AB' . BC . CB' = BA' . CB' . BC
Telle est la relation qui unit les distances mutuelles de trois couples de points correspondants.
On trouvera dans un travail antérieur de l'auteur (*) les conséquences de cette formule qui conduit aux propriétés métriques focales des cyclides.
On a vu (art. 19) que quatre points situés sur un cercle quelconque d'une cyclique sont les foyers d'une nouvelle cyclide qui contient les foyers de la première (^). On peut étendre ces propriétés à l'espace, et démontrer les deux théorèmes suivants :
Théorème I, La courbe d'intersection d'une cychde et d'une sphère quelconque peut être prise pour la focale d'une nouvelle cyclide passant par une quelconque des focales de la première.
Plus généralement, si deux cyclides sont inscrites l'une à l'autre suivant une courbe sphérique, les focales de l'une d'elles sont sur une surface homofocale à l'autre^ et toute surface homofocale à la première est inscrite suivant une courbe sphérique à une cyclide homofocale à l'autre.
Théorème II. Si deux cyclides sont tangentes en quatre points et se coupent suivant deux courbes sphériques, toute cyclide homofocale à la première coupera suivant deux courbes sphériques distinctes une cyclide homofocale à la seconde. Les focales de chaque surface seront tangentes en quatre points à une des cyclides homofocales à l'autre.
Ce dernier théorème est une conséquence du premier.
(') Sur les théorèmes d'Ivonj relatifs aux surfaces homofocales, p. 44. — (Mém. de la Soc. des Se. phys. et nat., t. VIII, p. 240.)
(2) Plus généralement, toute cyclique ayant ces quatre points pour foyers touche en quatre points une des cyclides homofocales à la proposée.
Car soient (C) , (C) deux cyclides se coupant suivant des courbes sphériques {g),{gi). Soit (D) une cyclide auxiliaire, ayant (g) pour focale. D'après le théorème I, il y aura deux cyclides (C,) , (G'i) , homofocales l'une à (C) , l'autre à (C) , qui seront inscrites dans (D) . Ces deux cyclides, inscrites à une troisième, se couperont par conséquent suivant deux courbes sphériques.
Tout se réduit donc à la démonstration du théorème L
Soient
(1) G = 'SA,Xi' = 0 l'équation d'une cyclide (G), et
celle d'une sphère (S) . L'équation
représente une cyclide inscrite à la première en tous les points de la courbe (C , S) . Cherchons les focales de cette cyclide.
A cet effet, nous prendrons d'abord une sphère quelconque (S') ,
et nous chercherons la condition pour qu'elle soit doublement tangente à la icyclide inscrite (C) . En employant un artifice dont nous avons déjà fait plusieurs fois usage, nous pouvons, de l'équation (4), tirer a?M- i/^-k- -2* en fonction linéaire de .1' , y , z, et porter cette expression dans les X( . Alors ces coordonnées se changeront en des fonctions linéaires ai de x , y , z , et les deux équations
(6) SA.-«.-^— (v;w.-y,)' = 0
représenteront, la première la sphère sécante (S') , la seconde une quadrique passant par la courbe [ (C) , (S') ] . L'équation
(7) i; {i\i + a) r/r — ( s iih ^iY = 0
représentera donc toutes les qiiadriques passant par cette courbe, et, si roii veut que la sphère (S') soit doublement tangente à la cyclide (C), il faudra que, pour une valeur convenable de l , l'équation (7) représente un système de deux plans.
Or les a, sont liées par l'équation identique
qu'on obtient en remplaçant a?,- par a,- dans l'équation (4). Cherchons d'abord la condition pour que l'équation (7) représente un cône, c'est-à-dire une quadrique à point double.
Si la quadrique (7) a des points doubles, les coordonnées de ces points satisferont évidemment aux équations
qu'on obtient en exprimant que les premiers membres de (7) et de (8) ont leurs dérivées par rapport aux a,- proportionnelles. Posons, pour abréger,
(9) P==2Wi«.-; on aura
et par suite, en multipliant ces équations par -r r et les
ajoutant,
Si cette équation détermine le rapport -, les équations (9) détermineront les rapports des quantités a, , et par conséquent la quadrique pourra bien avoir un seul point double, mais non se réduire à un système de deux plans, qui doit avoir une ligne de points doubles. Il faut donc que l'on ait
En exprimant, de plus, que les quantités a^ satisfont à l'équation de la surface, on aura
Telles sont les équations auxquelles doivent satisfaire les coordonnées des sphères doublement tangentes. La première (il) fera connaître cinq valeurs de X. A ces cinq valeurs correspondront les cinq séries de sphères doublement tangentes. -
Si ces sphères se réduisent à des points, alors on doit remplacer w, par les coordonnées oci de ces points, et Ton obtient le résultat suivant :
L'équation (11) fait connaître cinq valeurs de À, et les suivantes
représentent, quand on y substitue les cinq valeurs de X, les cinq focales de la cycUde (C) .
Or la seconde des équations peut être écrite ainsi,
■ liXi'^O
ou
elle représente donc une cyclide homofocale à la proposée (C) . Ainsi les focales d'une cychde (C) inscrite à (C) sont sur des surfaces homofocales à (C) .
C'est la première partie du théorème qu'il s'agit de démontrer. Avant d'achever la démonstration, nous allons indiquer une proposition qui résulte des calculs précédents.
Les sphères doublement tangentes à (C) sont définies par les équations (11), (12), (13). On peut, au lieu de supposer qu'elles se réduisent à des points, les assujettir à d'autres conditions, chercher, par exemple, celles qui sont simplement tangentes à la proposée (G), et qui enveloppent par conséquent une surface alignes de courbure circulaires. Désignons par a?, les coordonnées du point de contact de l'une de ces sphères avec la cyclide (G) ; on aura
(16) yA,a?.-^ = 0, ^^,^ = 0,
et aussi
(17) ni = [ki + y.)oCi,
d'après la formule (7) de la Note XL
En substituant ces valeurs de w^ dans l'équation (13), celle-ci se réduit à
<"-»)* L-tâ;=«
Le premier facteur donne les sphères tangentes à la fois à (G) et a (G') aux points de contact de ces deux cyclides. Écartons ces sphères ; il restera
l + Ai
d'où résulte la proposition suivante :
Théorème IIL Étant données deux cyclides (G) ^ (G')^ inscrites l'une à l'autre suivant une courbe sphérique, les focales de (G') sont sur cinq cyclides (G,)^ homo focales à (G)j etj en outre ^ les sphères doublement tangentes à (G') d'une même série et simplement tangentes à (G) touchent cette dernière cyclide suivant une ligne de courbure située à l'intersection de (G) et de l'une des surfaces (G,).
Gette dernière surface (G.) est celle qui contient la focale de (G') associée aux sphères doublement tangentes considérées.
Achevons maintenant la démonstration du théorème L En changeant les notations dans les calculs qui précèdent, nous obtenons le résultat suivant :
332 SLR UiNE CLASSE HËMARQUABLE
Les cyclides ayant pour focale la courbe définie par les
équations
7 WiXi = 0 .
ont pour équation générale
Cette équation nous montre que la cyclide (C,) , représentée par réquation précédente et correspondante à la valeur À , est inscrite à la cyclide (G) , représentée par Tcquation
Si maintenant on donne à X la valeur 'k' , on aura une nouvelle cyclide (C,) , homofocale à (Ci) , inscrite dans une nouvelle cyclide (C)
ùBi + y "'
homofocale à (C) . Notre premier théorème est donc complètement démontré (^).
(') Si, dans l'équation (20), on fail
Wi = 5" ' B, = A. ,
on obtient
L R.-' (l + ki)' Lli^l \L R,-(i H- A.) J ■ire
Cette équation peut s'écrire
(X + A,)(A + A,) Elle représente donc des quadriques, et ces quadriques sont homofocales.
1)E COURBES ET DE SURFACES ALGÉBRIQUES. Slio
Le théorème I conduit à un grand nombre de conséquences. On peut signaler les suivantes.
Toutes les cyclides à deux points doubles (réciproques de cônes), inscrites à une cyclide générale (C), ont leurs cercles focaux sur des cyclides homofocales à la proposée (C) .
Si une cyclide à deux points doubles (P) a pour focales deux cercles d'une cyclide (C) , situés sur une même sphère, toutes les cyclides à deux points doubles, homofocales à (D) et ayant par conséquent les mêmes points doubles, seront inscrites aux cyclides homofocales à (C) (^).
Deux cercles d'une cyclide faisant partie du système le plus général de surfaces homofocales ne viennent se confondre que si la cyclide s'aplatit et vient se réduire à une des cinq sphères directrices. Donc
Toutes les cyclides à quatre points doubles inscrites à une cyclide générale ou passant par une cyclique ont leurs cercles
Or, si l'on compare aux équations (16) de la Note XI, on voit que, pour les cinq valeurs ). = A; , les surfaces représentées par l'équation précé len le deviennent les déférentes de la cyclide
Ces cinq déférentes sont donc homofocales.
On obtient leurs trois focales, qui sont les focales singulières de la cyclide, en donnant à ^ les trois valeurs qui satisfont à la condition
R.-*(>-f-A,) Alors la quadrique s'aplatit indéfiniment, et l'on trouve pour les équations
de la focale
On voit aussi que les surfaces homofocales aux déférentes sont inscrites dans les cyclides homofocales à la proposée. Ce fait sera expliqué et généralisé.
(*) Dans un travail antérieur déjà cité. Sur les théorèmes d'Ivory, etc., j'ai déjà donné ce théorème; mais par une inadvertance que je ne puis m'expliquer, j'ai écrit cyclide à quatre points doubles dans l'énoncé; au lieu de cyclide à deux points doubles.
focaux sur une des sphères contenant les focales. Ces cercles sont doublement tangents à la focale, et leurs points de contact sont des points doubles de la cyclide.
Voici des conséquences d'un autre ordre.
Les quadriques inscrites dans une cyclide ont leurs focales sur une cyclide homofocale à la proposée. Or les seules cyclides contenant des coniques sont les cyclides du troisième ordre. Donc
Les focales de toutes les quadriques inscrites dans une cyclide ou dans les cyclides homofocales engendrent les trois cyclides du troisième ordre homofocales aux proposées.
En particulier, les focales de toutes les quadriques passant par une cyclide sphérique (U) engendrent les trois cyclides du troisième degré ayant (U) pour focale.
On a ainsi, en transformant par l'homographie, un mode de génération des surfaces du troisième ordre, qu'on peut énoncer comme il suit :
Étant données deux quadriques (Q) ^ (R) et une conique (H) sur (Q) , les lignes doubles des développables circonscrites à (H) et aux différentes quadriques passant par l'intersection de (Q) et de (R) décrivent chacune une surface du troisième ordre contenant la conique (H) .
Si une quadrique contient la focale d'une cyclide, les quadriques homofocales seront inscrites aux cyclides homofocales. Plus généralement.
Soit (Q) une quadrique inscrite à ime cyclide (C); les quadriques homofocales à (Q) seront inscrites aux cyclides homofocales à (G).
Ces exemples suffisent à démontrer la portée des théorèmes qui précèdent.
