EXTENSION DES RÉSULTATS PRÉCÉDENTS

La solution de la question résolue relativement à deux tétraèdres s'applique évidemment au cas où ces deux tétraèdres sont infiniment aplatis et où leurs quatre sommets sont dans un même plan. Cette remarque va nous permettre de résoudre la question suivante :

Etant donnés deux quadrilatères plans h.BCT) , k'B'G'])' , trouver les deux couples de points M ^ M' tels que les distances du point M aux sommets A , B ^ C , D soient égales à celles du point M' aux sommets A', B', C, D'.

En effet, on peut considérer les quadrilatères comme deux tétraèdres infiniment aplatis, et les disposer de manière qu'ils soient correspondants sur deux quadriques homofocales. Alors ils seront nécessairement dans deux plans principaux différents : par exemple,

ABCD sera dans le plan xy , A'B'C'D' xz.

Si l'on veut qu'un point M corresponde à M' de telle manière que les distances de M aux quatre points A , B , G , D soient égales à celles de M ' aux points A ' , B ' , G ' , D ' , le point M ne pourra être dans le plan xy , ABCD, et le point M' dans le plan icjz , A'B'C'D', que si M et M' sont correspondants sur l'axe Oic. Ainsi, on aura deux points M sur cet axe auxquels correspondront deux points M ' . Pour bien se rendre compte de ce fait, il faut remarquer que les deux surfaces (G) , (G') se réduisent ici à une portion de plan recouverte deux fois, à l'intérieur de la focale, pour (G) dans le plan xz, pour (G') dans

278 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY RELATIFS

le plan xy. A un point M du plan xy correspondra un point M' de xz; mais le premier de ces points ne sera dans le plan xz et le second dans le plan xy que si M est sur la focale située dans xz et sur Ox; et alors M' sera sur la focale située dans xy et aussi sur Ox. L'équation aux axes de chaque surface se réduira au premier degré, et donnera les distances des points M , Mj et M',M'i, qui se correspondent dans les deux plans d'après la règle indiquée.

Supposons de même (\\x'on se donne dans l'espace deux pentagones A B G D E , A ' B ' G ' D ' E ' , ei gw'on demande de trouver tous les couples (M , M') de points tels que les distances du point M aux points A , B , G , D , E soient égales à celles du point M ' aux points A',B',C',D',E'. Nous avons déjà résolu cette question (§ XIV) et reconnu qu'elle est identique à la suivante : Déterminer une transformation de Jacobi par cinq couples de points correspondants.

En suivant la même marche que dans le paragraphe précédent, et en appelant 1,}^ , A^ , Ag , A,, les masses qu'il faut mettre aux sommets des deux pentagones pour obtenir des points correspondants de la transformation de Jacobi, nous trouvons l'équation (96) iiaj{dij—d\j)=0 ,

qui ne diffère de l'équation relative aux tétraèdres qu'en ce qu'elle contient un paramètre de plus. On aura donc deux points correspondants de la transformation de Jacobi , en plaçant aux sommets correspondants des deux pentagones des masses égales A,- satisfaisant à l'équation de condition précédente.

Ce résultat paraît, à un certain point de vue, réellement digne d'intérêt. Les deux points correspondants étant désignés par les lettres M , M' , il est facile de voir qu'à un point M correspondent deux points M'.

En effet, pour que le centre de gravité des masses soit en un point donné M dans l'une des figures, les paramètres Aj doivent satisfaire à trois équations du premier degré. Ces trois

AUX SURFACES HOMOFOCALFS DU SECOND DECRÉ. 279

équations, jointes à l'équation de condition du second degré (96), déterminent en général deux systèmes de valeurs pour les ),, auxquels correspondent dans la seconde figure deux points M'. On obtient, par cette considération, un résultat extrêmement remarquable. Les deux systèmes de valeurs de li correspondant à un point M ne seront pas toujours réels. Ils ne le seront que si le point M se trouve dans une des deux régions dans lesquelles l'espace est divisé par une surface du second degré (l'une des deux surfaces que nous avons appelées (G) ou (H), et qui correspondent (§IV) au plan principal de l'autre figure). On peut donc dire en ce sens que Véquation (96) représente une portion de l'espace.

Elle ne sera satisfaite par des valeurs réelles des variables que pour les points M situés à l'intérieur (ou à l'extérieur) d'une quadrique. Ce fait, qu'on peut d'ailleurs généraliser et étendre aux espaces limités d'une manière quelconque, nous paraît réellement curieux, et nous nous proposons d'y revenir.

Si dans la relation identique

dn

dr.

dro

ch.

fh.

.id\

on remplace d^^ par

[R'' étant une constante que l'analogie apprend à calculer d'après les formules du § III], on aura l'équation aux axes principaux d'une des coniques qui servent do base à la transformation de Jacobi. L'analogie est complète avec les équations semblables relatives aux tétraèdres.

Enfin, supposons qu'on donne deux hexagones AB CD E F, A ' B ' C ' D ' E ' F ' , et qu'on demande de déterminer les deux couples de points (§ XIV) M , M', tels que les distances de M aux

sommets du premier hexagone soient égales à celles de M' aux somnt'^y lu second; l'analogie se maintient avec les problèmes analogues déjà résolus. L'équation

(99) nAjid,j-§,j) = 0 ,

contenant maintenant six variables, représente tous les points de l'espace situés dhm même côté par rapport à une surface de révolution du second degré, le déterminant analogue à (97) contient une ligne de plus, et il donne, quand on y fait la substitution (98), une équation du premier degré qui détermine la distance des deux points de l'une des figures M , M'.

Ce dernier problème pourrait encore s'énoncer de la manière suivante :

On a une transformation dans Vespace, dans laquelle à un point M de l'une des figures correspondent tous ceux de Vautre figure tels que leurs distances A' M ' , B' M' à deux points fixes soient égales à celles de M à deux points fixes A , B . La transformation étant définie par six couples de points, trouver les points A,B,A',B'.

MÉMOIRE