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DEUXIÈME SOLUTION d'uN PROBLÈME RELATIF A DEUX TÉTRAÈDRES.

Les questions résolues dans les paragraphes précédents nous paraissent mériter, à cause de leur intérêt, qu'on en développe un mode nouveau de solution, fondé sur la théorie des coordonnées tétraédriques ou homogènes. Pour cela, nous rappellerons quelques notions qui ne sont pas assez connues, et qui donnent l'idée la plus nette des coordonnées homogènes.

Étant donné un tétraèdre AB CD , un point M de l'espace sera déterminé par ses distances aux quatre faces du tétraèdre, mais entre ces distances Pi , p^ , ^3 , p,, il existe une relation non homogène de la forme

S,Pi + S,p, + S3P3 + S,p, = ZY ,

où Si , Sa , S3 , Si sont les aires des faces , V le volume du tétraèdre. Cette relation permettra de déterminer le point M, toutes les fois qu'on connaîtra les rapports respectifs des quatre quantités Pi , et ce sont ces rapports seuls qu'on fait intervenir dans les équations ^en appelant coordonnées homogènes d'un point M des quantités a , p , 7 , J ,dont les rapports seuls sont connus, et qui sont entre elles, non comme les perpendiculaires Pi, mais comme ces perpendiculaires multipliées par des constantes numériques. On aura donc, en désignant par a, une des coordonnées homogènes et par m-i une constante

ai^pttiPi, (^■=: 1,2,3,4) ,

P étant un paramètre qui indique que les rapports seuls des quantités a,- interviennent dans la détermination du point et dans les équations. Les quantités a,- peuvent s'appeler pa7'amètres de référence.

Mais il y a un deuxième point de vue, tout aussi important

272 SUR LES THÉORÈMES d'iVORY, RELATIFS

que le précédent, quoique rarement développé, sous lequel on doit, selon nous, considérer les coordonnées homogènes, et cette nouvelle méthode a été surtout développée par Mobius. Tout point de V espace M' peut être considéré comme le centre de gravité de masses disposées aux sommets du tétraèdre de référence, et quand le point M est donné, les rapports de ces masses m,- doivent être considérés comme connus. Elles sont liées aux perpendiculaires p,- par des équations de la forme

mi = ppSi, («=1,2,3,4),

qui montrent qu'elles constituent un système de coordonnées homogènes avec des paramètres de référence égaux aux faces du tétraèdre. Dans ce deuxième mode d'exposition, on voit mieux pourquoi les équations doivent être homogènes, et comment la position du point ne dépend que des rapports des coordonnées ; et, en outre, on a l'avantage de rattacher à des propositions connues de statique la démonstration des formules relatives aux coordonnées homogènes.

Ajoutons que cette notion s'étend aux coordonnées polyédriques, et qu'on peut considérer ces coordonnées comme des masses disposées aux sommets d'un polyèdre et déterminant un point, leur centre de gravité.

Revenons au problème que nous avons à traiter, et proposons-nous, étant donnés deux tétraèdres ABCD , A' B' G' D' , de déterminer tous les couples (M) , (M') de points tels que les distances du point M aux sommets du tétraèdre ABCD soient égales à celles du point M' aux sommets du tétraèdre A'B'G'D'.

Soient (X , Y , Z) , (X' , Y' , Z') les coordonnées des points M ,M' ; {x,y ,z) ,{x,,y,, z,) , {x, , y, , z,) , {x, , y, , z,) celles des sommets A , B , G , D ; nous désignerons par les mêmes lettres accentuées les coordonnées des sommets correspondants x',y',z'. On devra avoir des équations telles que la suivante :

(X -XiY + (Y - ViY + (Z - Zif

^^^'^{ = (X'-x',y-h{Y'-y';)'-\-{Z'-z\), (^.==0,1,2,3). En multipliant les équations précédentes par h , et en les

AUX SURFACES HOMOFOCALES DU SECOND DEGRft. 273

ajoutant membre à membre, on obtient une nouvelle équation, dont chaque membre représente le carré de la tangente à une sphère multipliée par une constante

Soient S , S' les deux sphères qu'on obtient en égalant à zéro successivement le premier membre et le second. La tangente menée du point M à la sphère S sera, d'après l'équation, égale à la tangente menée de M' à la sphère S'. Si les deux sphères ont des rayons égaux, la distance du point M au centre de la première sera égale à celle du point W au centre de la seconde. Or, les rayons des deux sphères sont déterminés par les formules

pour la sphère S, et

pour la sphère S' . Dans ces formules, dij désigne le carré de la distance de deux points (* ,j) du premier tétraèdre ABCD; d'ij désigne le carré de la distance des points correspondants du second tétraèdre. (Le premier sommet A ou A' est considéré comme ayant l'indice zéro.)

Si les rayons des deux sphères sont égaux, les distances des points M , M' aux centres de ces deux sphères seront égales, et les deux centres a de S et a' de S' formeront un couple de points pouvant remplacer dans l'énoncé du problème deux couples (A , A') , (B , B'), par exemple, de sommets correspondants des deux tétraèdres. Or, on peut exprimer facilement que les rayons sont égaux, et l'on trouve, en égalant les deux valeurs de R% la relation fondamentale

(92) nAj{dij-d'i,) = 0.

Donc, si l'on cherche tous les couples M , M' de points tels que les distances de M à quatre points A , B , C , D soient égales

274 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY, RELATIFS

à celles de M ' à quatre autres points A',B',G',D',ily aura d'autres couples a, a', en nombre doublement infini, qu'on pourra substituer à deux sommets correspondants quelconques des tétraèdres ABGD , A'B'G'D'.

Rendons-nous compte de la position de ces nouveaux couples a, a', qui sont les centres des sphères S, S'. D'après la manière dont on obtient les sphères S , S' , il est évident que les centres a , a ' sont les centres de gravité des masses X , Xj , X^ , X3 , placées aux sommets du premier tétraèdre pour a, et aux sommets du second pour a'. Ces quantités sont donc les coordonnées soit du point a rapporté au premier tétraèdre ABCD, soit du point a' rapporté au second.

Donc l'équation (92) représente soit l'équation du lieu des points a, si on la rapporte au tétraèdre ABCD , soit celle du lieu des points a', si on la rapporte au tétraèdre A'B'C'D' ; et comme cette équation est du second degré, on voit qu'elle représente, dans le premier cas, une surface du second degré circonscrite au tétraèdre ABCD; dans le second cas, une surface de même ordre rapportée au tétraèdre A'B'C'D'. Nous savons, par une discussion déjà faite, que ces deux surfaces peuvent être placées de manière à être homofocales, et qu'alors les couples (a , a') , (M , M') deviennent des couples de points correspondants. Un raisonnement simple peut montrer sans calcul que ces surfaces sont aussi les lieux des points M , M'.

En effet, puisque les distances du point M à A , B , C , D , a sont les mêmes que celles du point M' à A', B', C',D', a', on voit qu'en prenant quatre couples (M , M') , (Mj , U\), etc., de points M , M', les distances des points a aux quatre points M. seront égales à celles du point a' aux quatre points M',-. Donc la relation entre les couples (M; , M',) et les couples a , a' sera réciproque, et par suite les points M,- , M',- se trouveront sur deux surfaces du second degré.

En résumé, on voit qu'on a : 1° dans la figure ABCD une surface (G), lieu des points a, circonscrite à ACBD, et une surface (H), lieu des points M; 2" dans A'B'C'D', les surfa-

AUX SURFACES HOMOFOCALES DU SlîCOND DEGRÉ. 27S

ces (G'), lieu de a', circonscrite à A'B'C'D', et (H'), lieu de M', correspondante à M. Nous savons d'ailleurs et nous ne démontrerons pas de nouveau que les surfaces (G) , (G ' ) , (H) , (H ' ) sont égales; que (G) et (H) ont les mêmes focales; que (M , a), (M', a') sont correspondants dlvory, etc.

Revenons à Téquation en coordonnées tétraédriques (92), qui représente soit (G) rapportée au tétraèdre ABCD, soit (G') rapportée à A'B'C'D'. Cette équation nous donnera immédiatement des propriétés importantes, obtenues moins rapidement par d'autres voies.

Si toutes les quantités d'ij sont nulles, l'équation se réduit à

(93) 2lAjdii = 0,

et elle représente alors la sphère circonscrite au tétraèdre ABGD. En effet, d'après l'équation (90), le rayon de la sphère S ayant même centre radical que les points-sphères A , B , C , D est nul, quand l'équation (93) est satisfaite. L'équation (93) représente donc le lieu des centres des sphères de rayon nul ayant un centre radical donné; c'est donc la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD.

On peut donc affirmer qu'en construisant le tétraèdre avec les six arêtes dont les carrés sont

Sij — dij — d'ij ,

l'équation

2>..),So=0,

rapportée à ce tétraèdre auxiliaire A"B"C"D" (réel ou imaginaire), représenterait la sphère circonscrite au tétraèdre. En résumé, cette même équation, rapportée soit à ABGD, soit à A'B'C'D', soit à A"B"C"D", représente donc trois surfaces homographiques : (G) , (G') et une sphère. Le tétraèdre auxiliaire A"B"G"D" est celui que nous avons obtenu au § XVI, et qui nous a permis d'effectuer sans calcul la résolution du problème proposé.

276 SUR LES THÉORÈMES d'IVORY, RELATIFS

On voit ici avec quelle facilité se présentent les déterminants déjà considérés. Le premier

Kr

Ssi

est le discriminant des deux surfaces.

On voit pourquoi le signe de ce déterminant détermine si la surface est réglée ou non réglée (^). Si ce déterminant est nul, la surface est un cône; elle sera un système de deux plans, si tous les mineurs du premier ordre sont nuls. Etc.

Quant au second déterminant

c'est le contrevariant qui, égalé à zéro, donnerait la condition de contact du plan de l'infini et de la surface. Toutes les fois qu'il sera nul, la surface sera un paraboloïde ou un cylindre.

Enfin, comme la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD a pour équation

2 Ai Aj U/(j — U j

on voit qu'on aurait V équation aux axes principaux de la surface, ou plutôt l'équation en s, en multipliant l'équation précédente par 5, l'ajoutant à celle de la surface (G), ce qui donnera

l'kAjisdij + 5y) = 0 ,

et on n'aura plus qu'à écrire la condition de contact de cette surface et du plan de l'infini, ce qui se fera en remplaçant

(1) On sait que la surface du second degré est réglée toutes les fois que le discriminant de l'équation est positif, et non réglée dans le cas contraire.

AUX SURFACES HOMOFOCALRS DU SRCOND DEGRÉ. 277

dans le déterminant (95) d.j par sd,j -f r).j. On obtient ainsi une équation identique, aux notations près, à l'équation (84) du §XVI.

§ XVIIL