SUR UNK CLASSE REMARQUABLE

Ces propositions sont naturellement sujettes à beaucoup d'exceptions, comme toutes celles qui sont fondées sur la théorie des enveloppes et de la continuité. Aussi ne faut-il pas leur donner une valeur absolue, et, si nous les avons exposées, c'est que le procédé de démonstration qui les donne nous a paru susceptible d'être employé dans les cas où elles sont en défaut, et conduit alors, pour chaque cas particulier, à des remarques rigoureuses et précises. Nous les vérifierons pour un système orthogonal remarquable dans la suite de ce travail. On peut dès à présent reconnaître qu'elles sont exactes pour les surfaces du second degré.

La développable focale circonscrite aux quadriques homofocales est du 8® ordre. Elle est coupée par chaque plan principal suivant une conique, qui est une courbe double, et suivant 4 droites, qui sont les enveloppes de toutes les sections principales des surfaces homofocales.

Elle touche chaque quadrique suivant une courbe du 4* ordre, intersection de cette surface, et de la surface homofocale infiniment voisine, elle coupe la quadrique suivant 8 droites se croisant aux 12 ombilics, et ces droites sont l'enveloppe de toutes les lignes de courbure de la quadrique. Ces différents résultats ont été établis par MM. Chasles, Cayley, Cremona dans la géométrie projective.

Des systèmes ortliogonaux, et des lignes de courbure sur une surface

quelconque.

Quelques-unes des propriétés focales des systèmes orthogonaux dans le plan, découvertes par M. Kummer, s'étendent aussi aux systèmes orthogonaux tracés sur des surfaces continues.

Par exemple, si Ton a sur une surface deux systèmes de lignes orthogonales représentées par une seule équation, ces lignes admettent pour enveloppe une ligne géodésique.

ds' = U .

Un des exemples les plus remarquables est fourni par les lignes de courbure et l'on peut démontrer le théorème suivant :

Quand les lignes de courbure ont une enveloppe, cette enveloppe se compose nécessairement de plusieurs lignes droites allant rencontrer le cercle de Vinfini, à moins qu'elle ne soit la ligne de courbure singulière, lieu des points où le plan tangent à la surface est tangent au cercle de l'infini.

On sait, en effet, que, pour construire en chaque point M les directions des lignes de courbure, il faut mener les droites conjuguées à la fois par rapport au couple de tangentes principales et par rapport au cercle de Tinfini ou aux deux droites qui joignent le point M aux deux points du cercle de Tinfini situés dans le plan tangent. Les deux directions des lignes de courbure ne viennent donc se confondre que si une des tangentes principales au point M va rencontrer le cercle (G). Donc, si les lignes de courbure ont une enveloppe, cette enveloppe sera à la fois une ligne asymptotique et une ligne géodésique ds'^=^{). Il faudra donc que son plan osculateur soit à la fois tangent et normal à la surface. Gela ne peut arriver que de deux manières différentes :

i° Si le plan osculateur est indéterminé, alors l'enveloppe est une ligne droite ;

2^ Si le plan tangent est aussi normal à la surface, et, dans ce second cas, il faudra que l'enveloppe coïncide avec la courbe de contact de la développable focale circonscrite à la surface. Gette courbe de contact devra être une ligne ds' = 0.

Il ne faut pas oublier, dans l'application de ce théorème,