PREMIERE PARTIE

De la transformation par rayons vecteurs réciproques, des foyers et des focales.

De la transformation par rayons vecteurs réciproques dans le plan.

On sait que les formules de la transformation par rayons vecteurs réciproques, prises dans le cas le plus simple, sont les suivantes,

yr ^ -^^ y ^ V

où rc , ?/ , X , Y désignent les coordonnées ordinaires de deux points correspondants. On peut les écrire de la manière suivante,

(1) X+Yi=:-!^r X — Yi ^''

ce — yt x + yi

et, sous cette forme, on reconnaît immédiatement qu'à un point, pris dans l'une des figures, ne correspond qu'un point de l'autre.

La transformation précédente offre le cas le plus simple, et

auquel peuvent se ramener tous les autres, des transformations du second ordre. On définit ainsi les transformations dans lesquelles à un point répond un seul point, et à une droite une conique. Désignons par I et J les points à l'infini sur le cercle, et par 0 le pôle de transformation; à une droite correspond, en général, un cercle passant par le pôle, c'est-à-dire une conique passant par les trois points 0 , 1 , J. Mais il y a trois séries de droites auxquelles correspondent d'autres droites : 1° les droites passant par le pôle 0; 2° les droites passant par le point I, auxquelles correspondent des droites passant par le point J; 3° les droites passant par le point J, auxquelles correspondent des droites passant par le point I.

D'après cela, à un cercle de rayon nul, formé de deux droites passant, l'une par le point 1, l'autre par le point J, correspondra aussi un cercle de rayon nul. Toutes ces remarques sont, d'ailleurs, des conséquences immédiates des formules de transformation (1).

Désignons par n l'ordre d'une courbe à équation réelle, et qui passera le même nombre de fois par les points imaginaires conjugués I et J. Soient i le nombre des branches de courbe se croisant en un des points I ou J, o le degré de multiplicité du pôle (o sera nul, si la courbe ne passe pas au pôle). Désignons par n',o',i' les nombres, analogues pour la courbe transformée. Ces nombres vérifient les formules suivantes, qui s'appliquent à toutes les transformations du second ordre,

n' :=^n — "ii — 0 .

Ainsi, à une conique quelconque correspond une courbe du quatrième ordre ayant trois points doubles, le pôle et les deux points l et J; mais si la conique passe au pôle, la transformée est une courbe du troisième ordre ayant un point double au pôle, et passant une seule fois par les points I et J. Si elle est un cercle, la transformée est un cercle, ou une ligne droite, si ce cercle passe nu pôle.

Des foyers.

On sait qu'on nomme foyers d'une courbe plane les points pour lesquels deux des tangentes menées à la courbe ont -h i et — i pour coefficients angulaires, c'est-à-dire passent par les deux points I et J. En d'autres termes, si des points 1 et J on mène deux faisceaux de tangentes à la courbe, les points d'intersection des droites de ces deux faisceaux sont les foyers de la courbe. Si celle-ci est de la m'^""* classe, et qu'elle passe i fois par chacun des points I et J, on ne pourra lui mener de chacun de ces points que m — 2t tangentes. Il y aura donc en tout (m — 2ïy foyers; mais m — 2^ seulement de ces foyers seront réels ; car sur chacune des tangentes à la courbe menées d'un point I, il y a un foyer réel, et un seul, qui est à l'intersection de cette droite et de la droite imaginaire conjuguée.

Par exemple, les courbes du second degré ont quatre foyers, et deux seulement sont réels. Il est bien entendu d'ailleurs que, dans les formules précédentes, les points I et J sont des points multiples ordinaires pour la courbe considérée. Nous allons donner un exemple.

Considérons les courbes du 4® ordre qui admettent pour points doubles les deux points I et J. Ces courbes sont de la 8^ classe, et de chacun de ces points on pourra leur mener 4 tangentes, qui se couperont en 16 points. Ces courbes auront donc 16 foyers, dont 4 seulement sont réels. Ces 4 foyers réels détermineront d'ailleurs tous les autres.

Au contraire, les ovales de Descartes ont, d'après une remarque faite par M. Cayley, les deux points I et J pour points de rebroussement. De chacun de ces points, on ne pourra leur mener que trois tangentes. Ces courbes auront donc seulement 9 foyers, dont 3 seront réels.

Quand la courbe passe par les deux points I et J, les tan-

gentes à la courbe menées en ces deux points forment deux faisceaux de i droites, qui sont des asymptotes de la courbe. M. Laguerre a proposé d'appeler foyers singuliers les points d'intersection des droites de ces deux faisceaux. Il y a donc ?■' foyers singuliers; i seulement sont réels et peuvent être considérés comme des cercles de rayon nul, à centre réel, doublement tangents à la courbe aux deux points I et J.

Le cercle, par exemple, a un foyer singulier à son centre; les courbes du quatrième ordre, ayant pour points doubles les deux points I et J, ont deux foyers singuliers réels, etc.

Les foyers ordinaires jouissent d'une propriété très importante. Si on transforme une courbe par rayons vecteurs réciproques, les transformées des foyers sont les foyers de la courbe transformée. Cela est évident, si l'on considère les foyers comme des cercles de rayon nul. Cependant, si l'on place le pôle en un des foyers, ce foyer disparaît, et est remplacé par un rebroussement (deux branches tangentes en I et J).

La proposition précédente ne s'applique d'ailleurs qu'aux foyers ordinaires; les foyers singuliers d'une courbe ne deviennent pas les foyers singuliers de la transformée.

De la transformation par rayons vecteurs réciproques dans l'espace.

Voici comment on peut définir géométriquement cette transformation, qui est comprise comme cas particulier dans Vinvolution quadrique de M. Hirst.

Considérons une surface du second degré, et le cône du second degré circonscrit à cette surface suivant une conique (C) et ayant son sommet en 0 . Menons, par le point 0 , une droite quelconque qui coupe la surface aux deux points M , M', et prenons sur cette droite deux points A , A', divisant barmoniquement le segment MM'. Nous aurons une transfor-

DE COUKBIiS ET DE SUUl'ACES ALGÉBUIOUES. 5

niation dans laquelle à un point a correspondra un seul point a' , et réciproquement. D'ailleurs, cette transformation sera, d'après une heureuse expression de M. Transon, une transformation involntive, c'est-à-dire qu'au point a considéré, soit dans la première, soit dans la seconde figure, correspondra toujours le même point a' .

Si l'on suppose maintenant que la surface du second degré

soit une sphère, que 0 soit le centre de cette sphère, on obtiendra la transformation par rayons vecteurs réciproques. En effet, si par le centre d'une sphère on mène un diamètre MM', deux points a , a', conjugués par rapport au segment MM', sont tels que

Oa . Oa' ==R%

R étant le rayon de la sphère. On peut donc supposer que la surface du second degré considérée plus haut devienne une sphère, que 0 soit le centre; alors la courbe de contact (G) du cône de sommet 0 circonscrit à la sphère sera le cercle imaginaire à l'infini, et l'on aura la transformation par rayons vecteurs réciproques.

Étudions d'abord la correspondance entre les points :

1*^ Au pôle 0 correspondent tous les points du plan de contact, c'est-à-dire du plan de l'infini.

2° Les seuls points qui se correspondent à eux-mêmes sont situés sur la surface du second degré, c'est-à-dire sur la sphère.

3° A tout point a situé sur le cône circonscrit (c'est-à-dire sphère de rayon nul ayant son centre au pôle) correspond un point a' situé sur le cercle de l'infini (G).

Mais au point a' correspondent tous les points de la droite Oft'. Car les points d'intersection de la surface et de la droite Oa' sont confondus en a', et par conséquent le conjugué harmonique de a' est indéterminé sur la droite Oa' .

On voit donc qu'il existe des points pour lesquels le point homologue est indéterminé : le pôle, auquel correspondent tous les points d'un plan, le plan de l'infini; et les points du cercle de l'infini (C), auxquels peuvent correspondre tous les points d'une droite, celle qui les joint au pôle.

Nous allons étudier maintenant les transformées de quelques figures simples, et nous commencerons par la ligne droite.

Considérons d'abord une droite mnjjq , rencontrant la sphère fondamentale en m , n , et son cône asymptote en p , q . k cette droite correspondra une courbe plane, une conique située dans le plan de la droite et du pôle. Les points m et n se correspondent à eux-mêmes. Les points p, q ont leurs homologues p' ,q' sur le cercle de l'infini. Enfin, le point à l'infini sur la droite a pour homologue le pôle 0 . On voit donc qu'à la droite correspond la conique passant par les cinq points 0 ,m ,n,p' ,q' . Cette conique est un cercle, puisqu'elle coupe aux deux points p', 7' le cercle de l'infini. Examinons dans quels cas elle se décompose.

4° Si la droite proposée passe par le pôle, elle se correspond à elle-même.

2° Si la droite coupe le cercle de l'infini en un point a , à ce point correspondront tous ceux de la droite Oa. Le cercle correspondant à une droite se décomposera : 1° en la droite Oa; 2° en une autre droite qu'on détermine de la manière suivante : la première coupe la sphère fondamentale en un point m, qui se correspond à lui-même, et le cône asymptote en un point b qui a pour homologue le point b' situé à l'infini sur le cercle (C) et sur la droite 06. Ainsi à la droite mba correspond une droite mb' rencontrant aussi le cercle (C).

On voit donc qu'à uiio droite coupant le cercle de l'infini

DE COUHBES ET \)K SUUKACES ALiJÉBlUaUES. 7

correspond une autre droite coupant le cercle de l'infini en un autre point.

Tels sont, comme on s'en assurera aisément, les seuls cas dans lesquels à une droite corresponde une autre droite.

Les lignes que nous venons de trouver jouent d'ailleurs un rôle des plus importants dans la géométrie métrique; nous aurons à les employer fréquemment et à les considérer soit comme les génératrices rectilignes imaginaires des sphères,, soit comme jouissant de cette propriété que la distance de deux quelconques de leurs points situés à distance finie est nulle. Nous allons établir ces propositions.

Une sphère contenant toujours le cercle (C), on voit que toutes les génératrices rectilignes des sphères seront assujetties à rencontrer ce cercle. D'autre part, étant donnée une droite A rencontrant le cercle (C), il est clair qu'on pourra construire une infinité de sphères contenant cette droite, et dont les centres seront dans le plan tangent mené par la droite A au cercle (C).

En particulier, toute droite rencontrant le cercle (G) pourra être placée sur une sphère de rayon nul (cône ayant (C) pour base), ayant son centre en un quelconque de ses points, et par conséquent tous les points situés à distance finie sur cette droite seront à une distance nulle de l'un d'eux.

Après avoir examiné les droites, considérons une courbe quelconque, et supposons qu'elle rencontre le plan de l'infini en p points non situés sur le cercle (C), et en i points sur ce cercle. Son ordre n , c'est-à-dire le nombre de points dans lesquels elle est rencontrée par un plan sera donc p -\- i . Supposons, en outre, qu'elle coupe le cône asymptote de la sphère en r points, et que le nombre de ses branches passant au pôle soit égal à q . Désignons par des lettres accentuées les mêmes nombres pour la transformée. On aura

q'=p, P'=(j, i'=r, i = r', n'zzzn + q'—q, p + i = n, p'-hi'=in'.

INous écartons, bien entendu, les particularités.

8 SUH UNE CLASSE REMARUUABLE

Appliquons les principes précédents à la courbe d'intersection d'une sphère et d'une surface du second ordre. L'ordre de cette courbe est 4; elle coupe le plan de l'infini en quatre points situés sur le cercle (C), le cône circonscrit (OC) en quatre points. On a donc généralement

et, par suite,

La transformée sera donc une courbe sphérique analogue, et nous verrons que cette nouvelle courbe se trouve aussi sur une infinité de surfaces du second degré.

Si, au contraire, on prend pour pôle un point de la courbe, la transformée est une cubique plane, passant par les deux points à l'infini sur le cercle, ou cubique circulaire. Nous reviendrons d'ailleurs sur ces questions.

Les formules relatives aux surfaces se trouvent aussi sans difficulté. On pourra consulter un article de M. Moutard sur la transformation par rayons vecteurs réciproques. (Nouvelles Annales de Mathématiques, 1864.)

Des focales des courbes et des surfaces.

Nous avons vu que, dans la transformation par rayons vecteurs réciproques, les droites qui rencontrent le cercle de l'infini se transforment en des droites rencontrant le même cercle. Ainsi les surfaces réglées formées de ces droites se transforment en surfaces réglées.

On peut compléter ce résultat, et démontrer que les surfaces développables formées de ces droites se transforment en surfaces développables . Car de telles surfaces développables peuvent être considérées comme les enveloppes des sphères de rayon nul (ou cônes ayant (C) pour base), ayant leurs centres sur

l'arête de rebroussement de la développable. Or ces sphères de rayon nul se transforment en sphères de rayon nul : ce qui démontre la proposition.

Les développables remarquables que nous venons de considérer se présentent dans un grand nombre de questions. Nous les appellerons développables focales, et nous allons d'abord nous en servir pour donner la défmition des focales d'une surface.

On ne connaissait les foyers que dans les courbes du second degré, quand Pliicker^ donna de ces points une définition qui s'étend à toutes les courbes. On généralise de même, et sans difficulté, la notion de focale due à M. Chasles pour les surfaces du second degré, en donnant des focales la définition suivante, que nous avons proposée dans une Note insérée en 1864 aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences.

Circonscrivons à une surface quelconque et au cercle (C) une surface développable. Cette surface aura des lignes doubles qui suffiront à la déterminer, et qu'on appellera les focales de la surface. Par chaque tangente de la focale on peut mener deux plans tangents communs à la surface et au cercle de l'infini.

Nous appellerons foyer d'une surface tout point de la focale. Il est clair que le foyer peut aussi être défini le centre d'une sphère nulle doublement tangente à la surface.

Il est inutile d'indiquer que la défmition précédente concorde avec celles qui ont été adoptées pour les surfaces du second degré.

Propriétés des développables focales.

Étudions d'abord les propriétés principales des développables singulières qui nous ont permis de définir les focales. Leurs plans tangents sont circonscrits au cercle de l'infini que

nous appellerons aussi le cercle (C). Ce cercle (C) d'ailleurs intervient, comme on sait, dans la définition des angles et de la perpendicularité. Si un plan coupe le plan de l'infini suivant une droite A , toute perpendiculaire à ce plan vient rencontrer le plan de l'infini au pôle de A par rapport au cercle (C). 11 suit de là qu'un plan devient parallèle à sa perpendiculaire dès qu'il passe par une tangente au cercle (C).

On voit donc que les normales à nos surfaces développables focales coïncideront avec les génératrices rectilignes de ces surfaces.

D'ailleurs, l'arête de rebroussement de la surface étant telle que sa tangente va toujours rencontrer le cercle de l'infini, en tout point de cette courbe on aura

et, par conséquent, un arc quelconque de cette arête de rebroussement sera nul.

En partant de cette propriété de l'arête de rebroussement, on peut indiquer la forme caractéristique que prend sur les développables focales la formule qui donne la distance de deux points infiniment voisins. Car soient w ,y ,z les coordonnées, fonctions d'un paramètre u, d'un point de rebroussement, on aura

du) XduJ

duj

et d'ailleurs tout point de la développable focale est défini par les valeurs suivantes des coordonnées :

/c»x V ^ ^^ A7 - f^y r, ^dz

(2) X=X + l-—' Yr=y + A~' Z=Z + l-r->

du du du

d'où l'on déduit

ou

(3) //S^= \''f{u)du^ .

On voit que, si l'on change de variable, on a la forme plus générale

(4) dS'={ady.-\-bdp)\

Cette forme est d'ailleurs caractéristique des développables étudiées; car elle entraîne cette propriété, qu'en chaque point de la surface il y aura une seule direction pour laquelle c/S sera nul; en d'autres termes, le plan tangent sera constamment circonscrit au cercle de l'infini.

Toutes les lignes tracées sur la surface seront des lignes de courbure; car les normales à la surface en tous leurs points, engendrant la surface elle-même, formeront toujours une surface développable.

Il suit de là que, si l'on circonscrit à une surface quelconque une développable focale, la courbe de contact des deux surfaces sera une ligne de courbure commune aux deux surfaces; d'où le théorème suivant :

Sur toute surface, on peut déterminer en termes finis une ligne de courbure imaginaire, et cette ligne est la courbe de contact de la surface avec la développable focale circonscrite (^).

Il est facile de s'assurer que cette ligne de courbure est distincte de l'enveloppe des lignes de courbure (quand les lignes de courbure ont une enveloppe). Elle donne donc une solution particulière de l'équation différentielle des lignes de courbure.

Considérons, par exemple, la surface du second degré dont l'équation est

Exprimons que le plan tangent est parallèle aux plans asymptotes de la sphère ; nous trouvons

(*) Voir la communication aux Comptes rendus, 1864, et un travail de

l'auteur dans les A7inales de l'École Normale, même année.

Cette équation représente un cône, qui coupera la surface suivant une ligne imaginaire, laquelle sera ligne de courbure. En effet, prenons l'intersection de la surface précédente (5) avec une autre surface homofocale

a — ).' h — a' c — /' L'intersection des deux surfaces se trouve sur le cône

et lorsque /. se rapproche de /' , on a la ligne de courbure indiquée plus haut, qui est, comme on voit, l'intersection de la surface avec la surface homofocale infiniment voisine.

La considération du cercle de l'infini permet encore de trouver une classe importante de lignes géodésiques. Supposons que, sur une surface donnée, on sache intégrer l'équation

On obtiendra sur cette surface deux séries de lignes de longueur nulle. Je dis qu'on doit les considérer comme des lignes géodésiques, correspondantes au cas où la force vive est nulle. En effet, le plan osculateur de ces lignes est parallèle à deux tangentes infiniment voisines, c'est-à-dire à deux génétrices infiniment voisines du cône asymptote de la sphère. Donc, si l'on mène dans le plan tangent à une surface en M la droite § allant rencontrer le cercle de l'infini, le plan mené par cette droite tangentiellement au cercle de l'infini sera le plan osculateur de la ligne de longueur nulle passant en M et tangente à la droite S. Ce plan osculateur, étant normal à la droite §, sera donc normal au plan tangent. Les lignes dé longueur nulle considérées possèdent donc la propriété caractéristique des lignes géodésiques.

Le calcul conduit au même résultat. Soit, sur une surface,

l'expression de la distance de deux points infiniment voisins.

DE COUKBES ET DR SURFACES Al.ni^.BP.IQUES. 13

On a, pour trouver les lignes géodésiques, à intégrer l'équation /dBV /dey

Cette équation sMntègre, quel que soit ),, quand c est nul, et elle conduit aux lignes

Revenons aux surfaces développables, et imaginons une courbe quelconque tracée sur ces surfaces. Cette courbe aura pour normales les génératrices de la surface. Donc

L'arête de rebroussement de la développable est une développée commune à toutes les courbes tracées sur cette surface.

Si l'on prend, en particulier, une section plane quelconque, il résulte de la proposition précédente que sa développée sera la projection, sur le plan de la section, de l'arête de rebroussement de la surface, et, par conséquent, les sections de la développable par des plans parallèles se projetteront sur Vun de ces plans suivant des courbes parallèles.

De même, si l'on coupe la développable par une sphère, la développée sphérique de la courbe de section sera la projection conique de l'arête de rebroussement, le centre de projection étant le centre de la sphère. Cela résulte de ce que la surface polaire (ou lieu des développées) d'une courbe sphérique est un cône.

Il résulte de là que les sections par des sphères concentriques se projettent coniqiiement siir une de ces sphères suivant des courbes sphériques parallèles (*).

Ces remarques vont nous permettre de donner quelques propriétés et en quelque sorte la représentation de la surface développable circonscrite à deux surfaces du second degré. Cette développable a pour ligne double une conique. Son arête

i'] Voir des cas particuliers de ces propositions énoncés par M. Moutard (Nouvelles AnnalesJ, par M. Laguerre (Bulletin de la Société PhilomathiqueJ , et par l'auteur dans le travail cité de 1864 (Annales de l'École Normale supérieurej.

14 Slip. l'NE Cr.ASSE IiEMAROl^^BLK

de rebroiissement se projette suivant la développée de cette conique, et, pour avoir un point de cette arête, il faudrait élever en chaque centre de courbure une perpendiculaire égale au rayon de courbure multiplié par ±K — 1 . La développée étant du 6^ ordre, l'arête de rebroussement est du 12*. Quant à l'équation de la surface, elle est en quelque sorte identique à celle des courbes parallèles à l'ellipse. Si R désigne la distance comptée sur chaque normale de l'une de ces courbes à l'ellipse, il faut remplacer R par zK — 1 .

L'arête de rebroussement de la développable focale circonscrite à une surface fait évidemment partie du lieu des centres de courbure de la surface. Il résulte de là que toutes les surfaces des centres de courbure d'une série de surfaces homofocales contiennent une même courbe, de longueur nulle, ligne géodésique singulière pour chacune d'elles.

Applications des propositions précédentes à des problèmes connus.

Avant de continuer cette étude, nous allons indiquer l'emploi qu'on peut faire des remarques précédentes soit pour expliquer quelques résultats obtenus par le calcul, soit pour simplifier la solution de certaines questions.

Proposons -nous d'abord le problème traité par Euler : Résoudre l'équation

dx^ + dif =- ds'' ,

c'est-à-dire trouver des expressions de x ,y , s en fonction d'un paramètre 6, débarrassées de tout signe d'intégration, et satisfaisant à l'équation précédente.

En changeant dans l'équation précédente s en zV — 1 , elle deviendra

dx'-hdy^ + dz''=0, et nous serons ainsi ramenés à la ([uestion suivante : Trouver.

DE r.OUP.BES ET DE SURFACES ALr.ÉBrtlQUES. U)

dans V espace les équations en termes finis des courbes de longueur nulle.

La solution de ce problèmo est une conséquence immédiate de ce qui précède.

On prendra un plan

(9) uœ -h ^y -^iyz + 5 = 0 ,

où les coefficients a , § , 7 , (J seront des fonctions d'un seul paramètre, satisfaisant à l'unique équation

L'arête de rebroussement de la développable, enveloppe de ce plan, sera la courbe cherchée.

On peut résoudre d'une infinité de manières l'équation (10), par exemple, en posant

y rrr 1 , « r= COS 6 , P == slu 6 ;

l'équation (9) deviendra, dans ce cas, en y remplaçant iz par s

(H) xco&Q -hys'mo -h s + f{6) = 0.

Il ne reste plus qu'à prendre les deux dérivées successives par rapport à 0,

— xsinQ-hycosô-\-f'(fi)=0,

— xcosQ — ys\nO-\-f'{e) = 0, qui donneront

(12) I x=f {Q)ûne + f (e) cos 9 ,

( y = — f{Q)coso + f' (ô)sine .

C'est la solution connue.

Mais on peut encore obtenir d'autres formes en résolvant d'une autre manière l'équation (10), par exemple, en posant

p étant le paramètre variable, etc.

La même méthode s'étend, par analogie, à l'équation plus compliquée

intégrée par M. J.-A. Serret {Journal de Liouville, t. XIII, p. 355). Si l'on considère la fonction

(13) ax + py -^-yZ ■\- ^S + z ,

où

et où a , ^ , y, (î , c sont des fonctions d'un seul paramètre, en joignant à l'équation (13) les trois premières dérivées, on aura ainsi quatre équations qui donneront a? , î/ , ^ , 5 en fonction d'un seul paramètre, et qui contiendront deux fonctions arbitraires d'une seule variable. Par exemple, on pourra prendre :

5=1, a r= ces 0 , |3 =: Sin 6 CCS p , y =r sln 6 SÎD y ,

et l'on trouvera des formules plus compliquées que celles d'Euler, ayant cependant avec elles une analogie indiquée par la similitude des méthodes. Mais il convient de réserver les développements que j'aurais à présenter sur ces questions et sur d'autres analogues pour un travail spécial.

Dans un autre Mémoire inséré au Journal de Liouville (t. XIII, p. 361), M. Serret a aussi été conduit à des surfaces réglées formées avec les droites rencontrant le cercle de l'infini, et dont la courbure est constante. Ce fait s'explique naturellement. La sphère est, comme on sait, une surface réglée à génératrices imaginaires. Les surfaces trouvées par M. Serret sont précisément toutes les surfaces réglées applicables sur la sphère.

Le problème est donc, à notre point de vue, une application particulière de cette question, qu'on sait maintenant résoudre généralement : trouver toutes les surfaces réglées, applicables sur une surface réglée donnée.

Enfin, considérons dans l'espace une courbe gauche quelconque (K), et menons par chaque tangente à la courbe les

plans tangents au corele (C). On formera ainsi deux développables, dont les deux arêtes de rebroussement seront des lignes de longueur nulle, développées de la courbe (K). Or un calcul des plus simples montre que la recherche des développées se ramène à une équation de Riccati, et comme on connaît deux solutions particulières de cette équation, d'après ce qui précède, nous voyons que le problème sera ramené aux quadratures (^). Nous emprunterons un dernier exemple à la théorie des surfaces applicables. On sait que le problème principal de cette théorie consiste dans la détermination de l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée. En d'autres termes, étant donnée l'équation différentielle

dx^ -h dif + dz- = Adu^-h2Bdndv -+- k'dv^ ,

on demande de déterminer l'une quelconque des coordonnées X, ij ^z Q\\ fonction de u et de v. La méthode suivante, pour former l'équation différentielle du problème, qui nous paraît plus précise et plus générale que les méthodes connues, explique en outre un fait singulier qui a été signalé par Bour. L'équation (14) peut s'écrire

doc"- -\- d\f = kdu- + '^^dudv + k'dv^ — dz^

ou

d!a?- + dif-

'-\~\du^ + ^U -~^\dudA

uj J \ au avj

Si donc on suppose z connu et exprimé en u et en y , l'expression contenue dans le second membre de l'équation précédente sera le ds"' d'une surface développable. Nous

(*) Cette reraarque m'a été communiquée par M. 0. Bonnet, à qui l'on doit une méthode simple pour la recliercho des développées. (Voir Bertrand, Calcul âifjérenliel, g 023.)

n'avons donc qu'à écrire l'équation connue qui exprime que la surface définie par la formule

[ \àu/ J \ ou av)

est développable, c'est-à-dire a sa courbure nulle, et nous formerons ainsi l'équation nécessaire et suffisante à laquelle doit satisfaire z . Cette équation sera du second ordre.

Bour a remarqué un fait qui, dans sa méthode, restait inexpliqué : c'est que cette équation différentielle du second ordre admet comme intégrale parliculière l'équation aux différentielles partielles du premier ordre à laquelle se ramène le problème des lignes géodésiques. La méthode suivie explique ce résultat; car, pour trouver les lignes géodésiques, on a à ramener l'expression

Adit''+2Bdudv + Cdv^

à la forme et, par suite,

du^-hEdf^'

kdu^ + '^Bdudv + (:dv^—(U^

devant être égal à Hc?^\ a devra satisfaire à la même équation différentielle que z , l'expression qui donne la mesure de la courbure devenant nulle quand l'élément ds"^ devient un carré parfait. Md^J^ serait même l'élément d'une développable focale de la nature de celles qui ont été considérées plus haut.

Des focales singulières des surfaces.

Quand une surface algébrique contient le cercle de l'infini, il est avantageux de joindre aux focales ordinaires les focales nommées singulières par M. Laguerre. Ces focales sont les

lignes doubles de la développable circonscrite à la surface suivant le cercle (C). La considération de ces focales permet d'énoncer avec précision les théorèmes suivants relatifs aux cônes circonscrits.

Soit un cône circonscrit à une surface. Pour avoir ses focales, il faut lui mener des plans tangents circonscrits au cercle (C). Les lignes d'intersection de ces plans seront les focales du cône. Ces plans sont évidemment les plans tangents aux deux développables focales, ordinaire et singulière, de la surface menés par le sommet du cône. On voit donc que les focales de tous les cônes circonscrits sont les droites d'intersection des 'plans tangents aux deux développables focales de la surface menés par le sommet du cône.

Les droites focales déduites de la focale singulière de la surface peuvent être appelées focales singulières du cône. On voit que le cône circonscrit est tangent en un certain nombre de points au cercle (C), et les plans tangents au cône en ces points sont ceux qui se coupent suivant les focales singulières.

Enfin, la définition des focales étant tangentielle (c'est-à-dire n'employant que les plans tangents), les focales d'une courbe quelconque se déterminent comme celles des surfaces : ce sont les lignes doubles de la développable circonscrite à la courbe et cm cercle (C). Cette développable aura pour lignes doubles la courbe proposée et d'autres courbes qui seront les focales de la première.

On voit que les différentes lignes doubles d'une développable focale sont les focales les unes des autres.

Des propriétés focales des systèmes ortîiogoîiaux.

Les développables focales jouent un rôle important dans la théorie des systèmes orthogonaux. J'ai indiqué, dans les travaux antérieurs déjà cités, quelques propriétés focales des systèmes orthogonaux que je me propose d'étendre et de préciser ici.

Soient d'abord deux systèmes orthogonaux représentés parune équation unique

f(œ,ij,,z, a) — 0 ,

du second degré en 1. L'enveloppe commune de ces deux systèmes est une surface évidemment imaginaire, mais qui est dans tous les cas une développable focale.

En effet, deux plans orthogonaux coupent le plan de l'infmi suivant deux droites conjuguées par rapport au cercle (C). Pour que ces deux plans coïncident, il faut donc que leur trace commune sur le plan de l'infini soit tangente au cercle (C). L'enveloppe, ayant tous ses plans tangents au cercle de l'infmi, sera donc une développable focale.

C'est ce qu'on peut vérifier pour les systèmes orthogonaux doubles, compris dans une seule équation. Un de ces systèmes, par exemple, peut être défini de la manière suivante. Considérons toutes les surfaces telles que la somme ou la différence des normales menées de leurs points à deux surfaces fixes (S) , (S') soit constante. Ces surfaces forment un système double orthogonal, et les normales en un point M de l'espace aux deux surfaces du système qui y passent sont les bissectrices de l'angle formé par les normales Mm, Mm' aux deux surfaces fixes (S) , (S') . Pour que ces deux bissectrices, qui sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux normales Mm, Mm' et au cercle (C), coïncident, il suffit que l'une des deux normales Mm , Mm' aille rencontrer le cercle de l'infini. Donc l'enveloppe des surfaces du système double contient les deux développables focales circonscrites aux deux surfaces fixes.

Un de ces systèmes, formé des surfaces dont l'équation est

I/o?' + Z' ±\/îf^-[-Z' = u,

a été découvert et étudié par M. J.-A. Serret. Les surfaces dont il se compose sont telles que la somme ou la différence des distances d'un de leurs points à deux droites fixes soit constante. Leur enveloppe se compose des deux systèmes de deux plans

passant par les deux droites fixes et tangents au cercle (C). Ces plans sont tangents à chacune des surfaces en tous les points d'une section conique.

Considérons maintenant trois systèmes orthogonaux et supposons que les deux premiers seulement soient représentés par une seule équation; alors, Tenveloppe du système unique, formé par les surfaces des deux premiers systèmes, sera une développable focale. Je dis que celle développable sera coupée suivant des droites par les surfaces du 3' système.

En effet, soit M un point de Fenveloppe développable. En ce point passent deux surfaces du système double, tangentes à la développable, et ayant pour normale la génératrice rectiligne de cette développable. Par suite, la troisième surface normale aux deux premières coupera leur enveloppe développable suivant une courbe tangente en chaque point à la génératrice rectihgne. Cette courbe ne peut donc se composer que d'un certain nombre de génératrices rectilignes, et exceptionnellement de l'arête de rebroussement. Donc,

Quand on a trois systèmes de surfaces orthogonales, et que les deux premiers sont compris dans une seule équation^ les surfaces des deux premiers systèmes sont, au moins en partie, homo focales ; leur enveloppe est une développable coupée suivant des droites par les surfaces du troisième système. Ces droites sont évidemment, sur chaque surface du troisième système, des enveloppes des lignes de courbure de cette surface.

Ces théorèmes s'appliquent a fortiori au cas où les trois systèmes orthogonaux sont compris dans une seule équation, comme il arrive pour les surfaces du second degré, et pour les surfaces du quatrième degré que nous étudierons plus loin. Alors toutes les surfaces sont homofocales. Chacune d'elles touche l'enveloppe commune suivant une courbe (qui est une ligne de courbure, intersection avec la surface infiniment voisine), et la coupe suivant plusieurs droites. Les points d'intersection de ces droites sont des ombilics, puisque l'indicatrice de la surface en ces points est un cercle.