OG) AK+BK' + CK

linéaire et homogène en p,q, r .

Multiplions ensuite Téquation (65) et les deux premières (64-) par — G , B , — A . et ajoutons-les. Nous trouverons

/ (p2^o — îa;o)(A^ + B^ + C^) = BK— AK'-GL, \ et) de même

f (^;^o — ^'î/o) (A'-hB" + C^) = CK'— Br-AL, \ (ra?o-p2:o)(A'+B^ + G^)r=AK"— GK — BL,

En portant dans l'équation (62) les valeurs des binômes Pl/o — qsc^ , etc. , nous aurons

(68) K(Br-C^) + K'(GiJ— Ar) + K"(A^-B;)) — L(Ai/+Bg+Gr)=0,

équation homogène du second degré en p, q,r, qui, jointe à l'équation (66), donnera pour p , q^ r deux systèmes de valeurs. Les équations (67) feront ensuite connaître les autres coordonnées de l'axe, et les formules (58) détermineront autant quelles peuvent Têtre ^ , y] , ^.

Il est clair que le couple ne peut pas être complètement déterminé; car toutes les conditions du problème ne cesseront pas d'être satisfaites, si l'on ajoute deux forces égales et contraires appliquées en deux points de l'axe et ayant la direction de cet axe. G'est ce qui explique pourquoi ^ , t] , (^ , ne sont pas complètement déterminés.

g X. — Lieu des axes principaux de rotation dans toutes les positions du corps.

Proposons-nous maintenant, après avoir déterminé les axes principaux de rotation dans une position particulière du corps, de trouver le lieu de ces axes quand les forces changent de position par rapport au corps.

A cet effet, considérons une droite quelconque D, et cherchons à quelles conditions elle doit satisfaire pour pouvoir devenir un axe de rotation. Remplaçons le système des forces par une résultante appliquée en un point M de D, et par trois couples de bras perpendiculaires, Fun des couples ayant son bras dirigé suivant la droite D.

îl faut qu'en introduisant une force appliquée en M, qui détruira la résultante générale, et un couple de bras dirigé suivant D, le corps puisse être amené dans un état d'équilibre qui persistera après un« rotation quelconque de la droite D. 11 faut donc que l'ellipsoïde central du point M, après qu'on aura introduit ce couple de bras dirigé suivant D, devienne de révolution autour de la droite D.

Or, pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment que les forces des couples de bras perpendiculaires à D soient égales, quels que soient du reste ces deux bras, pourvu qu'ils soient perpendiculaires, et comme ces forces sont inversement proportionnelles aux rayons de l'ellipsoïde central primitif, on voit que l'ellipsoïde central du point M devra être tel que sa section normale à la droite D jouisse» de la propriété que deux quelconques de ses rayons soient égaux quand ils sont perpendiculaires, ce qui exige que cette section soit un cercle. Ainsi

ToîUe droite susceptible de devenir un axe 'principal de rotation doit être perpendiculaire à l'un des plans cijcliques de Vellipsoide central de Vun de ses points, et par conséquent doit être une génératrice rectiligne de l'une des surfaces homo focales déjà considérées, qui ont pour focales la courbe centrale.

Je dis que, réciproquement, toute droite ainsi définie peut devenir un axe principal de rotation. En effet, je réduis le système des forces à une résultante passant par un point M de cette droite et à trois couples : l'un dont le bras est dirigé suivant la droite, les deux autres dont les bras sont normaux à la droite et normaux entre eux. Les bras de ces derniers couples étant conjugués par rapport à l'ellipsoïde central, en vertu des équations (11), les forces de ces deux couples sont normales. Je

puis donc faire tourner le corps de telle manière que les forces égales de ces couples prennent les directions des bras, l'une des forces étant dirigées vers le centre et l'autre en sens contraire. Si dans cette situation des forces, j'applique un couple égal et contraire à celui qui a son bras sur la droite D , et une force détruisant la résultante unique, j'aurai un équilibre qui ne sera pas troublé par une rotation autour de D. Car lorsqu'on suppose que ce mouvement se produit seul, on peut faire tourner l'un des bras des couples de 90° autour de l'axe de rotation D sans changer l'effet de ce couple, et alors les deux couples ont même bras des forces égales et contraires, et se détruisent toujours.

Ainsi, il y a toujours une position du corps pour laquelle l'une des droites défmies devient un axe principal de rotation.

Un calcul assez simple conduit aussi au même résultat. Supposons le corps placé dans l'état initial; nous allons exprimer qu'en introduisant une force égale et contraire à la résultante et de point d'application x^,y^,z^, et un couple de force X^ , Y, , Zj , et de bras x^,y^,z^, l'ellipsoïde central du nouveau système a un axe de révolution parallèle au bras du couple. Il est clair, en effet, que, si cette condition est remplie, on pourra donner au corps une position telle que l'équilibre existe et ne soit pas troublé par une rotation autour de toute droite parallèle à l'axe de révolution, c'est-à-dire au bras du couple. Si donc on effectue une rotation autour de la droite parallèle à cet axe, menée par le point ^0 ) ?/u j "o > l'équilibre ne sera pas troublé, et la droite définie par les équations

x — x, y — Vo z—z^

Xi î/i Zj

sera un axe principal de rotation. ,

Si l'on introduit la force et le couple déjà définis, l'équation de l'ellipsoïde central du nouveau système sera

(c^x--bxY + {XoZ + y,y-hZo^Y+'^iaK^x-t^'Y^y) {xx^+yy^+zz,)

I +f{xx^+yy^-\-zz,Y—'^l,{xx,+yy,-\-zz,) {xx,+yy,+zz,) = — ,

où Ton a posé, conformément aux notations précédentes.

Il faut exprimer que cet ellipsoïde a pour directions principales toutes celles qui sont perpendiculaires au bras du couple introduit.

Si une direction est définie par les équations

il faudra exprimer que l'ellipsoïde a pour directions principales toutes celles qui satisfont à TéquaLion ,

(70) xx^-\-xjy^ + tz^^=^^.

Écrivons, en tenant compte de cette condition, les équations qui définissent les sections principales; nous aurons

ié — i)x + (a?a?o + ijijç, + ^Zo)a?o + x^a.x\^ + a' «/Yj— 2 Z^ {xx^ + yy^ + zz^ = 0 ,

(a''— s)y + {xx, + yy, + 2^0)^0 + ^Jl[c^ocX^ + a'«/Y,— 2 Z^ {xx, + yy^ + zz,)] = 0,

— sz + {xx, + yy^ + zz,)z^ + z~[ax\^ + a'îjY^—'^Z^ {xx^ + yyo + -^^o)] = 0 .

Désignons par X, f/., v trois arbitraires telles que Ton ait

(7'J) 'kXi-\-[xyi + ')Zi = 0,

ajoutons les équations précédentes, après les avoir multipliées par A , fx , V ; il restera

(a^ — s)Xx-h{a'^ — s)\).y — svjS

-h{xx,-hyyo-h2Zo){'kx,-hiiyo + ^y;)=zO.

Cette équation, pour une valeur déterminée de 5, doit être identique à réquation (70), ce qui exige que Ton ait

(a^ — S)X + Xo{'kXf^+ lJ.yo-h^)Zo) — hXi=zO,

{a'^—s)[i.-hy^ÇkXo+[xyo + ^fZo) — hyi = 0, — s ^ + Zo{XXq+ [xy^ + ^Zo) — hZi = 0.

Éliminons h entre ces équations, et pour cela multiplions-les

par des arbitraires X', y,', v', telles que l'on ait

(72) rx, + [j.'yi + ^'z,^0.

Nous aurons l'équation

{ot.^—s)Xk' + (a'^ — s)iV - svv'

qui devra être satisfaite pour toutes les valeurs de X , jjt, , v , X' , y.' , v' satisfaisant aux équations (71), (72). En faisant des hypothèses telles que celles-ci

X = 2/i5 ix = — a?!, v = 0,

nous en déduirons les équations suivantes,

(a' — s)y^Zi — {cc,yi—yç,Xi) {z^œ^ — ocoZ^) = 0,

(a' 2— s)x^Zi — {x,yi—yoXi) {y.z^ — z,yi) = 0,

— s x^y^— {z,x^—x,z,) {y,Zi — z,y,) = 0.

En résumé, si nous remplaçons x^, y^, z^ par a; , ?/, s ; iCi , y^, z^ par p , ^ , r, les équations de Taxe principal de rotation seront

X, Y, Z désignant les coordonnées d'un point variable: a?, y^ z, p, q, r seront liées par les équations

(a^ — s)qr — {py — qx) (rx—pz) = 0,

(a'^— s)pr — ipy — qso) {qz — ry) = 0,

— s pq — {rx — pz) {qz — ry) =: 0,

et, en éliminant 5 , on aurait deux équations définissant une congruence de droites. On tire des équations précédentes

py-'qoo = ^r~, qz—ry=p-^ -, rx—pz=q-rT—^

où l'on a posé

H = y-s{a.'-s){oi."-s),

En éliminant p, q, r entre ces trois équations, on trouve

Cette équation exprime qu'un point de la droite est sur la surface homofocale de paramètre s. Ce point étant d'ailleurs un point quelconque de la droite, puisque les équations (71) ne contiennent que les coordonnées d'une droite, on voit que l'axe principal est bien une génératrice rectiligne de la surface de paramètres.

C'est le résultat auquel nous avons été conduits par la géométrie.

g XI. — De la réduction par l'emploi de la composition des forces parallèles.

Nous avons, dans les articles qui précèdent, développé toute la théorie en nous appuyant sur la notion de l'ellipsoïde central, qui nous paraît la plus importante dans l'étude de cette question. Nous allons maintenant montrer comment on aurait pu prendre pour point de départ la composition des forces parallèles. Cette méthode nous donnera du reste, par la comparaison avec la précédente, quelques résultats nouveaux.

Considérons les composantes des forces parallèles à une direction donnée, c'est-à-dire les projections orthogonales sur des parallèles à cette direction, menées par les points d'application des forces, et cherchons le centre de ces forces parallèles. Soient a,b,c les cosinus des angles que fait leur direction avec les axes, supposés rectangulaires. Si nous désignons par R la résultante, les théorèmes connus et l'application du théorème des moments nous donneront les trois équations

!R = Xott + Y06 + Z0C, Ry^=Xya-^Y,jb + lyC, R Zi= X, a + Y= & + Z^ c,

x^, 1/, , 2, désignant les coordonnées du centre de ces forces

parallèles.

Si entre ces équations on élimine R, a, p , y, on trouve

réquation

1 5 Xo, Yo, Zy

•^1) -^xj 1x5 ^x 2i 5 Xj , Y- 5 Zs

qui représente un plan. Donc

Les composantes de toutes les forces du système parallèles à une direction donnée ont leur centre des forces parallèles dans un plan fixe du corps.

Il est facile de reconnaître sans calcul que ce plan est celui que nous avons appelé plan central. Car on voit que, si l'on décompose toutes les forces suivant trois directions rectangulaires, et que Ton compose en une seule les forces de chacun des trois systèmes de forces parallèles ainsi obtenus, le système entier sera réduit à trois forces, dont les points d'application seront évidemment indépendants de la position du corps, et qui seront trois points A, B, C du plan précédent. En plaçant en A des forces égales et contraires à celles qui agissent en B et C, le système sera réduit à une force unique appliquée en A, et à deux couples de bras AB, AG. Cette propriété suffit pour nous faire reconnaître que le plan qui contient les points tels que A, B , G est le plan central.

Prenons le plan central pour plan des xij. Alors, dans les formules (74), Zj devra toujours être nul, ce qui exige que l'on ait

Nous supposerons en outre qu'on ait pris pour origine le centre des composantes parallèles à la résultante générale. Les coordonnées de ce point sont définies par les formules (74), où l'on remplace a, p, Y par des quantités proportionnelles à \,Y^,Z^, ce qui donne

XqXo; + YqYj; + ZqZ^

Yo^+Z^

XoXy + Y0Y2, + ZqZj

Xa H- Yn 4- Zn

__X„X. + YoY, + ZoZ.

Xq + Yq + Zq

5-2 Nous reconnaissons le point que nous avons appelé point central [équation (35)]. En le prenant pour origine, on doit avoir

XqX^j; 4- YoYjc 4- ZqZx = 0 , XflXy + YqYj^ + ZqZj, = 0 .

Si Ton suppose que le corps ait été amené dans la position que nous avons appelée position initiale, ces équations sont satisfaites, les seules quantités qui ne soient pas nulles étant

Aa;, ly, ZlQ.

Nous conserverons les notations employées

Avec ces hypothèses, les formules (74) se réduiront aux suivantes

Ra?i = X^a,

Ryi =

On en déduit

h Zo c Y,

Cela posé, considérons les centres des composantes parallèles à deux directions rectangulaires, définies par les cosinus a , b, c , a , b' , c' . On aura, en appelant x , y , x' , y' les coordonnées des deux centres,

Cl ^0 ^ •^ 0 I

c-ïT/' 7-xf'

b Zo „. b' Zo ,,,

et, en écrivant la relation de perpendicularité,

XX' yy'

Celle équation exprime que les deux centres des forces parallèles sont conjugués par rapport à Tellipse imaginaire

Cette ellipse est celle que nous avons déjà considérée sous le nom d'ellipse centrale. Ainsi

Les centres des composantes parallèles à deux directions rectangulaires quelconques sont conjugués par rapport à Vellipse centrale.

Considérons maintenant les composantes parallèles à une direction perpendiculaire à la résultante générale. Elles n'auront plus de résultante, mais se réduiront à deux forces K , — K, de points d'application ^ , y] , C; ^'j "^S C- En appliquant encore le théorème des moments, on aura

Ainsi, le couple auquel se réduisent ces composantes a son bras parallèle au plan central. Supposons que l'origine de ce bras ait été transportée au point central; ^', r/ , ^' , et par conséquent ^ seront nuls et l'on .aura

(77) K? = X.a, Kri = Y,b.

a et b étant comme précédemment les cosinus des angles que fait la direction des composantes avec les axes, et c étant nul, on aura

Considérons deux directions rectangulaires, définies par les cosinus rt, b; a', 6'; les couples correspondants seront définis par les formules

Kfi = Y,b, K'y)' =Y,jb',

aa' + bb' =0.

et par conséquent l'on aura

Donc les bras des couples correspondants à deux directions rectangulaires des composantes sont deux diamètres conjugués de l'ellipse centrale.

On déduit également des formules (77) la relation

Supposons que le bras du couple soit pris égal à 1 ; K deviendra la force du couple et l'équation précédente exprime qu'une lon-

gueur égale à ^, portée dans la direction du bras, sera le demi-

diamètre de Tellipse

qu'on déduit de la courbe centrale, en changeant de signe, dans l'équation de celle-ci, le terme tout connu.

Des propositions précédentes résultent déjà plusieurs manières de faire la réduction des forces appliquées à un corps solide.

Supposons d'abord qu'on décompose chacune de ces forces en trois autres, parallèles à trois directions rectangulaires. En composant séparément les trois systèmes de forces parallèles ainsi obtenus, toutes les forces du corps seront remplacées par trois forces rectangulaires appliquées en trois points du plan central. De plus, les directions des forces étant rectangulaires ^ ces trois points seront les sommets d'un triangle conjugué par rapport à la courbe centrale.

Si l'une des trois directions rectangulaires est parallèle à la résultante générale, les forces pourront être remplacées par cette résultante générale, appliquée au point central, et par deux couples, dont les forces seront perpendiculaires entre elles et à la résultante générale, et dont les bras seront dirigés suivant deux diamètres conjugués de la courbe centrale.

En particulier, si les deux diamètres conjugués choisis sont les axes de la courbe centrale, on aura la réduction à une force et à deux couples dont les bras sont perpendiculaires en même temps que les forces. C'est le résultat qui a déjà été obtenu par la première méthode.

La propriété qu'a le système des forces de pouvoir être repré-

sente, et d'une infinité de manières, par un système de trois forces rectangulaires appliqués aux trois sommets d'un triangle conjugué, va nous conduire sans effort à une propriété de l'ellipsoïde central déjà démontrée.

Si nous désignons par R, , R^ , Rj les grandeurs des trois forces ; par a?, , y 1 5 2^1 ; ^2 , y^ , 2^2 ; ^3 ? Hz ? '^■i les coordonnées de leurs points d'application ; l'équation de l'ellipsoïde central d'un point quelconque, qu'on peut supposer pris pour origine des axes coordonnés, sera, d'après la formule (16),

( Rf {xx^ + yyi + zz,Y + R| {oGx,^-hyîj,^ + zz,J

{ -^Vilixx^-^-yy^ + zz^Y^^i.

Cette forme d'équation nous apprend que les plans

xx^ + yy^ + zz^ = Q, xxs + yys-hzzs = 0,

per^ ndiculaires aux droites qui joignent le centre de l'ellipsoïde aux trois plans d'application, sont trois plans diamétraux conjugués de l'ellipsoïde, et par conséquent que les droites qui joignent le contre aux trois points d'application des forces sont trois directions conjuguées dans le cône supplémentaire du cône asymptote de l'ellipsoïde central. Gomme elles sont aussi évidemment conjuguées dans le cône ayant pour base la centrale, il en résulte que ces deux cônes coïncident.

Le cône asymptote de V ellipsoïde central d'un point quelconque est supplémentaire du cône de même sommet ayant pour base la focale, et par conséquent il doit avoir les mêmes axes, qui sont les normales aux surfaces passant par le point et ayant pour focale imaginaire la courbe centrale.

Ainsi se trouvent démontrées géométriquement les propriétés de l'ellipsoïde central que nous avions d'abord obtenues par un calcul direct.

Nous terminerons ce qui concerne les projections orthogonales des forces sur une direction déterminée par la démonstration

d'une relation entre la direction choisie et le centre des forces parallèles correspondant à cette direction.

Soient a, b, c, a' , b' , c' les cosinus définissant deux directions quelconques, et x, y, x' j if les coordonnées des centres correspondants à ces deux directions. On aura

(79) - = ^4-co, ^ ^"

et par conséquent

/p^'-' Vi-'i'^' \/i^l

et de même

\^^>^' V^^^^-^^ Vv-^^^^^

et par conséquent, en désignant par V l'angle de ces deux directions,

(81) cosV=«ft'+&&' + cc'

Si l'on se reporte aux définitions de l'article (8), on voit que cette formule peut se traduire ainsi :

Appelons image d'une direction le centre des composantes parallèles à cette direction, c est-à-dire des projections orthogonales des forces sur des parallèles à cette direction passant par leurs points ^application. L'angle de deux directions quelconques sera égal à la distance de leurs images, évaluée par rapport à la courbe centrale. La relation entre une direction et le point qui lui sert d'image sera défini par les formules (79), (80).

En particulier, l'angle d'une direction avec la résultante générale sera égal à la distance du point, image de cette direction, au centre de la conique centrale, et la grandeur de la force ayant son point d'application en un point quelconque du plan central sera égale à la résultante générale multipliée par le cosinus de la distance de ce point au centre de la conique centrale.

g XII. — Étude des cas où les décompositions des forces cessent d'être faites parallèlement à trois directions rectangulaires.

Dans l'article précédent, nous n'avons considéré que les décompositions qui se font, pour chaque force, suivant des directions rectangulaires, et les projections orthogonales de ces forces. Mais il est clair qu'au lieu de considérer des décompositions aussi particulières, on peut se proposer de décomposer chaque force suivant trois directions fixes non rectangulaires, et par conséquent d'étudier les projections des forces faites sur des parallèles à une direction fixe, passant par leurs points d'application, parallèlement à un plan fixe quelconque, qui ne sera pas nécessairement perpendiculaire à la direction sur laquelle on projette. Ce nouveau genre de décomposition, beaucoup plus général que celui que nous avons étudié d'abord, n'exige pas, heureusement, une étude nouvelle, et se ramène aisément au précédent.

Considérons, en effet, les projections des forces faites, dans deux cas différents, parallèlement à un même plan fixe P, mais sur des parallèles à deux directions différentes d, d'. Il est clair que, dans ces deux cas, les composantes d'une même force sont proportionnelles; on obtiendra donc le même centre des forces parallèles, et par suite le centre des forces parallèles, dans ces projections obliques, ne dépend que du plan (P) parallèlement auquel on projette, et est le même que si Ton projetait les forces sur des perpendiculaires à ces plans.

Ce point étant admis, supposons qu'on projette les forces sur une direction donnée t^, parallèlement à un plan P. Le centre de ces composantes parallèles sera le même que si Ton avait projeté orthognnalement sur la direction d' perpendiculaire au plan P; il sera donc au point B', que nous avons appelé Timage de cette direction d' .

Dans les deux décompositions, l'une oblique sur les droites parallèles à c?, l'autre orthogonale sur les droites parallèles à d', les deux composantes d'une même force sont toujours dans un même rapport, celui de 1 au cosinus de l'angle (d, d') des deux directions d, d'. Les résultantes seront donc dans le même rapport, et, en appelant P^, P^^ ces deux résultantes, on aura

Cette formule se transforme aisément. Appelons o le point qui est l'image de la direction d, comme o est l'image de la direction d' . En vertu de la propriété établie à l'article précédent, on aura

idd') = ^h',

0 0 désignant la distance des deux points évaluée par rapport à la courbe centrale. Nous aurons donc

COSÔÔ

Enfin, si nous remarquons que, en vertu de la propriété établie à l'article précédent, on a

P^, = ZoCosOS'.

Od' désignant la distance de o' et du point central 0, nous obtiendrons la formule définitive

Cusoo

Ainsi toutes les questions relatives aux décompositions obliques, dans lesquelles on projette les forces sur les parallèles à une

direction d parallèlement à un plan P ou perpendiculairement à une droite d', se résolvent par l'emploi des deux points 3,8', images de ces deux directions. La résultante est appliquée au point §', et sa grandeur est donnée par la formule (82).

D'après cela, imaginons que l'on décompose les forces parallèlement à trois directions fixes d^, d.^, d^, formant un trièdre quelconque, et soient Oj , S^ , 03 les trois points images de ces directions. Considérons, en même temps que le trièdre des directions di,d^,d^y le trièdre supplémentaire , dont les arêtes ont les directions dî , c^2 , c?3 , les indices étant choisis de telle manière que les directions di, dî, soient perpendiculaires quand les indices sont différents. Soient ol, 02, 03 les points du plan central, images de ces directions. La distance oi o^^ évaluée par rapport à la courbe centrale, étant égale à l'angle des directions 0?,, di^, sera toujours égale à un quadrant, si i et k sont différents. C'est dire que le triangle 0ÎS2O3 sera le triangle polaire de o^l^l^., et cela de telle manière que o^ , par exemple, ait pour polaire o^ ol, et ol pour polaire §2 §3. Les résultantes des trois systèmes de composantes seront appliquées aux trois point oî, oâ, B3 , et leurs grandeurs, si on les désigne respectivement par {d) , {d^ , [d^ , seront données par les formules

^ ^ ^^ °cos(3i§;) ^ ^^ "005(02 §2) "003(3383)

déduites de la formule (82).

Le triangle §1 02 Sa pouvant être choisi arbitrairement, il en est de même de son triangle polaire. On voit donc que fon pourra réduire le système à trois forces appliquées en trois points quelconques^ non en ligne droite, du plan central.

On le voit, cette généralisation des notions d'angles et de distances, due à M. Cayley, généralisation qui, par son importance et son intérêt, mérite de devenir de plus en plus familière aux géomètres, nous permet de présenter d'une manière intuitive, et sous une forme relativement simple, les résultats d'un calcul qui, sans elle, n'aurait aucune signification. Nous croyons que l'emploi

de ces notions généralisées peut rendre de grands services dans rétude d'un très grand nombre de questions de géométrie.

Après avoir réduit le système des forces à trois forces appliquées en un point quelconque du plan central, nous allons indiquer comment on passerait de cette réduction à celle qui nous a servi de point de départ, et où les forces sont remplacées par leur résultante unique, appliquée en un point quelconque, et par trois couples de bras dirigés suivant trois droites quelconques.

Soient a, b, des points d'application de ces trois forces, dont nous désignerons les grandeurs par A, B, G. Il est clair que la composition des trois forces, transportées en un même point, donnerait la résultante générale R. Si donc, en un point quelconque m du corps, nous appliquons R et des forces — A , — B , — G , égales et contraires à A , B , G , ces quatre forces se feront équilibre et pourront être introduites sans que rien soit changé à l'effet des forces, dans toutes les positions du corps. On aura donc, en les introduisant, une force unique R, appliquée en m , et trois couples ( — A , A) , ( — B , B) , ( — G , G), c'est-à-dire trois couples de bras ma , mb ^mc, et de forces A, B, G. G'est la réduction qui nous a servi de point de départ, mais que, pour plus de netteté, nous n'avons étudiée ensuite qu'en supposant rectangulaires les bras des couples.

Il est vrai que, dans la méthode que nous venons de suivre, les forces des couples ont leurs points d'application dans le plan central; mais rien n'empêche de multiplier les bras par un nombre quelconque, de les ramener à l'unité, par exemple, à la condition de réduire les forces dans le rapport inverse. G'est donc absolument la même réduction que celle qui nous avait été donnée d'une première manière.

Mais la méthode que nous venons de suivre nous donne un résultat nouveau. On voit, en effet, que, si l'on réduit les forces à la résultante passant en un point m et à trois couples de bras quelconques m rt', m ^/, me', les directions des forces de ces couples sont déterminées par les points a, b, c, où les bras des couples rencontrent le plan central; elles sont les mêmes que

celles des trois composantes obtenues en réduisant le système à trois forces appliquées aux points a , b, c.

Ainsi les directions des forces de nos trois couples ne dépendent pas, à proprement parler, du point m ; pour qu'elles demeurent toujours les mêmes, il suffit que les bras des trois couples aillent rencontrer le plan central aux trois mêmes points.

Les résultats de l'article VIII, démontrés directement, sont, comme le lecteur le reconnaîtra aisément, un cas particulier et une conséquence de la proposition précédente.

g XIII. — Détermination des grandeurs et des directions des quatre forces appliquées aux sommets d'un tétraèdre quelconque, par lesquelles on peut remplacer toutes les forces du système.

Nous supposerons que le corps ait été rapporté aux axes principaux du point central, et que les forces aient été amenées dans l'état initial, celui où les seules coordonnées du système qui ne soient pas nulles sont

Aœ) l,j, Lq.

Nous avons déjà adopté les notations

XJ = A =^ Z^ a% Y,^ = A' = 74 a y,

que nous conserverons ici. Cela posé, considérons un système de quatre forces appliquées aux points A^, A;,, A3, A^, et désignons par Xi, yi, z-, les coordonnées du point A,. Nous voulons substituer aux forces du système quatre forces appliquées en ces quatre points; nous supposerons que X,-, Y,-, 1, soient les composantes de la force appliquée au point A^.

Pour exprimer que les quatre forces peuvent remplacer les forces du système donné, il faut écrire que, pour les deux systèmes, les résultantes générales et les neuf quantités que nous avons appelées X^.,..., Z^ sont les mêmes. Gela nous donne douze équations. Nous nous contenterons d'écrire celles qui contiennent

les composantes X,, et qui sont

Appelons A le déterminant de ces équations

Xi + Xg + Xg + X, =0,

X^a?! + Xa^^a + XaCCg + XiX^ = \x,

Xi2i + ==0-

rn rp rp rp

qui représente six fois le volume du tétraèdre défini par les quatre points, et appelons Al , Aâ , A3 , Al les coefficients des éléments de la première ligne, lorsqu'on développe le déterminant en l'ordonnant par rapport à ces éléments.

Les équations (84) se résolvent sans difficulté, et nous donnent les valeurs suivantes de Xj , X^ , X3 , X^

AX,==X

' dx.

AX, = X

A X, — Xx

dx.

AX.r=X.

En résolvant de même les équations qui contiennent les composantes Yi, Zi, on formera le tableau suivant

AX,r=:X,

<?A dXi