DES FORGES DE GRANDEURS ET DE DIRECTIONS CONSTANTES

appliquées en des points déterminés d'un corps solide

QUAND CE CORPS CHANGE DE POSITION DANS l'eSPACE

Parmi les systèmes de forces agissant sur un corps solide, les plus importants peut-être sont ceux qui sont composés uniquement des forces parallèles. Leur étude a conduit à la notion du centre des forces parallèles, point d'application d'une force unique, ayant même direction que les forces considérées, égale à leur somme algébrique, et qui peut toujours les remplacer lorsque le corps change de situation dans l'espace. Si ce point est rejeté à l'infini dans une direction déterminée, les forces parallèles se réduiront généralement à un couple et ne se feront équilibre que si elles deviennent parallèles à la direction dans laquelle ce centre est rejeté à l'infini. S'il devient indéterminé, les forces se feront toujours équilibre, quelle que soit leur direction, ou quelle que soit la position dans laquelle le corps sera amené, les directions et les grandeurs des forces demeurant les mêmes.

Il était naturel de chercher à étendre aux systèmes composés de forces quelconques les propriétés du centre des forces parallèles, c'est-à-dire d'examiner comment varie l'effet d'un système quelconque de forces appliquées en des points déterminés du corps solide, soit lorsque, leur grandeur et leur direction demeurant les mêmes, l'orientation du corps vient à changer, soit, ce qui est la

même chose, lorsque, le corps demeurant en repos, les forces changent de direction de manière à conserver entre elles les mêmes angles. On peut demander, par exemple, quelles sont les conditions nécessaires pour qu'elles se fassent équilibre dans toutes les positions du corps; nous dirons alors que le corps est en équilibre asiatique. Mobius, dans sa Stalique si remarquable à tant de titres, a commencé cette étude et lui a consacré deux chapitres très étendus. Minding dans le tome XV du Journal de Crelle a donné sur le même sujet un théorème des plus intéressants, et il a établi que, toutes les fois que le corps est amené dans une situation où le système des forces a une résultante unique, cette résultante rencontre deux courbes ayant une position fixe dans le corps, qui sont une ellipse et une hyperbole focales Tune de l'autre.

Les études de Mobius et de Minding ont été analysées dans la Mécanique de M. Broch. M. Tabbé Moigno les a résumées et les a fait connaître en France dans deux chapitres de sa Statique.

Le travail actuel contient la démonstration des propositions déjà connues dans cet ordre de recherches et celle de plusieurs propriétés qui me paraissent entièrement nouvelles. Je citerai d'abord la recherche de toutes les positions dans lesquelles sera en équilibre un corps soumis à l'action d'un système de forces don!, la résultante générale est nulle. Mobius croyait que, si l'équilibre a lieu dans quatre orientations du corps, il subsiste dans toutes les autres; je montre au contraire qu'il y a toujours quatre positions du corps pour lesquelles les forces se font équilibre, et qu'il peut y en avoir un plus grand nombre; j'introduis la notion d'un ellipsoïde central, analogue à celui que l'on rencontre dans la théorie des moments d'inertie, et dont j'indique plusieurs propriétés intéressantes tant au point de vue géométrique qu'à celui de la question de statique que je m'étais proposée. Le théorème de Minding cesse d'être un résultat de calcul et trouve sa démonstration la plus naturelle par l'emploi de cet ellipsoïde. Enfin, je complète ce théorème en montrant que si l'on considère, dans toutes les positions du système des forces, l'axe central des

moments de Poinsot, cet axe appartiendra à un complexe remarquable du second ordre, dont les droites sont Fintersection de deux plans rectangulaires, tangentes respectivement aux deux focales de Minding. Ce complexe comprend en particulier, comme cela devait être, les droites qui s'appuient sur les deux focales et qui sont les directions de l'axe central quand il y a une résultante unique.

Mobius avait introduit la notion des axes principaux de rotation qu'il définissait par la propriété mécanique suivante : Si le corps tourne autour de ces axes, le système de toutes les forces peut toujours être remplacé dans toutes les positions que prend ainsi le corps, par deux forces appliquées au même point de l'axe. Quand le corps tourne, l'axe est donc toujours pressé de la même manière, ce qui constitue en un sens une généralisation de la propriété du centre des forces parallèles. Car si le corps est fixé en ce centre, dans toutes les positions qu'il pourra prendre il exercera la même pression sur l'appui qui assure la fixité de ce point. Mobius avait établi qu'un système de forces a en général deux axes principaux. Je cherche le lieu de ces axes quand l'orientation des forces change, et je démontre qu'ils sont les génératrices reclilignes d'une famille de surfaces homofocales du second degré.

En dehors des applications pratiques que peut offrir la théorie précédente, par exemple, à l'étude des systèmes composés à la fois de forces dues à la pesanteur et de forces magnétiques, l'étude de la question que nous nous sommes proposée paraît offrir un réel intérêt théorique. Toutes les compositions de forces appliquées à un corps solide se ramènent aux trois opérations suivantes : 1^ les compositions de forces appliquées toutes au même point, ou la décomposition d'une force en plusieurs autres appliquées au même point; 2° la composition des forces parallèles; 3° la translation d'une force le long de sa ligne d'action. La première de ces trois opérations demeurera encore légitime, pourvu qu'en remplaçant plusieurs forces par leur résultante, on admette que cette résultante participera au changement d'orientation des

forces, quand il viendra à se produire, ou, si l'on veut, qu'elle conservera la même direction en même temps que les autres forces si c'est le corps qui change de position. On pourra aussi conserver la composition des forces parallèles, à la condition que la résultante soit appliquée au centre des forces parallèles. Mais on ne pourra plus transporter une force en un point quelconque de sa ligne d'action. Car cette opération revient à introduire deux . forces égales et contraires ayant même ligne d'action et deux points d'application distincts. C'est introduire un couple qui est nul dans la position actuelle du corps, mais qui cessera en général de l'être dès que la position du corps changera.

On le voit, toutes les opérations que nous pourrons faire sont celles qui paraîtraient légitimes à un géomètre ayant établi la composition des forces concourantes et celle des forces parallèles, mais qui n'admettrait pas ou n'apercevrait pas que Ton a le droit de transporter une force en un point quelconque de sa ligne d'action. Ce que nous allons traiter, c'est donc la statique du corps solide, privée de ce dernier axiome.

Quelles sont les propriétés des couples qui subsisteront dans cette étude?

Étant donné un couple composé de deux forces — P, + P appliquées en des points A,B, nous appellerons P la force et AB le bras du couple. Il importe de remarquer que, dans cette théorie, le bras du couple n'est qu'accidentellement normal à la force puisque la direction des forces du couple change par rapport à celle du bras. Si l'on convient de donner en grandeur, direction et sens, celle des forces du couple P, qui est appliquée en B, on voit que le bras AB devient une grandeur géométrique ayant pour origine le point A, et le point B pour extrémité.

Ces défmitions étant admises, examinons quelles sont les propriétés des couples qui subsisteront dans notre étude :

i" On peut multiplier le bras par un nombre quelconque, à la condition de diviser la force par ce nombre. Car le moment, le plan et le sens de rotation du couple ne sont pas changés par cette opération, quelle que soit la direction des forces du couple.

Il convient même pour les applications d'admettre la multiplication ou la division par des nombres négatifs, en entendant que la multiplication d'une grandeur géométrique par l'unité négative équivaut à un changement de sens.

2° On peut déplacer le bras parallèlement à lui-même, car alors le couple sera transporté dans son plan ou dans un plan parallèle, ce qui ne change pas son effet ; mais on n'a pas le droit de faire tourner le bras du couple.

3° On peut décomposer un couple en plusieurs autres de même force. Il suffit que les bras des couples composants aient pour somme géométrique le bras du couple résultant.

Soient par exemple trois couples de bras AB, BG, CD et de même force P. Au point B se trouvent appliquées deux forces égales et contraires, appartenant l'une au premier couple, l'autre au second, et qui se détruisent toujours. Il en est de même au point G. Il ne reste donc que deux forces — P,P appliquées en A , D, c'est-à-dire un couple de bras AD et de force P. Or, AD est bien la somme géométrique des grandeurs AB, BG, CD.

Comme on peut déplacer les bras parallèlement à eux-mêmes, on voit que l'on pourra remplacer un couple quelconque par trois autres couples de même force et dont les bras seront les projections du bras du couple sur trois droites fixes quelconques Ox, Oy,Oz, les projections sur chaque droite étant faites parallèlement au plan des deux autres.

Considérons l'un quelconque de ces couples, par exemple, celui dont le bras est dirigé suivant Ox ; soit a la grandeur de ce bras et P celle de la force. En vertu de la première propriété des couples, on pourra le remplacer par un couple de bras 1 dirigé suivant Ox, et de force aV. Et de même on pourra ramener les deux autres couples de bras dirigés suivant Oy, 0^ à d'autres couples de bras égaux à l'unité dirigés suivant Oij,Oz.

Si maintenant on a un nombre quelconque de couples appliqués à un corps solide, on pourra amener l'origine des bras de tous ces couples au point 0, et, en décomposant ces couples en trois autres comme il vient d'être indiqué, on aura une première série de

couples dont les bras seront tous dirigés suivant Ox, égaux à l'unité, et auront par conséquent les mêmes extrémités. En composant les forces de tous ces couples, qui sont appliquées aux mêmes points, il restera un couple unique de bras égal à 1 et dirigé suivant 0^. On aura de même deux autres couples résultants dont les bras seront dirigés suivant Oy, Oz. Ainsi :

On peut toujours réduire les couples appliqués à un corps solide à trois autres dont les bras sont dirigés parallèlement aux arêtes d'un trièdre quelconque.

Nous terminerons cette Introduction par une remarque sur la méthode de calcul que nous allons suivre. Au point de vue de cette théorie, il est indifférent soit de supposer que le corps se déplace, les forces conservant leur point d'application, leur grandeur et leur direction, soit d'admettre que le corps demeure en repos, les forces changeant de direction de manière à conserver les mêmes angles. C'est cette dernière supposition que nous choisirons de préférence. Si l'on veut admettre que le corps se meut, il suffira de supposer que nos axes mobiles dans l'espace, soient fixes par rapport au corps. Il est clair d'ailleurs que, si le corps a été déplacé parallèlement à lui-même, l'effet de chaque force n'est nullement changé. Il n'y a donc pas Heu de considérer, dans cette théorie, comme distinctes les positions du corps qui se déduisent les unes des autres par une simple translation.

g I.— Conditions de l'équilibre astatiqiie dans le mouvement autour d'un axe fixe.

Supposons le corps soumis à l'action de n forces. Nous définirons ces forces par leurs composantes X,, Y^, Z,-, parallèles aux axes, et par les coordonnées Xi, y,-, Zi de leurs points d'application, et nous adopterons les notations suivantes :

Ax — —iKiXi^ \x — •" !^iXi , Lx — liLiXi 1

A-z 2d]\iZi ; \z 2j 1-iZi j Zia j-tLiiZi j

Xfl, Yo, Zû seront les composantes de la résultante générale.

Cela posé, considérons un système actuellement en équilibre. On aura les six équations

jXo=0, Yo = 0, Zo=0,

^^ (Y. — Zy = 0, Z, — X. = 0, X,-Y.rr.O.

Supposons les axes rectangulaires, et cherchons la condition pour que l'équilibre subsiste, si l'on imprime au corps un mouvement de rotation autour de Oz. Comme nous supposons les axes entraînés avec le corps, les coordonnées des points d'application ne changeront pas ; mais les composantes des forces parallèles à 0^7, 0^ ne seront plus les mêmes. H faudra remplacer

X< par Xf ces ç + Y,- sin © , Y,- par — Xt sin o + Yi ces ^ ,

XoCosç + YoSino) = 0, — X^sin© + Y^cosç —Zy = Q,

Xo sin o — Yo CCS ç m 0 , Z^; — X^ ces cp — Y^ sin ® = 0 ,

Zo — 0 , (X, — Yx) CCS f + (Xo. + Y,) sin o — O.

Si Ton tient compte des équations (1) les trois premières équations nouvelles sont satisfaites, et les autres, après quelques transformations simples, prennent la forme

(2) X.(l — cos?) = 0, Y.(l — cos9)==:0, (Xa=+Y,)sinç=rO,

et pour qu'elles soient vérifiées, quelle que soit o , il faudra ajouter aux équations (1) les trois suivantes :

qui sont à la fois nécessaires et suffisantes.

On voit qu'elles seront vérifiées dès que les équations {^) le seront pour une valeur de 9 différente de x. Nous avons donc le théorème suivant:

Si un corps est en équilibre dans deux positions, il le sera encore quand on le fera tourner autour de Taxe de la rotation qui

l'amène de la première position dans la seconde, à moins que ces deux positions ne soient symétriques par rapport à cet axe, et dans ce cas il ne sera pas nécessairement en équilibre dans toute autre position obtenue par une rotation autour de cet axe.

Les équations complémentaires (3) peuvent s'interpréter comme il suit. Imaginons qu'au point d'application X; Y,- Z,- de chacune des forces appliquées au corps, on fasse agir une force dont les trois composantes seraient — Y,-, X», 0. Les équations (3), jointes aux suivantes :

Xo = Oj Yq^O,

expriment que ces forces auxiliaires, agissant seules sur le système, se feraient équilibre. On peut donner de ces forces une définition indépendante des axes coordonnés.

En regardant les axes choisis comme immobiles, les forces tournent autour d'axes parallèles à Oz, passant par leurs points d'application, avec la même vitesse angulaire. L'extrémité de la force X,-, Y,-, Zf aurait pour vitesse à l'instant initial une grandeur géométrique dont les projections seraient proportionnelles à

— Y,- , Xf , 0 ,

c'est-à-dire qu'elle serait proportionnelle à notre force auxiliaire appliquée au point x^, ^/,-, Zi. Cette grandeur géométrique, considérée comme une force nouvelle, peut être appelée la dérivée géométrique de la force dans le mouvement considéré, et l'on voit que les conditions nouvelles (3) expriment que les dérivées géométriques des forces se font équilibre sur le corps solide.

Cette notion de la dérivée géométrique offrira l'avantage d'éviter un calcul, d'ailleurs facile, dans la recherche des conditions pour que l'équilibre subsiste quand les forces tournent autour d'un axe quelconque. Soient

p q r les équations de la direction de cet axe. La vitesse de l'extrémité

de la force X,, Y,-, Z, aura des composantes proportionnelles à

X; = qli-rYi, y; = T\i-vli, Z; =pYi-(/X,,

et il faudra écrire les équations de l'équilibre pour les forces dont les points d'application sont Xi,yi^Zi, et les composantes Xj , Y, , Z, .

On obtient ainsi les trois équations

( — i)(Yj, + Z.) + (/X, + rX.-0,

(4) i)Y.-^(X. + Z.) + rY. = 0,

( ^Za;+ gZy — (Xœ + Yj,)r = 0,

qui nous seront utiles dans la suite. On voit dès à présent qu'il n'y aura pas en général d'axe tel que l'équilibre subsiste après une rotation Sangle quelconque autour de cet axe. Car les équations (4) ne peuvent pas, en général, être satisfaites par des valeurs dep, g, r différentes de zéro. Quand il y aura des axes jouissant de cette propriété nous leur donnerons, avec Môbius, le nom d'aa?es d'équilibre.

l II. — Des conditions pour que l'équilibre subsiste dans toutes les positions.

On peut déduire des équations (■4) les conditions qui sont nécessaires pour que l'équilibre subsiste dans toutes les positions du corps. Elles devront alors être satisfaites, quels que soient y,q, r, ce qui exige que l'on ait

(5) Ay ^^^ la; ^^ Zœ ^^^^ iJy ^^^ Xj "^^ is ^:^ 0 ,

Ces trois dernières équations donnent

Les neuf équations (5) et (6), jointes aux trois qui expriment que la résultante générale est nulle, constituent un ensemble de douze

équations nécessaires pour l'équilibre asiatique. Il est d'ailleurs évident qu'elles sont suffisantes; car, si elles sont remplies, on pourra faire tourner le corps d'un angle arbitraire autour d'une droite quelconque, ce qui suffit à l'amener dans toute position nouvelle, sans que l'équilibre soit troublé.

Remarquons la conséquence suivante de ces équations. Quand le corps est en équilibre asiatique, si l'on décompose les forces parallèlement à trois directions données quelconques, on a trois systèmes de forces parallèles se faisant séparément équilibre dans toutes les positions du corps.

Car soient X,-, Y,-, Z.- les composantes de l'une des forces. La composante parallèle à l'une des trois directions, c'est-à-dire la projection faite parallèlement à un plan quelconque, sera de la forme

IXi + mYi + nZi,

oui, m, n sont trois constantes toujours les mêmes. La somme algébrique de ces composantes,

/Xo + mYo + wZo,

sera évidemment nulle. La somme des moments par rapport au plan des yz, par exemple,

IXx + mY^ + ni

sera aussi nulle, et par conséquent les forces se feront équilibre quelle que soit l'orientation du corps.

La proposition précédente permet de reconnaître que les douze équations de l'équilibre astatique doivent encore avoir lieu dans le Cas des axes obliques. Car ces équations expriment que les composantes parallèles aux trois axes se font équilibre indépendamment de leur direction. Elles sont du reste suffisantes même dans ce cas, puisqu'elles expriment que les trois systèmes de composantes parallèles aux axes des différentes forces se font équilibre, et se feront encore équilibre quand la position du corps sera changée.

g III. — De la réduction d'un système de forces à une résultante et à trois couples.

Soient Xi, iji, Zi les coordonnées du point d'application d'une force Fj, dont les composantes parallèles aux trois axes sont X,- , Y,- , Zi. Si l'on transporte cette force parallèlement à elle-même à l'origine, il naîtra de cette translation un couple de force F,- , que l'on peut décomposer en trois autres ayant pour bras Xi compté sur Oa?, yi sur 0?/, ^,- sur Oz, et pour force commujie F,-.

Le premier couple, ayant pour bras Xi et pour force F^-, peut être remplacé par un couple de bras égal à l'unité et de force a?, F,-. Les composantes de cette force seront Xi\, XiXi, Xili, et si nous composons tous les couples semblables auxquels donneraient naissance toutes les forces du système, on voit que nous aurons un premier couple de bras 1 sur Oa?, et dont la force F^, aura pour composantes

On aura de même un couple de bras 1 sur 0|/, et dont la force Y y aura pour composantes

et un couple de bras 1 sur 0^^, et dont la force F^aura pour composantes

Enfin toutes les forces, transportées parallèlement à l'origine, donneront une résultante générale ayant pour projections

Xo = 2X,-, Yo=:]SY,-, Zo = 2Z,-.

Il reste donc, en résumé, une force, la résultante générale, appliquée en un point quelconque, et trois couples dont les bras sont dirigés parallèlement aux arêtes d'un trièdre quelconque. Cette résultante générale et les trois couples donnent l'interprétation géométrique la plus simple des douze quantités qui sont les premiers membres des équations de l'équilibre asiatique, et que

nous rencontrerons souvent dans la suite de ce travail. Les quantités affectées d'un même indice conviennent au même élément : Xo, Yo, Zg à la résultante générale; X„, Y„, Z„ au couple de bras situé sur l'axe des u.

Pour réquilibre astatique, il faut que la résultante générale et les trois couples soient nuls.

La réduction précédente est unique et déterminée, comme il est facile de le démontrer. Admettons, en effet, s'il est possible, que l'on ait obtenu une autre réduction caractérisée par les mêmes lettres affectées d'accents, Xô, Yé, ZJ,, X|,,. . .. Eti changeant désigne ces nouvelles quantités, on aurait la réduction qui provient des mêmes forces changées de sens, c'est-à-dire un système devant tenir le premier en équilibre ; ce qui exige que l'on ait

Xo+(— Xô) = 0, ou Xo = XÔ; de même, Xï = XL, etc.

Donc les deux réductions sont identiques.

Dans ce qui précède, nous avons réduit le système à une force et à trois couples. On pourrait aussi le remplacer par quatre forces appliquées en quatre points quelconques, A, B, G, D, sommets d'un tétraèdre. En effet, on peut alors réduire le système à une force appliquée en A et à trois couples de bras A dirigés suivant AB, AC, AD, et égaux à 1. Mais en multipliant les bras par des nombres convenablement choisis, on peut les amener à être égaux à AB, AC, AD. Les trois couples auront donc une de leurs forces en B, C, D et les autres en A, qu'on pourra y composer avec la résultante générale. Le système sera ainsi réduit à quatre forces appliquées aux points désignés. 11 est facile de reconnaître que cette réduction est unique, quand les points d'application ont été choisis.

g IV. — De la réduction en un point déterminé, quand on change les directions des bras des couples. Ellipsoïde central.

Supposons que les axes soient rectangulaires, et imaginons qu'on veuille réduire le système à une force passant à l'origine et à trois

couples dirigés suivant trois axes 0^,, O?/,, Oz^, rectangulaires, faisant avec Ox, Oy,Oz des angles dont les cosinus sont a,b,c; a',b',c'; a",b",c".

Décomposons les trois couples obtenus dans une première réduction, et ayant pour bras les axes Ox, Oij ,0z, en trois autres ayant leurs bras égaux à 1, et dirigés suivant Ox^ ^OrjuOz^.

Le premier couple de force F^ et de bras 1 sur Oa? donnera un couple de même force et de bras égal à a sur Oa^i, ou, si l'on veut, un couple de bras 1 et de force a F^. Les trois couples primitifs donneront donc suivant Ox^ trois couples de bras 1 et de forces

aFo;, h¥y, cFz.

En décomposant ces forces, on obtiendra un couple unique de bras i suivant Ox^, et dont la force F^, aura pour ses trois composantes

^ { X^a + Xyh + X,c = Xx,,

(7) Y,a + Yyb + Y,c = Y,,, \ Z^a + Zyb -h Z,c =Zx, .

On aurait de même, suivant 0?/i, Osj, des couples dont les forces s'obtiendront en accentuant les lettres a,b, c des formules précédentes. Remarquons d'ailleurs que le couple de bras Ox^ ne dépend que de la direction de Ox^. Ceci donne lieu à une première conséquence. La grandeur de la force F,„ de ce couple sera donnée par la formule

(8) FI, = Aa' + k'b^ + M'c"^ + 2B6c + 2B' ac + 2 B^aZ?, où Ton a posé

(9) A'=X,^+Y:^ + Z,% B'=X.X. + Y.Y. + Z.Z., ( A = Xz + Y3 + Z| , B = XicXj, + YjcYy -\-ZxZy.

Considérons la surface définie par Téquation

(10) Aar^ + A'f +AV + 2B|/^ + 2B'a?^ + 2B"a;|/ = l.

La formule (8) nous apprend que la force du couple de bras dirigé

suivant un rayon de cette surface est égale à l'inverse de ce rayon. Il est du reste facile de reconnaître que la surface représentée par réquation (10) est en général un ellipsoïde, qui peut se réduire à un cylindre ; car cette équation peut s'écrire

(X,x + %,y + X,2:)^+ (Y^a; + Y, y + YaY+ (Z^ + Z.y -h Zaf = 1 .

Nous lui donnerons par conséquent le nom d'ellipsoïde central du point 0, et elle offre d'abord l'avantage de nous représenter géométriquement la variation des forces des couples dont les bras sont dirigés suivant ses rayons. Mais nous allons voir qu'elle se présente encore dans la solution d'une question plus importante. Cherchons si l'on peut trouver trois axes rectangulaires 0^17 Oî/i, Ozj, tels que les forces des trois couples correspondants soient aussi rectangulaires. Les composantes des forces étant données par les formules (7) et celles qu'on obtient en accentuant a, h, c, écrivons les conditions de perpendicularité,nous aurons

(Xaa'-hX'bb' + M'cc'-hB{bc' + cb')+B\ca'+ac') + B"{ab' + ha')=0,

(11) Aa^cn- =0,

(ka'a"-h =0.

Ces équations expriment que les directions de Ox^ , 0?/i , 0 Sj doivent être celles des axes de l'ellipsoïde central. Le problème que nous nous sommes proposé est donc ramené à un problème connu, qui a en général une seule solution, et n'en a une infinité que si l'ellipsoïde central est de révolution. Donc

On peut toujours choisir, et en général d'une seule manière, les bras des trois couples de telle sorte que les forces soient perpendiculaires .

Il est facile de comprendre l'importance de cette nouvelle réduction. Puisqu'on peut toujours choisir les couples de telle manière que leurs trois bras et leurs trois forces constituent deux systèmes de trois directions rectangulaires, on voit tout de suite qu'il y aura au moins un déplacement du corps pour lequel les forces de ces couples prendront les directions des bras et par conséquent se détruiront, car on peut toujours amener deux

trièdres trirectangles, par la rotalion de l'un d'eux, à avoir leurs arêtes de môme nom parallèles. Une de ces positions du corps obtenue, on en déduira trois autres en effectuant des rotations de 180° auxquelles nous donnerons aussi le nom de renversements autour des trois bras. Donc,

Étant donné un système de forces appliquées à un corps solide, il existe toujours au moins quatre orientations du corps pour lesquelles le système des forces se réduit à une résultante passant en un point déterminé de ce corps.

Et, comme cas particulier,

Si les forces ont une résultante générale nulle, il existe quatre positions du corps pour lesquelles elles se font écjuilibre.

Dans ce qui précède, nous avons étudié les différentes réductions faites au même point 0, et nous avons remarqué que Tellipsoïde central donnait les grandeurs des forces des couples de bras donné. On peut aussi représenter d'une manière simple les directions des forces des couples.

A cet effet, nous supposerons que Ton ait pris pour axes les axes de l'ellipsoïde central, et que l'on ait amené, par une rotation du corps, les forces des trois couples principaux à être dirigées suivant les axes. Alors des neuf quantités X.^, X^, etc., les trois suivantes seules

ne seront pas nulles, et l'équation de l'ellipsoïde central deviendra

(12) ^lx'-\-Ylf + llz^=.\.

Si maintenant nous considérons une direction O^j faisant avec les axes des angles dont les cosinus soient «, 6, e, les composantes de la force F^, du couple de bras 1 dirigé suivant ^x^ seront, d'après les formules (7),

Ces formules expriment que la direction de la force est celle de la normale à l'ellipsoïde

(1^0 X.a;^ + Y,f -hZ,-^ = 1,

au point où il est rencontré par le bras Ox^ du couple. Ainsi, dans la position où nous avons amené le corps, les directions des forces des couples sont celles des normales à un ellipsoïde aux points où il est rencontré par les bras de ces couples. Nous appellerons cet ellipsoïde le second ellipsoïde central.

Enfin, si Ton menait par l'origine des droites égales aux forces des couples, les coordonnées des extrémités de ces longueurs seraient

et satisferaient à l'équation

qui représentent un troisième ellipsoïde, que nous appellerons troisième ellipsoïde central.

Les directions des forces de trois couples quelconques de bras rectangulaires sont toujours trois diamètres conjugués de ce troisième ellipsoïde.

Dans le reste de cette étude, nous nous attacherons surtout au premier ellipsoïde, dont la position et la grandeur sont évidemment indépendantes de l'orientation qu'on peut donner au système des forces. C'est d'ailleurs ce que l'on peut mettre complètement en évidence, en écrivant l'équation développée de cet ellipsoïde dans un système d'axes quelconque, tel que celui qui avait été primitivement choisi.

Introduisons les n forces de composantes X^-, Y,-, Z,- de points d'application Xi, iji, Zf, agissant sur le corps. En remplaçant les quantités X^,..., dans l'équation (10), par leurs expressions comme sommes, on trouvera, pour l'équation de l'ellipsoïde central,

{-ZYfiXiœ + yiy + ZtZf ^ \ +%'LYiYuÇ>o%{^,,Yk){XiX+yiy + ZiZ){XhX+ykij+ZkZ)=i.

On voit bien que cette équation ne dépend nullement de l'orientation du système des forces, et qu'elle demeurera la même si les

forces tournent en conservant leurs angles respectifs et leurs points d'application. En d'autres termes, si le corps tourne sans que les forces changent de direction, l'ellipsoïde central de chaque point sera entraîné avec le corps.

g V. — Étude des différentes positions dans lesquelles un corps peut être en équilibre.

Dans le cas particulier où la résultante générale des forces sera nulle, les bras des couples pouvant toujours être déplacés parallèlement à eux-mêmes, l'ellipsoïde central sera le même en tous les points du corps. Proposons-nous de résoudre la question suivante :

Trouver toutes les positions du corps pour lesquelles les forces se font équilibre.

Nous avons déjà vu dans l'article précédent qu'il y a au moins quatre positions du corps répondant à cette condition, celles pour lesquelles les bras des trois couples principaux coïncident en direction avec les forces de ces couples. Supposons que le corps ait été amené dans une de ces positions d'équilibre, et cherchons à en déduire toutes les autres.

Dans cette position du corps, les trois coordonnées seules

ne seront pas nécessairement nulles, et représenteront les trois forces des couples principaux dirigées suivant Ox^ 0^, Oz. Si maintenant on imprime aux forces un même mouvement quelconque, leurs composantes deviendront

A-xd 5 -A.a;0 , XjcC , M-i/tt , i-yO , i-yC ,

Za", Z.b", Z,c\

a, a\ a", ... étant les cosinus des angles que font leurs directions nouvelles avec les anciens axes, et devant vérifier les

relations bien connues

( a'-H&' + c-==l, aa' + bb' -i-cc=zO, ^ l etc. etc.

De plus, le déterminant

devra être égal à + 1 , ce qui conduira à des relations telles que la suivante

et toutes celles qu'on en déduit en permutant circulairement soit les lettres, soit les indices.

Dans la nouvelle position du corps, on aura, pour les coordonnées du système, les valeurs

oc ^ A.x ^^^ Ax fl 5 OL =^ \y ^^ Yytt^ Cl, ^^ Aj ■^^^ L~(X }

^=Y'. = Xxb, ^' = r,= Y,b', ^" = Y: = Z.b",

a , § , y seront les nouvelles projections de la force du couple de bras l.sur Ox, et de même a , p', y', a", §", y" seront les composantes des forces des deux autres couples. En vertu des relations entre les neuf cosinus, on devra avoir

^ a' + p.^ + f^ XI, a a' -f- [i iâ' H- y y'rrr 0,

(19) a"+ ^y'+Y'=V. aa"+P[i"+yy" = 0, ( a."'-h r+ Y'=Z?, a'a"+ ^'^" + y'y"=: 0,

(20) Z±a^'y" = XxY,Z., et

Exprimons maintenant les conditions qui assurent Téquilibre dans la nouvelle position. Ces conditions sont les suivantes :

qu'il faut joindre aux précédentes et résoudre dans tous les cas.

Écrivons les équations aux produits (19) en tenant compte des formules (22). Nous aurons

(23) j ay+^Y + yy'=0,

Éliminons a entre les deux premières. Nous aurons

Py(^'-/)-ï'(^^-y^).

La dernière s'écrit

(S' + y")y' = -Py.

En les multipliant, on trouve

PYY'(r-/^+^^-f) = 0,

ou, en tenant compte des premières équations (19) et des équations (22),

Pyy'(y.^-z.^) = o.

On aurait de même

(24) ^yy'(X|-Y|) = 0, PYY'(X|-Zn = 0.

Si donc on suppose d'abord que X|, Y|, Zl soient inégales, c'est-àdire que l'ellipsoïde central ne soit pas de révolution, il faudra que l'on ait

3yy'=o.

Supposons que l'on prenne y = 0 ; la seconde des équations (23) nous donne alors

Py' = o.

Il faut donc que deux des trois quantités p, y, y' soient nulles. Prenons

Y = 0, y' = 0; les équations (23) se réduisent à la première

et les premières équations (19) donnent

d'où l'on déduit

X^, Yy étant supposés différents, p'' — a'^ est différent de zéro, et par conséquent aussi ^ + a' . L'équation (25) entraîne donc la condition

Nous avons par suite

arzrsX,, py=£'Y,, /^S-'Z.,

£, e', e" désignant l'unité positive ou négative. Mais, comme l'équation (20) doit être vérifiée, on doit avoir

ce qui ne donne que quatre combinaisons de signes, c'est-à-dire quatre positions d'équilibre. Les 9 cosinus ont pour valeur

Les quatres positions d'équilibre sont la position initiale et celles qu'on en déduit par des renversements autour des trois axes.

Ainsi,

Quand l'ellipsoïde central n'est pas de révolution, il y a quatre j et seulement quatre, positions d'équilibre.

Passons au cas où l'ellipsoïde central, sans être une sphère, est de révolution. En vertu des équations (24), une des trois quantités p. Y, y' doit encore être nulle; supposons que ce soit y. En vertu de la seconde des équations (23), on aura encore

Donc deux des trois quantités p, y» ï' doivent encore être nulles. Supposons que ce soient y, y';

y = 0, y'rrrO.

On voit que, si l'on suppose

l'équation (25), résolue en prenant

ne sera plus incompatible avec l'équation (27), et p ne sera plus nécessairement nul. Ainsi l'on aura tout un groupe de nouvelles solutions.

L'équation de condition (28), qui exprime que l'ellipsoïde central est de révolution autour de 0^, peut être satisfaite de deux manières, soit en faisant

soit en faisant

Ax ^^^ ~~" 1 2/ •

On peut toujours supposer que l'on ait amené le corps dans la position où l'équation (29) est satisfaite. Car, si l'on avait X^= — Yy, il suffirait de faire un renversement ou rotation de 180° autour de 0^, pour changer le signe de Y^,. Supposons donc que l'on ait

Ax ^=^ ly.

Alors les formules (26) nous donnent

a"=:0, ^"=0. y"=sZ„

et la condition relative au déterminant nous apprend que

On déduit de là sans peine les valeurs des neuf cosinus, qui sont

a==cos<f, & = sin(p, c^O, a'=sm(^, b'=cos<f, c'=0, «"—0, b"=0, c"=-l,

(p étant un angle quelconque. Ces valeurs conviennent à un renversement de 180° autour d'une droite quelconque du plan des xy, c'est-à-dire d'un diamètre de l'équateur.

En résumé, étant donnée la position d'équilibre actuelle, que j'appelle B, il y en aura une autre, que j'appellerai B', symétrique de la première par rapport à l'axe de révolution, et une infinité d'autres G , symétriques de B par rapport à un diamètre quelconque de l'équateur, et qui seraient aussi symétriques de B ' par rapport au diamètre perpendiculaire.

Nous voyons comment on passe, soit de B, soit de B', à une position G; cherchons comment on passera d'une position G à une autre G'. Pour cela, il faudra faire un premier renversement autour d'une droite déterminée d de l'équateur, qui amènera le corps dans la position B ; puis un autre renversement autour d'une autre droite d', qu'on doit prendre arbitrairement dans le même plan , si l'on veut obtenir toutes les positions G'. Or, deux renversements autour de deux droites d , d' équivalent à une rotation autour de la -droite perpendiculaire à leur plan, qui est ici l'axe de révolution, d'un angle égal à l'angle des droites.

On peut donc passer d'une des positions G d'équilibre à toute autre G' par une rotation d'angle quelconque autour de l'axe de révolution de l'ellipsoïde central. En d'autres termes, le corps pourra être amené dans une position où il y aura ce que nous avons appelé un axe d'équilibre.

Remarquons ces deux groupes distincts de positions : d'une part B et B', d'autre part les positions G. Pour une de ces dernières, on peut déplacer le corps légèrement; pourvu qu'il tourne autour de l'axe, il demeurera en équilibre. Mais pour les deux autres un léger déplacement du corps, une rotation qui n'atteindra pas 180° détruira nécessairement l'équilibre.

Examinons enfin le cas où rellipsoïde central est une sphère, et où Ton a par conséquent

X| = Y| = Zf.

On peut toujours supposer que Ton ait amené le corps dans la position où ces trois quantités sont de même signe. Car, si X^, Yy sont de signe contraire à Z,, un renversement autour de Os les amènera à être de même signe. Soit donc

Xœ = Yj^ = Z. .

Les formules deviendront

aX,=:PY — ï'^% etc.

On aura donc

et par suite

Gomme p doit être égal à a , cette équation donnera

£ étant d= 1 , et Ton trouvera de même, par des opérations semblables, les deux équations

X^+a + s'CS-'+vO^O, X.+ S'+£'(a+Y"):=0.

On peut prendre e = £'= s" = + i , ce qui réduit les trois relations précédentes à

La seule solution qui ne satisfasse pas à l'équation (31) est celle pour laquelle e^ e' = £"= — 1 ; on a alors

Cette solution donne la position actuelle du corps, que j'appellerai B.

Je reviens à l'équation (31); elle nous apprend que les neuf cosinus sont liés par l'unique relation

Or, si l'on se rapporte à l'équation connue qui donne la grandeur de la rotation, on verra que, dans le cas actuel, les formules correspondent à une rotation de 180" ou à un renversement autour d'un diamètre quelconque de la sphère. On a donc une infinité de positions d'équilibre C, qui sont les symétriques de la première B par rapport à un diamètre quelconque de la sphère.

Ainsi, en résumé, il faut adjoindre à la position B, formant à elle seule un groupe, toutes celles C que nous venons de définir. La position B sera isolée; mais les autres G formeront un ensemble continu, et il est facile d'indiquer comment on passera des unes aux autres. Car, si G est connu, pour avoir toute autre position G', il faudra effectuer un renversement autour d'une droite déterminée d qui amène G en B, puis un renversement autour d'une droite quelconque d'. Or ces deux renversements équivalent à une rotation d'angle quelconque autour d'un diamètre quelconque perpendiculaire à d. Quand le corps aura été amené dans une position (G), il aura donc une infinité d'axes d'équilibre tous situés dans un même plan.

Remarquons que tous les résultats précédents s'appliquent au cas où le corps serait fixé par un point 0, alors même que les forces auraient une résultante générale; il suffira de faire la réduction en ce point, et d'y considérer l'ellipsoïde particulier de ce point.

g VI — De l'ellipsoïde central pour les différents points du corps.

Imaginons qu'ayant trouvé l'équation de l'ellipsoïde central en un point de l'espace, on veuille l'avoir pour tout autre point x' ,y\z' . Nous transporterons les axes parallèlement à eux-mêmes

Xo5

Yo,

^at

en ce point 0'. Les composantes de la résultante générale ne seront pas modifiées, mais les forces des couples changeront. On aura, pour la nouvelle origine,

( Xa; = Xa; — X Xq, Xj/ = Xi/ — y Xo5

(00)\ Xx"^^^^ J-x ^ J-05 ^y—- ^U y J-05

\ Zœ := Zj; OC liQ, Ly = Ly - y /^O ,

et si l'on forme avec ces nouvelles coordonnées l'équation de l'ellipsoïde central du point 0', on aura

(Ax^ + k'if + A"z^ + ^Byz+2B'xz+'^B"œy (34) < —^{oiX-h^jy + yz){x'x-\-y'y + z'z)

( +i\l + Yl + ZI){xx' + yy' -hzzj = i,

équation où A, A', ... ont la signification donnée par les formules (9), et où

P = XqXj, + YoYy 4- Z^Zy, Y ^^ XqXî + YqYj 4- ZqZj ,

On voit déjà que, si la résultante est nulle, l'ellipsoïde central sera, comme cela est évident a priori^ le même en tous les points de l'espace.

Cela posé, je dis qu'on peut toujours trouver un point du corps pour lequel les quantités que nous avons désignées par a, p, y soient nulles. Car supposons qu'elles ne" le soient pas au point 0 donné. Si l'on transporte les axes en un autre point 0', elles deviendront

a' = XoX. + YoY, + ZoZ,-a?'(Xo^ + Yo^ + Z^), ^' = XoX, -H YoY, + ZoZ,-^'(Xo^ -h Yo^ + Zl), y' = XoX. + YoY. + ZoZ. - z' ÇKl + Yo^ + Zl),

et il suffira, pour qu'elles deviennent nulles, que les coordonnées de la nouvelle origine soient données par les formules

XoXa;+ lo JLa;+ ZgZa; XqXj/ + YqYj, + Zq Zj/

zi "' \i+Yi-^zi

Xq + Yq + Zq

Le nouveau point ainsi déterminé s'appellera point central. Nous le retrouverons d'une autre manière ; mais dès à présent on voit facilement que ses coordonnées sont indépendantes- de l'orientation du corps; car, en appelant F^ la résultante générale, F^, F„, Fa les forces des trois couples, les formules précédentes pourront s'écrire

F.cos(F.Fo) F,cos(F,Fo) F.cos(F.Fo)

et ne dépendent que des grandeurs des forces et de leurs angles mutuels. Nous supposerons donc qu'on ait pris au début pour origine le point central, et alors l'équation de l'ellipsoïde central d'un point quelconque 0' se simplifiera et deviendra

^ '' l + {Xl+Yl + ZD {x'x + y'y + z'zY = i.

Si maintenant on a rapporté l'ellipsoïde central du point central à ses axes, on aura

B = B'=B"=:0, c'est-à-dire

(37) X,X. +Y,Y, + ZA=0, ( X,X..+ Y,Y. -f-Z,Z, =0,

équations auxquelles il faut joindre les suivantes :

( XoX. + YoY, + ZoZ.:r=0,

(38) XoX, + YoY, + ZoZ, = 0, ( XoX. + YoY. + ZoZ. = 0,

qui expriment que a, p, y sont nuls.

C'est un théorème d'algèbre facile à démontrer, que, si les équations (37), (38) ont lieu simultanément, il faut que toutes les quantités de l'un des quatre groupes X^, Yo, Z^; X^, Y^, Z^.; X^, Y^, Z/, X,, Y,, Z, soient nulles. Gomme X», Y„, Z» ne sont pas toutes nulles, il faut que l'on ait, par exemple,

(39) X, = 0, Y.=rO, Z.=:0,

ce qui entraîne

On peut, du reste, voir sans calcul que les équations (37), (38) ne peuvent exister ensemble qu'à la condition indiquée. Les équations (37) expriment que les forces des trois couples, si Tune n'est pas nulle, sont deux à deux perpendiculaires. Les équations (38) expriment qu'elles sont toutes perpendiculaires à la résultante générale. Or elles ne peuvent être à la fois perpendiculaires entre elles et à la résultante générale. Il faut donc, comme la résultante générale n'est pas nulle, que l'une des trois forces des couples principaux soit nulle. Le plan que nous prenons pour plan des xy est le plan perpendiculaire au bras du couple de force nulle. Nous établissons donc le résultat suivant :

On peut toujours réduire le système des forces à une résultante unique et à deux couples de bras perpendiculaires, dont les forces sont perpendiculaires entre elles et à la résultante unique.

Par une rotation convenable, on pourra donc ramener la résultante à être perpendiculaire aux bras des deux couples, et les forces des deux couples à être dirigées suivant les bras des deux couples. Ce sera en quelque sorte un état initial, duquel on déduira tous les autres par un mouvement quelconque du corps.

Le plan des xy, perpendiculaire au bras du couple principal de force nulle, prendra le nom de plan central, ^ous le retrouverons par une autre voie.

Supposons que, pour calculer les coefficients de l'équation de l'ellipsoïde central, nous considérions l'état initial où les forces des couples ont même direction que les bras, et où la résultante est normale à ces bras dirigée suivant Oz. On aura.

rXor=0, Yo=0, X,=:0, X.=0, Y,=:0, Y.=0, Z,=Z,=Z.=0,

L'équation de l'ellipsoïde central d'un point quelconque M de coordonnées a?', ?/'> 2;', rapportée à des axes parallèles aux axes choisis, sera

(41) Ax^ + A'y^ + Zl {XX' + y y' + zz'f = 1 .

Ainsi, nous ramenons le système des forces à un état où trois seulement des douze coordonnées ne sont pas nulles. Mais remarquons que non seulement il faut choisir convenablement les axes, mais encore supposer que l'on a imprimé au corps une rotation convenable, ou, si l'on veut considérer le corps comme fixe, que l'on a fait tourner les forces de manière toutefois à conserver leurs angles, autour de leurs points d'application.

On voit que, pour le point central, et même pour tout point du plan central {z' ■== 0), l'ellipsoïde central se réduit à un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan central. Donc l'un des trois couples sera nul, et l'on pourra réduire le système à trois forces appliquées en trois points du plan central. Gomme nous reviendrons sur cette réduction, nous jugeons inutile de l'étudier ici.

Proposons-nous d'étudier la distribution des axes des ellipsoïdes de tous les points du corps. A cet effet, cherchons les directions principales de la surface représentée par l'équation (41). Pour cela retranchons du premier membre S {x^ + y"" -\- 2*), et égalons les dérivées à zéro. Nous aurons

(42) (A'S)?/ + ZoYP = 0,

en posant, pour abréger,

xœ-' + yf + zz' = P, ce qui donne

^ZoP^' „z:-P^' ^Zo^P2'

^-8^=^' ^-S-A'' ^~" S ' et, en portant dans la dernière équation,

ZgiT" Zly" Zlz" ^

Posons

(43) k = Zla\ A'— Zo'a'% S = Z^>.. L'équation précédente pourra s'écrire

et sous cette forme elle peut recevoir une interprétation géométrique remarquable. Considérons les surfaces ayant pour focales la courbe représentée par les équations

courbe que nous appellerons la courbe centrale, et qui est une ellipse imaginaire. Ces surfaces auront une équation de la forme

X— a^ X — aJ^ X

et l'équation (44) déterminera les paramètres de celles de ces surfaces qui passent au point M {x\ y\ z). De plus, les équations (42) nous montrent que les axes de l'ellipsoïde central seront précisément les normales à ces surfaces homofocales.

Ainsi, nous retrouvons une loi semblable à celle que Ton rencontre dans la théorie des moments d'inertie. Si nous appelons couples principaux en chaque point du corps ceux dont les bras et les forces constituent deux systèmes de directions rectangulaires, axes principaux d\m point les bras de ces couples, on voit que les axes principaux sont les normales à la famille de surfaces homofocales ayant pour focale la courbe centrale.

J'ajoute que les grandeurs des forces des couples principaux s'obtiennent immédiatement. En effet, les carrés de ces grandeurs sont les inverses des rayons, et égales par conséquent à la quantité que nous avons désignée par S et qui est égale à ZoX. Ainsi, le carré de la force du couple, dont le bras est dirigé suivant la normale à la surface de paramètre X, est Zo X.

L'ellipsoïde central, rapporté à ses axes, aurait pour équation

(45) Xx' + \y' + A,z' = ^,

Xj, Xi, X2 étant les coordonnées elliptiques de son centre.

Le seul point qui ne soit pas complètement résolu concerne les directions des forces des couples. Cette question fait l'objet de l'article suivant.

Mais auparavant je démontrerai une propriété de l'ellipsoïde central, que nous retrouverons par une voie plus élémentaire. L'équation (45) représente cette surface rapportée aux trois normales des surfaces passant en son centre. Le cône supplémentaire du cône asymptote de cet ellipsoïde aura donc pour équation

Or, la théorie des surfaces homofocales nous apprend que ce cône contient la courbe centrale. Ainsi,

Les cônes asymptotes des ellipsoïdes centraux des différents points sont supplémentaires des cônes de même sommet contenant la courbe centrale.

g VII. ~ Des questions relatives à la direction des forces des couples.

Je commencerai par rappeler quelques définitions introduites par M. Gayley, et qui nous seront indispensables.

Considérons dans un plan une conique dont l'équation rendue homogène soit

M. Gayley appelle distance de deux points (x^ y, z), {x'j y', z) la fonction à définie par la formule

V<f[x,y,z) \/(f{x',y',z') et angle de deux droites dont les équations sont

mx + ny +pz = 0, m'x + n'y + p'Z'^O,

la fonction 9 définie par la formule

COS(f ==: ;

y <l^ (ni, n, p) Vt}^{m\n',p')

où ^ désigne la fonction qui, égalée à zéro, représenterait l'équation tangentielle de la conique.

Considérons, par exemple, la courbe centrale déjà définie, représentée par l'équation

A ^ A' ^ Zo^ ~ "' et dont l'équation tangentielle est

L'angle de deux droites du plan de cette courbe par rapport à la courbe sera défini par la formule

,,^^ Amm' -hk' nn' -i-Zlpp'

(46) cos<p =

KAm' + A' w' + Zlp^ Vkm'^ + A' n'^-\-7.lp'^

On voit que, si deux droites sont conjuguées par rapport à la conique, leur angle sera droit.

11 y a du reste, dans ce mode d'évaluation des angles et des distances, entre les côtés et les angles d'un triangle, toutes les relations qui ont été démontrées en trigonométrie sphérique.

J'ajoute qu'on peut très simplement représenter par des constructions les angles et les distances par rapport à une conique imaginaire. Il suffit d'abord de faire la perspective de la figure de telle manière que la conique imaginaire devienne un cercle imaginaire de centre réel et de rayon KK— 1. Alors, si au centre du cercle on élève une perpendiculaire au plan, égale à K, on aura un point fixe A jouissant de la propriété que l'angle de deux rayons quelconques AM,AM', qui le joignent à deux points M, M' du plan du cercle, est égal à la distance de MM' évaluée par rapport au cercle, et que l'angle de deux plans passant par A est égal à l'angle de leurs traces sur le plan du cercle, évalué par rapport au cercle. Ainsi, les angles, par rapport à la conique primitive, sont ramenés à des angles ordinaires.

Ces propriétés connues étant rappelées, nous allons montrer comment on peut les appliquer à la détermination des directions des forces des couples.

Supposons que l'on ait choisi pour axes les axes principaux du

point central, et que l'on considère les forces dans l'état initial déjà défini, celui où la résultante générale est perpendiculaire au plan central, et les forces des couples dirigées suivant les bras de ces couples. C'est dans cet état que nous allons examiner les variations de directions. Pour passer à toute autre position des forces, il suffira de donner ensuite au corps un mouvement quelconque.

Pour l'origine, les seules coordonnées X^, Y^, Zo ne sont pas nulles. Pour un point quelconque M {x\ y' , z'), elles s'obtiendront en appliquant les formules (33), et elles auront pour valeurs

Ax — X-jj

ll=-z'l,.

Supposons maintenant que l'on veuille les composantes de la force du couple dont le bras est dirigé suivant la droite Ma?, faisant avec les axes des angles de cosinus a, b, c. Ces composantes, calculées au moyen des formules (7), auront pour valeurs

(47) Xi=rX^a, Yi = Y,jb, Z, = — Z,{ax'-}-hij' + cz').

Posons

a=:m, b = n, ax' + btj' +cz' = — p, ^{m,n,p) = X|m^ + Y^n^ + Zip = Am^ + k'n^ + Zlp^ .

Les cosinus des angles que la force du couple fera avec les axes seront donnés par les formules

,,Q^ X,m YyH Z,p

Or m, n, p ont une signification géométrique très simple. Si au point M on élève un plan perpendiculaire au bras du couple, l'équation de ce plan par rapport aux axes principaux sera

et sa trace sur le plan central aura pour équation

mx + ntj -b p =: 0 .

On voit donc que la direction de la force d'un couple ne dépend que de la trace du plan perpendiculaire à l'origine du bras sur le plan de xij. Ainsi, pour deux couples quelconques, tels que les plans perpendiculaires à l'origine des bras viennent rencontrer le plan central suivant la même droite, les forces auront la même direction.

Supposons de plus que les bras des deux couples aient leur origine dans le même plan auxquels ils seront perpendiculaires. Les formules (47) nous montrent que les forces auront non seulement la même direction, mais les mêmes grandeurs et les mêmes sens.

Si, au contraire, les plans perpendiculaires à l'origine des bras sont distincts, les forces auront seulement la même direction, et le rapport de leurs grandeurs, égal à celui de leurs composantes X, , Yi , sera

c'est-à-dire sera égal au rapport des sinus des angles que font les deux plans avec le plan central, ou que font les bras des deux couples avec l'axe des Z.

Examinons maintenant l'angle des forces de deux couples, quand les plans perpendiculaires à l'origine des bras coupent le plan central suivant deux droites différentes représentées par les équations

mx+ ny -i-p :=0, m'x + n'y + p' = 0.

Les expressions (48) nous donneront, pour l'angle ç des directions des deux forces, l'expression

.,. Amm' -h A'nn' -hZlpp'

c'est-à-dire, d'après la formule (46), l'angle des deux traces évalué par rapport à la conique centrale. Ainsi, Si l'on considère deux couples quelconques dont les bras aient

leurs origines en deux points P, Q, V angle des forces de ces deux couples est égal ci celui que font les traces sur le plan central des plans perpendiculaires en P ef Q aux deux bras, cet angle étant évalué en prenant pour hase la conique centrale.

Ce théorème résout complètement la question de la direction des forces du couple. Supposons, par exemple, qu'on considère un couple K quelconque et le couple de bras dirigé suivant Ox; l'angle des deux forces sera l'angle que fait la force du couple K avecOa:, et cet angle sera égal avec celui de la trace K' du plan perpendiculaire à l'origine du bras du couple K avec l'axe des y , cet angle étant évalué par rapport à la conique centrale. De même, les angles de la force avec OyeiOz seraient les angles, évalués par rapport à la courbe centrale, de la trace K' avec 0^:; et la droite de l'infini. C'est, du reste, la traduction des formules (48).

Des propositions précédentes résultent plusieurs propriétés géométriques des ellipsoïdes centraux des différents points. Par exemple.

Étant donnés les ellipsoïdes centraux des plans P, Q, les sections centrales faites normalement à la droite PQ dans les deux ellipsoïdes sont égcdes.

Car, si l'on élève en P et en Q des perpendiculaires à un plan quelconque passant par PQ, les rayons des deux ellijpsoïdes correspondants sont égaux comme mesurant les forces de deux couples, qui doivent être égales d'après les remarques précédentes.

Un cas particulier de cette proposition offre de l'intérêt. On reconnaît aisément que les normales élevées par le centre de l'ellipsoïde central perpendiculairement aux plans cycliques sont les génératrices rectilignes de l'hyperboloïde ayant pour focale la courbe centrale. Cela résulte de ce que le cône asymptote de l'ellipsoïde est supplémentaire de celui qui contient la focale. Si donc on se déplace suivant une génératrice de cet hyperboloïde, tous les ellipsoïdes centraux auront toujours un de leurs plans cycliques perpendiculaires à cette génératrice, et tous les cercles situés sur ces ellipsoïdes et dont les plans passent par leurs centres auront les mêmes rayons.

Si Von considère trois ellipsoïdes centraux des points P , Q , R, les diamètres de chacun d' eux perpendiculaires au plan P, Q, R seront égaux.

Je citerai encore les conséquences suivantes :

Etant donnés les ellipsoïdes centraux de deux points V , Q, si par les points V ^ Q on mène des plans quelconques se coupant suivant une droite du plan central, le rapport des rayons perpendicidaires à ces plans sera égal à celui des sinus des angles qu'ils font avec le plan central.

Si l'on mène par le centre d'un ellipsoïde central des plans perpendiculaires à des rayons égaux, ils touchent une des surfaces ayant la centrale pour focale, et qui demeure toujours la même quand, l'ellipsoïde variant, les rayons égaux conservent la même grandeur.

Les plans cycliques des ellipsoïdes centraux sont perpendiculaires aux génératrices rectilignes des surfaces ayant pour focale la centrale et passant par le centre, et de plus les rayons des sections circulaires dont les plans passent par le centre sont les mêmes pour tous les ellipsoïdes dont le centre décrit la même surface homofocale.

Toutes ces propositions sont presque évidentes si l'on combine avec la remarque sur la grandeur de la force du couple faite au début de cet article, la détermination des forces des couples principaux donnée à l'article précédent et d'après laquelle, pour tous les couples principaux dont les bras sont normaux à la même surface homofocale, les grandeurs des forces qui ne dépendent que du paramètre de cette surface, sont égales.

g VIII. — Démonstration du théorème de Minding.

Au moyen des propositions qui précèdent, on peut démontrer d'une manière intuitive le théorème de Minding sur la disposition des droites qui peuvent être les résultantes uniques du système des forces.

Considérons un point M quelconque du corps, et cherchons la condition pour que les forces appliquées au corps se réduisent à une résultante unique passant en ce point. Supposons que Ton ait réduit les forces du système à une résultante unique passant en M et aux trois couples dont les bras sont les axes de l'ellipsoïde central du point M. Pour que les forces se réduisent à une résultante unique passant en M, il faut évidemment que le corps ait été amené dans une position où les trois couples se détruisent. Or, nous avons vu que, si Tellipsoïde central n'est pas de révolution, cela ne peut arriver que pour quatre positions du corps, celles pour lesquelles les bras des trois couples principaux ont même direction que les forces, et que ces positions sont deux à deux symétriques par rapport à l'ellipsoïde central. A ces quatre positions correspondront quatre positions de la résultante générale, symétriques deux à deux par rapport à l'un des axes de l'ellipsoïde central. Ainsi,

Étant donné un point quelconque U, il y a en général quatre, et seulement quatre, positions du corps pour lequel le système des forces se réduit à une résultante unique passant en M. Les quatre résultantes qui passent en M sont deux à deux symétriques par rapport aux axes de l'ellipsoïde central.

Les conclusions précédentes ne sont plus entièrement exactes si l'ellipsoïde central du point M est de révolution. On sait que cela aura lieu pour tous les points de deux courbes situées dans les plans des xy et des zx. Nous avons vu, en effet, que les directions des axes de l'ellipsoïde central sont celles des normales aux trois surfaces homofocales du système défini par l'équation

et que les inverses des carrés des axes sont proportionnels aux paramètres des trois surfaces homofocales qui passent au centre de l'ellipsoïde. Il faut donc chercher le heu des points de l'espace pour lesquels l'équation qui détermine les paramètres des surfaces homofocales a deux racines égales, et ce lieu bien connu se com-

pose de deux courbes réelles

(50) îf z^ ] œ' ^

qui sont une ellipse et une hyperbole, focales du système des surfaces. C'est donc pour les points de ces courbes que l'ellipsoïde central sera de révolution, son axe étant la tangente à la focale au centre.

Or, quand l'ellipsoïde central est de révolution, on sait qu'il y a une infinité de positions dans lesquelles les couples se détruisent, et que toutes ces positions se déduisent de l'une d'elles B , en prenant le symétrique de B par rapport à un diamètre quelconque de l'équateur. Il y aura donc une infinité de positions du corps pour lesquelles les forces se réduiront à une résultante unique, et toutes les positions de la résultante unique dans le corps seront les symétriques de l'une d'elles ^ par rapport à un diamètre quelconque de l'équateur. Toutes ces positions symétriques engendrent évidemment un cône de révolution, contenant la droite § et ayant pour axe l'axe même de l'ellipsoïde, c'est-à-dire la tangente à la focale. Ainsi

Il y a une infinité de positions du corps pour lesquelles le système des forces se réduit ci une résultante unique passant par un point de l'une des deux focales, et le lieu de toutes ces résultantes uniques dans h corps est un cône droit ayant pour axe la focale.

Ce résultat, rapproché du précédent, fait prévoir le théorème de Minding, mais ne le démontre pas entièrement. Il suffira d'ajouter quelques mots. Considérons un point quelconque du plan de l'une des deux focales, par exemple, un point M situé dans le plan des zy^ mais non sur la focale qui est dans ce pjan. Supposons que l'on parte de ce que nous avons appelé l'état initial des forces, c'est-à-dire de cet état où la résultante est dirigée suivant 0^^ et les forces des deux couples de bras Ox,0y dirigées suivant ces bras.

Si, dans cet état, on veut faire la réduction pour un point M du plan des yz, le couple introduit par la translation de la résultante ne changera nullement la direction des forces du couple dont le bras est perpendiculaire au plan des ijz; en sorte que, la résultante étant située dans le plan des yz, les deux couples principaux, dont les bras sont dirigés dans le même plan, auront leurs forces situées aussi dans ce plan, et le couple dont le bras est perpendiculaire à ce plan aura ses deux forces dirigées suivant le bras. Ceci étant admis, il est clair que les rotations qui amèneront les couples à se détruire seront soit des rotations autour du bras parallèle hOx, soit un renversement autour d'une droite au plan des yz. Tous ces mouvements laisseront la résultante générale, qui deviendra la résultante unique, dans le plan des yz. Ainsi,

Pour tout point du plan de l'axe des focales li appartenant pas à la focale^ les positions de la résultante unique sont situées dans ce plan.

Le théorème de Minding est une conséquence évidente de ces propositions. Car soit un point M en dehors du plan de Tune des focales, et soit R la direction de l'une des résultantes uniques passant en M , cette direction ne peut rencontrer le plan de la focale qu'en un point de la focale, puisque, si elle le rencontrait en un point non sur la focale, elle devrait être tout entière dans ce plan. Ainsi toute résultante unique qui n'est pas dans le plan de l'une des focales, la rencontre. Elle la rencontre aussi évidemment si elle est dans son plan. Nous avons donc le théorème suivant :

Si Von amène le corps dans les positions où les forces se réduisent à une résultante unique, les lignes d'action de ces résultantes uniques vont toujours rencontrer deux courbes fixes du corps, qui sont une ellipse et une hyperbole, focales l'une de Vautre.

Il ne sera pas inutile de confirmer cette proposition par un calcul direct, qui nous permettra d'obtenir d'autres résultats.

Supposons que, parlant de l'état initial, celui où les seules coordonnées qui ne soient pas nulles sont X.^ , Y^ , Z„ , on change

d une manière quelconque la direction des forces par rapport à celle du corps.

Si a , b , c; a' , b' , c' ; a" , b" f c" désignent les cosinus de trois directions rectangulaires, on aura, pour les projections de la résultante et pour celle des deux couples de bras Ox, Oy, les valeurs

Aq = CLq, 1q =r c Zq, Lq = C Zq,

auxquelles on peut joindre

Voyons ce que deviennent ces expressions pour un point quelconque M {x, y, z) de l'espace, lorsqu'on transporte l'origine en ce point. En appliquant les formules (33), on trouve

Xq = cZq, Yo:^C^o, Zo=cZq,

[ \x — XxCl — ex Ùq^ \x — AajCî — C X /jQ,f Lix — XxOi — c XLq ,

(51) X^r=:Y,6-cî/Zo, Yi;r=Y,&'-c'?/Zo, Z^ = Y,6"-c"|/Zo,

en sorte que, dans la position actuelle des forces et des axes coordonnés, les sommes des moments par rapport aux trois axes ont pour valeurs

/L'=Y,b"-(c"?/-c';2)Zo,

(52) M' = — X^ft" + {d'x — C2)Zo, (n' =X,,a' -Y,jb + {cy — c'x)Z,,

et les projections de la résultante générale sont

(.53) X' = cZo, Y'=c'Zo, Z'=c"Z,.

Pour que le point M, qui est la nouvelle origine, soit un point de l'axe central des moments du système des forces, il faudra que l'on ait

On devra donc avoir, si l'origine est un point de Taxe central

/ L' = c(Y,fl'— X.&),

(54) M'^c'(Y,a'-X,6), ( N'r:rc"(Y,a'-X.&),

et ces équations peuvent s'écrire

( {c'z - d'y)l, = - ¥Y, + c Çï,a' - X.&),

(55) {c"x- cz)Z, = X^a" + c'(Y,a' — X,b),

1 {cy-c'x)Z, = Yyb- X.a + c"(Y,a' — x;&).

D'ailleurs, l'axe central étant parallèle à la résultante générale, il sera déterminé si l'on connaît x, y, % et c, c', c", qui sont les cosinus des angles qu'il fait avec les axes. Il faudrait donc éliminer des équations précédentes, pour avoir les propriétés de l'axe central, «,6, a', 6', a\h\ qui dépendent d'une arbitraire lorsque c, c', c" sont donnés; et comme les trois équations précédentes équivalent à deux, il restera une seule équation entre x^ y, z, c, c\ c\ L'axe central des moments appartiendra donc à un complexe de droites.

Pour former l'équation de ce complexe, élevons les équations précédentes au carré et ajoutons-les. Nous trouverons, en tenant compte des relations les plus simples entre les neuf cosinus,

(56) ic'z-c''yy + {c"x-czy-h{cy-c'xy^^-c' + ^c'\

A, A' désignant, d'après nos notations, A=X^., A'=Yy. L'équation précédente, ne contenant plus que les éléments qui définissent l'axe central, est l'équation d'un complexe du second ordre que l'on a déjà étudié. (Voir le travail de Painvin sur un complexe particulier du second ordre, dans les Nouvelles Annales.) On peut le définir comme le lieu des droites d'intersection de deux plans tangents rectangulaires menés respectivement aux deux focales déjà considérées. Ainsi, Lorsque le corps occupe toutes les positions dans l'espace,

l'axe central des moments prend dans le corps la situation de toutes les droites d'un complexe du second ordre, jouissant de la propriété commune cjue les plans tangents menés par elles aux deux focales de Minding sont rectangulaires.

Si l'on veut, de plus, qu'il y ait une résultante unique, il faudra écrire les équations

L'=0, M' = 0, N' = 0, ce qui se fera en adjoignant aux équations (55) la suivante

qui exprime que le couple résultant est nul. Les deux premières équations (55) deviendront

Z{C'Z—C"IJ) = - &%, Z,{C"X — CZ) zzz «X,

et l'on en déduit

{cz—c"yY {c"x — czf 1 / .2 , ,m * / 2 , -n

(57) A{c'z—c"yy + A' {c"x-czy = ^{c' + c").

Cette équation, jointe à l'équation (56), définira la congruence des droites, lignes d'action d'une résultante unique. On voit que cette congruence est du quatrième ordre et de la quatrième classe; c'est-à-dire que, par tout point de Tespace et dans tout plan, il y a quatre droites satisfaisant à la condition proposée. Combinons les équations (56), (57) de manière à faire disparaître le terme (c'z — c"y)\ Nous aurons

(A' — A){c"x-czy~A{cy-c'xY=:-^^^' 7^^(^''

Cherchons le point où une droite quelconque de la congruence coupe le plan des y z, et pour cela faisons dans l'équation précédente a? = 0. Nous trouverons

(A — A')2^ + Af =

où

ce qui est l'équation de Tune des focales. Toutes les droites rencontrent donc la focale située dans le plan des t/z, et l'on démontrerait de même qu'elles rencontrent la focale située dans le plan des z. C'est le théorème de Minding.

On voit comment il se fait que ces axes appartiennent au complexe des axes centraux des moments. Les plans tangents aux focales aux deux points où elles sont coupées par une droite sont bien rectangulaires.

§ IX. — Des axes principaux de rotation de Môbius.

Mobius a donné le nom d'axes principaux de rotation à des droites jouissant de la propriété suivante : Quand le corps tourne autour de ces droites, le système des forces peut toujours être remplacé par deux forces, toujours les mêmes, appliquées aux mêmes points de cet axe, en sorte que dans toutes les positions du corps l'axe sera pressé de la même manière, ce qui constitue, comme nous l'avons fait remarquer dans l'introduction, l'analogue d'une propriété du centre des forces parallèles. Voici comment on peut établir avec Mobius qu'il existe en général deux axes principaux de rotation.

Si, dans la rotation du corps autour d'un axe, le système peut être réduit à deux forces appliquées en deux points de l'axe, ou, ce qui est identique, à une force et à un couple de bras parallèle à l'axe, c'est dire que, dans toutes les positions que le corps peut prendre en tournant autour de l'axe, le système des forces sera tenu en équilibre par une force et un couple de bras parallèle à l'axe. Il faut donc exprimer qujen introduisant une force nécessairement égale et de sens contraire à la résultante générale et un couple de bras parallèle à l'axe, le nouveau système ainsi obtenu admet l'axe donné pour axe d'équilibre.

Rapportons le système des forces à trois axes rectangulaires. Soient A, B, G les composantes de la résultante générale, et

les équations de la direction de l'axe. Il faut qu'en introduisant une force de composantes — A, — B, — G, appliquée en un point (^0 1 Vo i ^o) de l'axe, et un couple de force ^ , yj , J^ , et de bras dont les projections seront p, q, r, \° le système soit en équilibre; ^^ que cet équilibre subsiste quand le corps tournera autour de l'axe fixe. Exprimons cette double condition en appelant X.^. , X^ , X, , Y^ , . . . les coordonnées du système donné des forces, les conditions pour qu'elles soient tenues en équilibre sont les suivantes

fBx, — kîJo-^^q — -qp + X,j — Yy = 0, (o8) \cy,-Bz, + •^r-i;^ + Y. -Z, =0,

( A^o — Ca7o + 'Çp —^r ~h Z^ — X, = Q .

Pour exprimer maintenant que l'équilibre subsiste quand le corps tourne autour de l'axe, il faut substituer dans les formules (4) les valeurs que prennent les coordonnées X^., X^,..., quand au systèine des forces données on ajoute la force — A, — B, — G et le couple de bras p, q, r et de force B^, -q/Q. I^es nouvelles valeurs sont

/ X; =: X^. + ^p—Ax, , Y'^=Y^-i-rtP~Bx,, Z; = Z^ + Kp—Cx, ,

(59) Y;=zX, + ^g-A|/o, Yl = Y, + r,q-By,, Zl = Z, + Kq-Cy,, [x: = \, + ^r-Az,, Y:=Y,+-qr-Bz,, z:=Z, + ^;r-C^o• Si l'on pose, pour abréger,

/ E=pX,+ qX,+ rX,-p{X, + Y, + Z,),

(60) H'=iîY, + îY, + rY, — ^(X,. + Y, + Z,), ( E"=: pZ, + qZ, + rZ, — r(X, + Y^ + Z.-),

les équations (4), après qu'on y a substitué à la place de X.^, ... les valeurs définies par les formules (59), deviennent

f H + pika},-hBy,'hCZo) — A{px, + qyo-^rz,) + q{^q—rip)—r(;Cp-'çr) = 0,

mn'-hq{kx, + By, + Gz,)—B{px,-hqyo-hrz,)-i-r{r,r—'Cq)—p{^q—r,p)=0,

[II" -h r{tiXo + By,-i-Qz,)—C{px, -h qy, + rz,)+p(Çp~'ir)-q{r,r—iÇq) = 0,

Ces trois équations, jointes aux formules (58), expriment toutes les conditions nécessaires et suffisantes.

Si l'on multiplie les équations (58) par r, 2?, q respectivement, et qu'on les ajoute, on en déduira une première équation ne contenant pas H , -/] , ^ ,

(62) A{qz,—ryo) + B{rx,—pz,) + C{ptJo—qoc,) + L =: 0, oii l'on pose

Si des mêmes équations (58) on tire les valeurs des binômes Eq — 7]p, etc., et qu'on les porte dans les équations (51), on obtiendra les trois équations

fK + B{py, — qx,)-C{rx,—pz,) = 0,

(64) j K'+ C{qZo~ry,)—k{py, — qx,) = 0, {K''+ A{rx, — pz,) — B{qz, — ry,) = 0,

où l'on a posé

( K = — ^(X, + Y, + Z,) + ^X, + § Y, + rZ,,

(65) K'= - ç(X, + Y, + Z.) + pX, + qYy + rZ„ ( K"= - r(X, + Y, + Z,) + ;)X. + ^ Y, + rZ. ,

en sorte que les quatre équations (62) , (65) seront les seules auxquelles doivent satisfaire les six quantités x^, z,^, y^fP, q , r. Si l'on connaissait ces six quantités, les équations de Taxe cherché seraient

X — Xq y î/q z Zq .

cet axe ne semble donc pas être déterminé. Mais remarquons que les quatre équations ne contiennent que les expressions

P^ Q, r, py. — qx,, rx,—pz,, qz^ — ry,,

c'est-à-dire ce que Plûcker a appelé les coordonnées d'une droite. Chacune d'elles représente un complexe linéaire. Elles détermineront donc, à elles quatre, deux droites sur chacune desquelles le point x^, ya, z^ sera pris arbitrairement.

On peut, du reste, achever le calcul d'une manière assez élégante. Multiplions les équations (64-) par A, B, G, et ajoutonsles; nous aurons une première équation