliptiques]. ^

Des deux constructions données pour la tangente aux cycliques (art. 24 et 31), la première a été indiquée, au moins pour les cycliques planes, par M. Clifford (voir le Mémoire de M. Crofton cité plus haut). Quant à la seconde, que j'avais donnée depuis longtemps pour les ovales de Descartes [Annales de VÉcole Normale, 1867), elle me paraît nouvelle. Je saisis cette occasion pour en indiquer un énoncé plus précis.

Étant donnés quatre points A , B , C , D , sur un cercle, les tangentes aux deux cyclides passant en M et ayant A , B , C , D pour foyers se déterminent de la manière suivante :

Construisons l'une des deux bissectrices de l'angle des droites

336 SUrt UKE CLASSE REMARQUABLE

AB , CD , et appelons « , p , y , 3 , V les angles que font avec cette droite les lignes MA , MB , MO , MD et la tangente en M. On aura

11 est à renaarquer que, si deux des foyers A et B deviennent imaginaires, on peut les remplacer sans inconvénient dans la construction par les foyers réels A', B', qui leur sont associés.

Dans les Comptes Rendus du 25 juin 1872, M. Ribaucour a donné un théorème intéressant sur les cyclides :

Les plans normaux à une cyclide en tous les points d'une ligne de courbure sont tangents à une quadrique homofocale aux déférentes de la cyclide.

Ce théorème de M. Ribaucour est un cas particulier de celui que nous avons donné (Note XVI, Théorème III].

En supposant, dans notre théorème, que la cyclide inscrite se réduise à une quadrique, l'une des séries de sphères doublement tangentes se réduira aux plans tangent?, et l'on obtient ainsi la proposition suivante ;

Soient deux cyclides orthogonales (a) , [f] , se coupant suivant une ligne de courbure. Les plans normaux à («) en tous les points de cette ligne de courbure enveloppent une quadrique homofocale à la déférente de (a) , et inscrite dans [f] suivant une courbe sphérique.

Cette proposition complète un peu l'élégant théorème de M. Ribaucour.